Cours d'analyse Licence 1er semestre
73
pages
Français
Documents
2006
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
73
pages
Français
Ebook
2006
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Cours d'analyse 1 Licence 1er semestre Guy Laffaille Christian Pauly janvier 2006
Voir
Cours d'analyse 1 Licence 1er semestre Guy Laffaille Christian Pauly janvier 2006
- techniques de demonstration
- fraction ab avec a·n b·n
- suites complexes
- nombres rationnels
- fonctions trigonometriques
- corrige des exercices
- exercices de td
Cours Licence
d’analyse 1 1er semestre
Guy Laffaille Christian Pauly
janvier
2006
2
Tabledesmatie`res
1
2
3
4
5
Lesnombresr´eelsetcomplexes 1.1 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2Nombresre´els...................................... 1.3Densite´desrationnelsetirrationnels......................... 1.4 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Logique et langage des ensembles 2.1Propositionsetop´erateurslogiques.......................... 2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3Techniquesded´emonstration............................. 2.3.1R´ecurrence................................... 2.3.2Contrapos´ee................................... 2.3.3D´emonstrationparl’absurde.......................... 2.4 Langage des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suitesr´eellesetcomplexes 3.1 Limite d’une suite ´ ll ree e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2Propri´et´esdelalimite................................. 3.3 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctionsd’unevariablere´elle 4.1 Limite et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.2Proprie´te´sdelalimited’unefonction......................... 4.3Proprie´te´sdesfonctionscontinues........................... 4.4Fonctionsd´erivables.................................. 4.5Proprie´t´esdesfonctionsde´rivables........................... 4.6Applicationauxsuitesr´eelles............................. 4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D´eveloppementslimite´s 5.1 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3Calculdede´veloppementslimite´s........................... 5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
5 5 7 11 11 13
15 15 16 17 17 17 18 18 19
21 21 23 28 29 33 34
39 39 41 42 44 47 48 50
55 55 55 59 61
4
TABLEDESMATI`ERES
6 Fonctions classiques 63 6.1 Fonctions bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.3D´eveloppementslimit´es.................................65 6.4Fonctionstrigonom´etriques...............................66
7Corrig´edesexercices
Remerciements.
69
Mercia`ThierryMignon,VladimirVerchinin,JulienMunier,DenisTrotabasetDanielMaerten pour les exercices de TD.
Merci`aMicheleBolognesipourlar´edactiondequelquescorrige´sd’exercices.
Mercia`IvanBabenkopourlapreuvedel’irrationnalit´edunombred’Euler.
Chapitre 1
Lesnombresre´elsetcomplexes
1.1 Nombres rationnels Onde´signeparNl’ensemble des entiers naturels
N={0,1,2,3, . . .}.
Comme chaque entier naturelnadmet un successeurn+ 1, on se convainc sans peine queNest un ensemble infini. On noteN∗l’ensembleN\ {0},esc’e’lemesna`-trid-tiersnatbledesenrulensno nuls. ´ Etantdonne´deuxentiersnaturelsxetyrlesefiniitd´onsaersonbm x x+y, x−y, x∙yet,siy6= 0. y Onremarquequel’additionetlamultiplicationsontdesope´rationsquiontleurr´esultatdansN. Parcontrelere´sultatd’unesoustractionoud’unedivisionn’estpastoujoursunentiernaturel. Oncre´eainsidenouveauxnombres
Z={. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .},
l’ensemble des entiers relatifs — on noteraZ∗=Z\ {0}— et Q=nba|a∈Zetb∈Z∗o, l’ensemble des nombres rationnels dans lequel on identifie la fractionbaavecab∙∙nnpour touta∈Z etb, n∈Z∗. On a bien entendu les inclusions suivantes
N⊂Z⊂Q
etlesquatreop´erations´el´ementaires+,−,∙et/ts’´etenpeuvensnmelberd`elae’Qdes nombres rationnels.
LesGrecsclassiquesontcrulongtempsquetouteslesquantite´ss’exprimaientpardesnombres rationnels.Ilssesontaper¸cuquecen’estpastoujourslecas.Eneffetonpeutconstruiredes nombresquinesontpasrationnels.Consid´eronsparexempleuntriangleABCrectangle enA
5
Si on noteala longueur du segmentBC,bcelle deCAetccelle deAB,alorse`emedelhte´ro Pythagore dit qu’on a la relation 2 a2=b2+c . Ainsionobtientquelalongueurdeladiagonaled’uncarre´decˆote´b=cse1=ge´t`elaaa=√2. Proposition 1.1.1Le nombre√2n’est pas un nombre rationnel. De´monstration.fsnollasuoNe.usdr’lbapnrataoinstr´emounedaire1 Supposons que√2 est rationnel. Il existe alors deux entiers positifsa, btels que√2 =a/b. Si aetbsont pairs, on peut simplifier la fractiona/bpar 2. En simplifiant par 2 autant que possible, onarriveaucaso`uaumoinsundesdeuxentiersaoubestimpair. En´elevantaucarr´el’´egalite´√2 =a/btehcnentleassaomind´en,rnotaueeva`rair 2b2=a2. Donca2est pair. Siarce´eriinaop,mrtiutesepa= 2a0 alors+ 1,a2= 4a02+ 4a0+ 1 qui est impair.Onend´eduitdoncqueaestpairriect´eunpcoon,dera= 2a0, ce qui donne 2b2= 4a02et en simplifiant par 2, on obtient b2= 2a02. C’estlamˆeme´equationqueci-dessusaveca0al`decelaapbetbala`edecalpa. Le meme ˆ raisonnement montre alors quebest aussipair. On a donc une contradiction et√2 ne peut pas ˆetrerationnel.
Voici d’autres exemples de nombres irrationnels. 1. Le nombreπ= 3,1415. . .´efindmelaicomno´ficcrec’drenelercceun`eamdide.1ert 2. Le nombre d’Eulere= 2,718. . .l,basadelee’pxnotienleel´e,dicfinemmommosfinieein2 1 1 1 1 ∙ ∙ ∙ e+!3+!2+!1+1=∙ ∙ ∙+k!+ 3.Lesracinescarre´s√nsin-d`aeqirc’e,t-escnus´rrae’niaptssaediu’nsepterquentistune la formen=k2aveck∈N.
Proposition 1.1.2Le nombre d’Euleren’est pas un nombre rationnel. 1voir section 2.3.3 2infienoitPd´arn! = 1∙2∙3∙ ∙ ∙n
´ 1.2. NOMBRES REELS7 D´emonstration.Comme pour√tsarmenoen´driuensfaallonous2snosoppuS.deurbs’arlpaonti donc queeest rationnel. Il existe alors deux entiersa, b∈N∗tels que a1 1 1 1 e=b++!13=++!!21∙ ∙ ∙+n+!∙ ∙ ∙ Multiplions parbolsr!A.itnenoboegaltl’´it´e ab!−b! +b 2! +b!!3+b!+!∙ ∙ ∙+bb!! b 1 1 1 1 ∙ =b+(+1b+ 1)(b+)2+(b+ 1)(b+ 2)(b ++ 3)∙ ∙(+b+ 1)(b+ 2)∙ ∙ ∙(b+n+)∙ ∙ ∙ Ilestclairquetouslestermesdelasommea`gauchesontdesnombresentiers,donclasomme, qu’on noteras, est aussi un entier. En utilisant la minoration (b+ 1)(b+ 2)∙ ∙ ∙(b+n)>(b+ 1)n on obtient un l’encadrement suivant des 1 1 1 1 . 0 b< s <+1+(b+ 1)2(+b+ 1)3+∙ ∙ ∙(+b+ 1)n+∙ ∙ ∙ ´ Cettederni`eresommeinfinievautb11+∙1−1b+11=b1lse`rofaelumnnoddpr’aeeirasomantlunesmed’ ge´ome´trique(voir(1.1)).Ainsionobtientl’encadrement 1 0< s < b≤1, ce qui contreditsentier. Lapreuvedel’irrationalite´deπrsneN.uouosrcecernspavoyolessape´dteeddrcalentmegear exemple au livre “Autour du nombreπ” de Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon. Parcontrel’irrationalite´de√nemeflamˆnquea¸codeeecllesedertnom√2 (exercice). 1.2Nombresre´els La proposition 1.1.1 dit que√ecrireceutpass’d-rinepe’cse-ta`emmol,neontiraastpes’n2 ´ quotient de deux entiers. Cependant nous savons que le nombre√tu’s2epnu’desircr´emeorsfou de´veloppementd´ecimalinfini √2 = 1,41421356. . . Danscecoursnousprenonscetterepre´sentationde´cimalecommed´efinitiond’unnombrere´el. D´efinition1.2.1(nombrere´el)nnUeselnetubrom´eernoedhcffiocllceitres{c0, . . . , cm}et {d1, d2, . . .}compris entre0et9. Les chiffrescisont en nombre fini et les chiffresdjeeupntvetrˆe ennombreinfini.Onfaitcorrespondre`acettecollectionlenombredonn´eparlede´veloppement d´ecimal x=cmcm−1. . . c1c0, d1d2d3. . . dn. . . . Exemples.
© 2010-2024 YouScribe
