Corrigé du BTS groupement A Nouvelle Calédonie novembre
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Niveau: Supérieur, BTS, Bac+2
Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, novembre 2008 EXERCICE 1 – séries de FOURIER f(t) = ? ? ? 1 si 0 6 t 6 ? 0 si ? < t < pi ? ? ?1 si pi ? ? 6 t 6 pi avec 0 < ? < pi 2 et f paire et périodique de période 2pi . 1. Représentation de f sur [?2pi ; 2pi] lorsque ? = pi 3 Pour ? = pi 3 on a f(t) = ? ??? ??? 1 si 0 6 t 6 pi3 0 si pi3 < t < 2pi 3 ?1 si 2pi3 ? ? 6 t 6 pi . 2. a. Calcul de a0 D'après le formulaire a0 = 1 2pi ∫pi ?pi f(t)dt et comme f est paire, a0 = 1 pi ∫pi 0 f(t)dt, d'où : a0 = 1 pi [∫? 0 1dt + ∫pi?? ? 0dt + ∫pi pi?? (?1)dt ] = 1 pi [? ? 0 ? (pi ? (pi ? ?))] = 1 pi (??pi+pi??) = 0. b. Valeur de bn pour tout entier n > 1 D'après le formulaire bn = 1 pi ∫pi ?pi f(t) sin(nt)dt.
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Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, novembre 2008 EXERCICE 1 – séries de FOURIER f(t) = ? ? ? 1 si 0 6 t 6 ? 0 si ? < t < pi ? ? ?1 si pi ? ? 6 t 6 pi avec 0 < ? < pi 2 et f paire et périodique de période 2pi . 1. Représentation de f sur [?2pi ; 2pi] lorsque ? = pi 3 Pour ? = pi 3 on a f(t) = ? ??? ??? 1 si 0 6 t 6 pi3 0 si pi3 < t < 2pi 3 ?1 si 2pi3 ? ? 6 t 6 pi . 2. a. Calcul de a0 D'après le formulaire a0 = 1 2pi ∫pi ?pi f(t)dt et comme f est paire, a0 = 1 pi ∫pi 0 f(t)dt, d'où : a0 = 1 pi [∫? 0 1dt + ∫pi?? ? 0dt + ∫pi pi?? (?1)dt ] = 1 pi [? ? 0 ? (pi ? (pi ? ?))] = 1 pi (??pi+pi??) = 0. b. Valeur de bn pour tout entier n > 1 D'après le formulaire bn = 1 pi ∫pi ?pi f(t) sin(nt)dt.
- ?2pi
- linéarité de la transformation de laplace
- solution générale
- pi ?
- linéarité
- sin
- ?2pi ?pi
- formulaire a0
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EXERCICE1 – séries de FOURIER 1si06t6α π f(t) =0siα < t < π−αavec0 < α <etfpaire et périodique de période2π. 2 −1siπ−α6t6π
π 1.Représentation defsur[−2π;2π]lorsqueα= 3 π 1si06t6 3 π π 2π Pourα=on af(t) =0si< t <. 3 3 3 2π −1si−α6t6π 3 2. a.Calcul dea0 Z Z π π 1 1 D’après le formulairea0=f(t)dtet commefest paire,a0=f(t)dt, d’où : 2π π −π 0 Z ZZ α π−α π 1 11 a0=1dt+0dt+ (−1)dt= [α−0− (π− (π−α))] =(α−π+π−α) =0. π ππ 0 απ−α
b.Valeur debnpour tout entiern>1 Z π 1 D’après le formulairebn=f(t)sin(nt)dt. π −π Z π Commefest paire,t7−→f(t)sin(nt)est impaire doncf(t)sin(nt)dt=0, d’où, pour tout −π entiern>1,bn=0. c.Calcul deanpour tout entiern>1 Z π 1 D’après le formulairean=f(t)cos(nt)dtet commefest paire,t7−→f(t)cos(nt)est π −π Z π 2 également paire doncan=f(t)cos(nt)dt. On a : π 0 Z ZZ α π−α π πan =1cos(nt)dt+0cos(nt)dt+ (−1)cos(nt)dt 2 0 απ−α α π 1 1 =sin(nt) +0−sin(nt) n n 0 π−α 1 1 = (sin(nα) −sin0) −(sin(nπ) −sin(nπ−nα)) n n 1 = (sin(nα) +sin(nπ−nα)). n n Or sin(nπ−nα) =sin(nπ)cos(nα) −cos(nπ)sin(nα) = −(−1)sin(nα)donc, pout tout πan1 2 n n entiern>1,= [sin(nα) − (−1)sin(nα)), soitan= [1− (−1) ]sin(nα). 2 nnπ 3.Valeurα0deαpour laquellea3=0 2 4 3 a3=1− (−1)sin(3α) =sin(3α). 3π 3π kπ π a3=0si et seulement si3α=kπaveck∈Zd’oùα=, comme0 < α <on ak=1donc 3 2 π α0=. 3
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2 4. a.Calcul deF Z π 1 2 2 F=f(t)dt 2π −π Z π 1 2 2 =f(t)dtcarfest paire puisquefl’est également, π 0 " # Z ZZ π 2π π 1 3 3 2 22 =1dt+0dt+ (−1)dt π π 2π 0 3 3 " # Z Z π π 1 3 =dt+dt π 2π 0 3 1 π2π = −0+π− π 33 1 ππ 2 2 = +doncF=. π 33 3 b.Calcul deg(t) g(t) =a0+a1cos(t) +b1sin(t) +a2cos(2t) +b2sin(2t)avect∈R. 2 π4 π2 3 1 Ora0=b1=b2=0,a1=1− (−1)sin1×=sin=et 1×ππ 3π 3 2 π2 3 2 a2=1− (−1)sin2×=0donc, pour toutt∈R,g(t) =cos(t). 2×ππ 3 2 c.Calcul deG gest périodique de période2π, d’où : Z π 1 2 2 G=g(t)dt 2π −π Z π 1 2 2 =g(t)dtcargest paire puisquegl’est également, π 0 ! 2 Z π 1 23 =cos(t)dt π π 0 Z π 12 2 =cos(t)dt 3 π 0 Z π 12 1+cos(2t) =dt 3 π 2 0 Z π 6 = [1+cos(2t)]dt 3 π 0 π 6sin(2t) =t+ 3 π 2 0 6 6 2 =×πdoncG=. 3 2 π π 2 G d.Calcul de 2 F 6 2 G29 π−3 = ==0, 912à10près. 2 2 F 2π 3
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EXERCICE2 – équations différentielles et transformation de LAPLACE ′′ Partie A – résolution de(E1):y(t) +4y(t) =8 1. a.Solution particulière constante de(E1) La fonctionx7−→ϕ(t) =k(aveckune constante réelle) est solution de(E1)si et seulement ′′ si, pour toutt∈R,ϕ(t) +4ϕ(t) =8soit4k=8donck=2. Une solution particulière constante de(E1)est la fonctiont7−→ϕ(t) =2. b.Solution générale de(E1) ′′ La solution générale de l’équation sans second membrey(t) +4y(t) =0est la fonction t7−→Acos(2t) +Bsin(2t), avecAetBdeux constantes réelles car l’équation caractéristique 2 estr+4=0qui a pour solutions2iet−2i. La solution générale de(E1)est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution particulière de(E1), donc la solution générale de(E1)est la fonc tionydéfinie surRpary(t) =2+Acos(2t) +Bsin(2t),AetBétant deux constantes réelles. ′ 2. a.Solutionfde(E1)qui vérifief(0) =0etf(0) =0 fest solution de(E1)donc, pour toutt∈R,f(t) =2+Acos(2t) +Bsin(2t). f(0) =0si et seulement si2+A=0soitA= −2. ′ fest dérivable surRet, pour toutt∈R,f(t) = −2Asin(2t) +2Bcos(2t). ′ f(0) =0si et seulement si2B=0soitB=0. Donc, pour toutt∈R,f(t) =2−2cos(2t) =2[1−cos(2t)]. b.Période, minimum et maximum def 2π 2π La pulsation defestω=2donc sa période estT= = =π. ω 2 Pour toutt∈R,−16cos(2t)61d’où,−16−cos(2t)61, soit061−cos(2t)62, donc 06f(t)64. La fonctionfa donc pour minimum0et pour maximum4. π Le minimum est atteint en0(modπ)et le maximum est atteint en(modπ). 2 π 3π ′′ Partie B – résolution de(E2):g(t)+4g(t) =8U(t) −Ut− +U(t−π) −Ut− 2 2 π 3π 1. a.Représentation sur[0;2π]det7−→e(t) =8U(t) −Ut− +U(t−π) −Ut− 2 2 π 3π 0sit < 0ou6t < πout > 2 2 On obtient facilemente(t) =. π 3π 8si06t <ouπ6t < 2 2 b.Calcul deE(p) πp 1 11 π− −πp Pour toutp > 0,L(U(t)) =,L Ut− =e,L(U(t−π)) =eet 2 2 p pp 3π 1 π− L Ut− =e. 2 2 p h i 8 π 3π − −πp− D’après la linéarité de la transformation de LAPLACE,E(p) =1−e+e−e. 2 2 p 2. a.Calcul deG(p) ′′2′2′ L(g(t)) =p G(p) −pg(0) −g(0) =p G(p)carg(0) =g(0) =0. ′′2 2 L(g(t) +4g(t)) =p G(p) +4G(p) =p+4 G(p), d’après la linéarité. 1 ′′2 Or,g(t) +4g(t) =e(t)doncp+4 G(p) =E(p)soitG(p) =E(p). 2 p+4 h i 8 πp 3πp − −πp− Finalement, pour toutp > 0,G(p) =1−e+e−e. 2 2 2 p(p+4)
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b.Transformée deLAPLACEHdeh Pour toutt∈R,h(t) =2[1−cos(2t)]U(t) =2U(t)−2cos(2t)U(t). En utilisant la linéarité : 2 2 2 p2 p+4−2p 8 H(p) =−2×=,donc, pour toutp > 0,H(p) =. 2 22 2 p p+2 p(p+4)p(p+4) c.Expression deg Pour toutp > 0: h i πp 3πpπp 3πp − −πp−− −πp− G(p) =H(p)×1−e+e−e=H(p) −H(p)e+H(p)e−H(p)e , 2 22 2 π 3π donc, pour toutt∈R,g(t) =h(t) −h t− +h(t−π) −h t−. 2 2 h h π 3π 3. a.Expressions deg(t)sur0;et surπ; 2 2 h h π π3π Pour toutt∈0;,h(t) =2[1−cos(2t)]eth t− =h(t−π) =h t− =0. 2 22 h h π Donc, pour toutt∈0;,g(t) =2[1−cos(2t)]. 2 3π π Pour toutt∈π;,h(t) =2[1−cos(2t)],h t− =2[1−cos(2t−π)] =2[1+cos(2t)], 2 2 3π h(t−π) =2[1−cos(2t−2π)] =2[1−cos(2t)]eth t− =0. 2 3π Donc, pour toutt∈π;: 2 g(t) =2[1−cos(2t)]−2[1+cos(2t)]+2[1−cos(2t)] =2−2cos(2t)−2−2cos(2t)+2−2cos(2t). 3π Finalement, pour toutt∈π;,g(t) =2−6cos(2t). 2 On peut donc écrire : 0sit < 0 π 2−2cos(2t)si06t < 2 π −4cos(2t)si6t < π g(t) =. 2 3π 2−8cos(2t)siπ6t < 2 3π −8cos(2t)sit> 2
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