Cours de Math IV Algebre

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cours - matière potentielle : math iv

Cours de Math IV Algebre (R. Bahloul, 2e semestre 2009/2010) 1

diagonalisation des matrices symetriques

x? ?

matrices unitaires

endomorphismes orthogonaux en dimension

algebre lineaire

memes lois

relation d'equivalence

groupe orthogonal

couple d'espaces vectoriels

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Cours

(R.

Bahloul,

Math

semestre

Al`ebre g

2009/2010)

Leslivresutilise´slorsdelapr´eparationdececoursfurentlessuivants. Refe´rences ´ [1]JosephGrifone,Alg`ebreline´aire,2eioit.nsitide´eds´`edupa´e,con [2]X.Gourdon,LesMathsentˆete-Alg`ebre(ellipses). [3]Ren´eDeheuvels,formesquadratiquesetgroupesclassiques,puf. Tabledesmati`eres Re´fe´rences2 1. Espace vectoriel quotient 4 1.1. Notions preliminaires - Rappels 4 ´ 1.2.D´eﬁnitiond’unespacevectorielquotient5 1.3. Codimension 6 1.4. Application quotient 7 2.Dualit´e8 2.1. Introduction 8 2.2.D´eﬁnitiondudualetpremiersre´sultats9 2.3. Base duale 10 2.4.Baseante´duale11 2.5. Annulateurs 11 2.6.Transpose´e12 2.7. Bidual 14 3.Formebilin´eairesuruncoupled’espacesvectoriels15 3.1.Premi`eresd´eﬁnitions15 3.2. Matrices associ´ 15 ees 3.3.Applicationslin´eairesassocie´es-Rangdeb16 3.4.Caracte´risationdurangentermed’´ecrituredansdesbases18 3.5.Nonde´ge´n´ere´scence-relationsd’orthogonalite´19 3.6.Generalite´ssurlesformesbilin´eairessurunespacevectoriel-Noyau ´ ´ d’uneformebilin´eaire-Adjointd’uneapplicationlin´eaire20 4.Formesbilin´eairessym´etriquesetformesquadratiques23 4.1.Relationentreformesbilin´eairessym´etriquesetformesquadratiques23 4.2. Bases orthogonales 25 4.3. Point de vue pratique : orthogonalisation de Gauss 26 4.4.Formesquadratiques´equivalentes31 4.5. Formes quadratiques surC32 4.6. Formes quadratiques sur unR33 4.7.Formesbilin´eairesantisyme´triquessurR35 5.Diagonalisationdesmatricessyme´triquesre´ellesetformequadratique sur un espace euclidien 38 5.1.Diagonalisationdesmatricesr´eellessym´etriques38 5.2. Forme quadratique sur un espace euclidien 41 6. Groupe orthogonal 43 6.1. Groupe orthogonal d’un espace euclidien 43 6.2. Groupe orthogonal 45 6.3.Endomorphismesorthogonauxendimension2:Isom´etriesd’unplan vectoriel 46 6.4.R´eductiondesendomorphismesorthogonaux47

7.Formessesquilin´eairesethermitiennes 7.1. Introduction 7.2.Ge´ne´ralite´ssurlesformessesquilin´eairessurE×F 7.3.Ge´ne´ralite´ssurlesformessesquiline´airessurE 7.4.Forme(sesquiline´aire)hermitienneetformequadratiquehermitienne 7.5. Diagonalisation des matrices hermitiennes et forme hermitienne dans un espace hermitien 7.6. Matrices unitaires

49 49 49 51 51 56 56

4 1.Espace vectoriel quotient Lanotiond’espacevectorielquotientesta`rapproch´eedecequiestconnuconcer-nantZnZbosu(tejsuos-llaimoerlodusounedxuacestsedrtva.L’id´eedansles groupe(ouide´al)dansuncas,sous-espacevectorieldansl’autre). 1.1.tiNos.s-Rappelminiiaernops´rle D´eﬁnition1.1.1.elerioatsqonunu’aRleppuieq’´ndencleva∼sur un ensembleA est une relation binaire surA:safsitasitaantruxspoiprrote´isse´aviusetn –R´eﬂexivit´e:∀x∈A x∼x –Sym´etrie:∀x y∈A, six∼yalorsy∼x –Transitivite´:∀x y z∈A, six∼yety∼zalorsx∼z. De´ﬁnition1.1.2.Soit∼avelcnsedn´’qeiumbleurunenseelerioatunA. – Pourx∈A, on note¯x={y∈A|x∼y}.nO’lpaecniuqeelavssla’´edllpeacel deA. (Il s’agit donc d’un sous-ensemble deA.) –Ond´eﬁnitl’espacequotientA∼deApar∼comme l’ensemble{¯x|x∈A}. Il s’agit donc d’un sous-ensemble deP(A). – SoitX∈A∼mentel´eU.´nxdeXes)tae(tdanntseascllanue´leppese´rper X. Proposition 1.1.3.SoitAun ensemble. (1)Soit∼uresncleuner´’qeiuavletaoidnA. AlorsAesntediojsidnoinue´ral classesd’´equivalences(autrementdit,lesclassesd’´equivalenceformentune partition deA). (2)SoitA=Si∈IXiune partition quelconque deAe´nﬁD.snalsiostionrela binaire suivante. Pourx y∈A,x∼y⇐∃⇒i∈I{x y} ⊂Xi. Alors∼ estunerelationd’e´quivalence. Lapreuveestlaisse´eenexercice. Onpeuttraduirecettepropositioncommesuit:sedonnerunerelationd’e´quivalence ou se donner une partition sont deux cho ´ ivalentes ses equ . Supposons maintenant que surAil y ait une loi interne qu’on note∗et une structure externe sur (par exemple) un corpskqu’on noteλx. On dit que les lois sont compatibles avec la relation∼isrporpselsse´te´iesntvaui sont satisfaites. – Pourx x′ y y′∈A, six∼x′ety∼y′alorsx∗y∼x′∗y′. – Pourx x′∈Aet pourλ∈k, six∼x′alorsλx∼λx′. L’espace quotientA∼deApar la relation∼tserolasusstpecleibˆed’emtriun desmeˆmesloisqueAetc).tivit´e,e´te´irpicossa(s´eitivattamuom,clesmavecsproˆeme En eﬀet, soientXetYsdnte´euxmeleedE∼. On a envie de poser :X∗Y=x∗yo`u xdeuenqcoelestutnuqneat´rsernpeX(i.e.x∈X) etyse´rpernuatneuqtnocleeuqn deYellened´ependpas’nsevtladiqeeuis.d´Lanieﬁontitsanntsedxiohcude´rperse xety. Autrement dit, si on avait fait un autre choixx′etnereprresr´oupXet un autre choixy′estnreurrepr´epoY, on devrait pouvoir poserX∗Y=x′∗y′; et c’est le cas si la relation∼est compatible avec la loi∗. Demeˆme,onveutposerλX=λxlilaiottectetinﬁe´del´stneioesimiteg externe est compatible avec la relation∼. Un exemple connu d’une telle situation :

5 Exemple 1.1.4.SoitA=Z. Soitn∈Znitﬁe´dnO.∼delafa¸consuvinaet: a∼b⇐⇒a−b∈nZ.Cteetlareontiutseerenital’dno.e)icrcexe(ecnelaviuqe´ L’ensemble quotient obtenuA∼´etnotesZnZ. L’ensembleA ations internes ´est muni de deux o+et×tionssonesop´eratC. per compatibles avec∼icrexe(´dnO.)ectreaemonquelorsZnZest un anneau comme l’estZ. 1.2.inﬁenoitnu’dapseD´ne.tcevectorielquotiSoit (E+k) un espace vec-toriel etFun sous-espace vectoriel deEvaOneﬁd´rlniuoeqdteitne.EparF. De´ﬁnition1.2.1. (1)nabiontiuresirinﬁe´dnOalerenutE(nddequid´epeF) : pourx y∈E, x∼y⇐⇒x−y∈F. Exercice:c’estunerelationd’´equivalence. (2)On appelle espace quotient deEparFl’ensemble quotientE∼et on le noteEF. (3)Pourx∈E, on notexla classe dexdans ce quotient. On dit aussi classe ¯ dexmoduloF. Proposition 1.2.2.Pourx∈E, on a ¯x=x+F:={x+y|y∈F} D´emonstration. ⊂: Soitx′∈x¯ alorsx−x′∈Fd’o`ux′∈x+F. ⊃: Soitx′∈x+F. Alors il existey∈Ftel quex′=x+ynt,equeons´Parc. ¯ x′−x=y∈F. Ainsix∼x′, i.e.x′=x¯ ou encorex′∈¯x  Ainsi, l’ensembleEFn’est rien d’autre que l’ensemble desx+Favecx∈E, i.e.c’estl’ensembledetousles“translate´sdeF. ” ¯ Remarque 1.2.3.Pourx∈E, on a :x∈F⇐⇒¯x= 0 D´emonstration.En exercice. Pour le momentEFn’est rien d’autre qu’un ensemble. Proposition 1.2.4.Les operations+etntsoibatmpcoevlcelastaoiraleequind’´nce.vale ´ D´ onstration.Soientx x′ y y′∈Etels quex∼x′ety∼y′. Soitλ∈k. On doit em montrer quex+y∼x′+y′etλx∼λx′. Parhypothe`se,x−x′∈Fety−y′∈F, i.e. il existex′′ y′′∈Ftels quex−x′=x′′ ety−y′=y′′.Parcon(´sqeeutnx+y)−(x′+y′) = (x−x′) + (y−y′) =x′′+y′′∈F ce qui montre bien quex+y∼x′+y′ Concernant le produit, on a :λx−λx′=λ(x−x′) =λx′′∈F. Ainsiλx∼λx′ Grˆace`acetteproposition,onpeutde´ﬁnirdeuxope´rations:+etsurEF. De´ﬁnition1.2.5.SoientX Y∈EFetλ∈k. Soientx∈X(i.e.xtnatnruenesr´ep deX) ety∈Y(i.ey´rpenesesernutnttadeY). On pose alorsX+Y=x+yet λX=λx.

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