Corrige de l'examen de l'unite de Mathematiques LM
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Français
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2005
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Niveau: Supérieur
Corrige de l'examen de l'unite de Mathematiques LM 251 Universite Pierre et Marie Curie. Responsable: Henri Skoda 10 juin 2005. Question de cours Enoncer et demontrer la formule de la moyenne pour les integrales definies. Soit f : [a, b] ? IR une fonction continue sur [a, b]. Alors ?c ? [a, b] tel que: 1 b? a ∫ b a f(x)dx = f(c) En effet, comme f est continue sur l'intervalle ferme et borne [a, b], f a un maximum M et un minimum m sur [a, b] et il existe c1 ? [a, b], c2 ? [a, b] tels que: (1) ?x ? [a, b], f(c1) = m ≤ f(x) ≤ M = f(c2) L'integration respecte les inegalites larges, (1) entraıne donc: (2) ∫ b a m dx ≤ ∫ b a f(x) dx ≤ ∫ b a M dx (2?) m(b? a) ≤ ∫ b a f(x) dx ≤ M(b? a) (2”) m ≤ 1 b? a ∫ b a f(x) dx ≤ M 1
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Corrige de l'examen de l'unite de Mathematiques LM 251 Universite Pierre et Marie Curie. Responsable: Henri Skoda 10 juin 2005. Question de cours Enoncer et demontrer la formule de la moyenne pour les integrales definies. Soit f : [a, b] ? IR une fonction continue sur [a, b]. Alors ?c ? [a, b] tel que: 1 b? a ∫ b a f(x)dx = f(c) En effet, comme f est continue sur l'intervalle ferme et borne [a, b], f a un maximum M et un minimum m sur [a, b] et il existe c1 ? [a, b], c2 ? [a, b] tels que: (1) ?x ? [a, b], f(c1) = m ≤ f(x) ≤ M = f(c2) L'integration respecte les inegalites larges, (1) entraıne donc: (2) ∫ b a m dx ≤ ∫ b a f(x) dx ≤ ∫ b a M dx (2?) m(b? a) ≤ ∫ b a f(x) dx ≤ M(b? a) (2”) m ≤ 1 b? a ∫ b a f(x) dx ≤ M 1
- examen de l'unite de mathematiques lm
- signe de x? √
- formule de taylor
- pi ?
- unicite de la limite
- limite dans les inegalites larges
Corrig´edel’examendel’unit´ede Math´ematiquesLM251 Universit´ePierreetMarieCurie.
Responsable: Henri Skoda
10 juin 2005.
Question de cours Enonceretde´montrerlaformuledelamoyennepourlesinte´gralesd´efinies.
Soitf: [a, b]→IR une fonction continue sur [a, b]. Alors∃c∈[a, b] tel que: Z b 1 f(x)dx=f(c) b−aa En effet, commefee[n´ortbtnreavllfere´meestcontinuesurl’ia, b],fa un maximumMet un minimummsur [a, b] et il existec1∈[a, b],c2∈[a, b] tels que:
(1)
∀x∈[a, b],
f(c1) =m≤f(x)≤M=f(c2)
L’int´egrationrespectelesine´galit´eslarges,(1)entraıˆnedonc: Z Z Z b b b (2)m dx≤f(x)dx≤M dx a a a
0 (2 )
(2”)
Z b m(b−a)≤f(x)dx≤M(b−a) a
Z b 1 m≤f(x)dx≤M b−aa
1
Commem=f(c1) etM=f(c2) sont deux valeurs prises par la fonction continuefretnde´melavisruemr`esedet,leoh´nieuitnooctnurlafonciairespo faffirme que pour touty∈[m, M], il existex∈[c1, c2] tel quef(x) =y. En R 1b particulierd’apre`s(2”),poury=f(x)dx, il existec∈[c1, c2]⊂[a, b] a b−a tel que: Z b 1 f(x)dx=f(c) b−aa Exercice 1. Onconside`relasuite(un`al,’de)nceiceuprarr´erfi´neitnoofcnedaliaed n∈IN : 1 3 f: IR+→IR+, x→f(x), f(x) :=x , 3 soit : 1 3 un+1=f(un) =un 3 o`uu0>e0tsodnn.´e 1) (Question de cours) Montrer que la suite (un) est monotone.
1 3 Commef(x) =xest strictement croissante,x1< x2etnarıˆenf(x1)< 3 f(x2). Supposons, par exemple, que :u0< u1, on a alors :f(u0)< f(u1), soit :u1< u2ruce´rraP.ons:ppose,surencun−1< un, on a donc : f(un−1)< f(un:ec’),`tseridaun< un+1suite (. La un) est bien strictement croissante. Siu0> u1(,euqˆmmeiuetlesaemd´on,dee,tronun) est stricte-mentde´croissante.
2)Tracerlacourberepr´esentativedefet´etudierlesignedelafonction auxiliaire :g(x) =f(x)−x,sur l’intervalle [0,+∞[ On a : √ √ 1 1 1 3 2 g(x) =x−x=x(x−3) =x(x+ 3)(x−3) 3 3 3 √ √ √ g(x) est donc du signe dex−3, soit<0, pourx <3 et>0, pourx >3.
3) a) Pour quelle valeur deu0, la suite (un) est-elle constante?
La suite (un) est constante lorsquef(u0) =u0,g(u0e0s,c)’=adt`eir √ pouru0car on suppose= 3, u0>0.
2
b) Discuter suivant la valeur initialeu0>0 de la suite, la monotonie (croisssanceoude´croissance)etlaconvergencedelasuite(un). √ Pouru0<3, on a :g(u0)<0, soit :f(u0)< u0,u1< u0, la suite (un) estdoncstrictementde´croissante,elleestminore´epar0.Elleconvergedonc vers une limitel≥rgla).esmmCoeselse´niilagse´tage`alalimitedan(0apss 1 3 f(x) =xlle[erva’intsurl0nutiontces)elbavire´drac(e,+∞[, 3 1 1 3 3 u→l , n 3 3 quandn→+∞,cst’eida`:er 1 3 un+1→l , 3 quandn→+∞. Commeun+1→land,a’rpo,inu’lse`lede´tice:itimal 1 3 l=l 3 soit : l= 0. √ √ carl= 3 est impossible puisque :l≤u0<3. √ Pouru0>3, on a :g(u0)>0, soit :f(u0)> u0,u1> u0, la suite (un) est donc strictement croissante. Si la suite (une´)tiatjomaeer´ll,eonecreiaevgrusenvtretefinlimiiel≥u0> √ 3. Maisf´etantcontinueaupointl, on auraitf(l) =l(carf(un)→f(l), √ un+1→f(l),un+1→l, doncf(l) =l`o’d:u,)l= 3 (unique point fixe de √ √ fcociceOr).3deteeuqtiafeltidertnrdi:oe´a`isutl >3. La suite (uncroissante,ellete´.eoCmmeelleetsst)encdonmnoorajsrevdne +∞.
Exercice 2. EcrirelaformuledeTayloren0avecresteint´egral`al’ordre2(lerestefait 5 intervenirlad´eriv´ee3eme)pourlafonctionf(x) =x. LaformuledeTaylora`l’ordre2,avecresteint´egral,s’e´nonce: Z 2 2 x x(x−t) 0(3) f(x) =f(0) +xf(0) +f”(0) +f(t)dt 202
3
0(3) 24 3 On a:f(x) = 5x,f”(x) = 20x,f(x) = 60x, par suite:f(0) = 0, 0 f(0) = 0,f,0al0(=)”lorseTayuledform:cnodtirce´’ Z x 5 2 2 f(x) =x(= 30 x−t)t dt 0 Exercice 3. Calculerlesint´egrales: Z π 2 2 I=xsinx dx 0 Onutilise`ar´ep´etitionlaformuled’int´egrationparparties: Z Z b b b u dv= [uv]−v du a a a enint´egrantlafoctiontrigonome´triqueetd´erivantlepolynoˆme,soit: Z Z Z π π π π 2 2 2 2 2 22 I=x sinx dx=x d(−cosx) = [−xcosx]0+ 2xcosxdx 0 0 0 Z Z Z π π π π 2 2 2 2 I= 2xcosxdx= 2x d(sinx) = [2xsinx]0−2 sinx dx 0 0 0 π 2 I=π+ [2 cosx] =π−2 0 I=π−2
Z3 1 2x J=√dx 4 x+ 1 0 3 4 4 3 4xltseeede´vire´dax(d(x) = 4x), on fait donc le changement de variable 4 t=x, soit: Z √ √ 1 dt 1 J=√= [t+ 1] = 2−1 0 2t+ 1 0 √ J= 2−1
Z π 4 3 3 K= sintcost dt 0 1 1 On fait apparaˆıtre sintcost dt2= sin t dt=−d(cos 2t), soit: 2 4 Z Z π π 1 4 4 2 2 2 2 K= sintcostsintcost dt=−sintcost d(cos 2t) 040
4
Z π 14(1−cos 2t)(1 + cos 2t) K=−d(cos 2t) 404 Z π 1 4 2 K=−(1−cos 2t)d(cos 2t) 160 Soit par le changement de variablex= cos 2t: Z Z 0 1 1 1 2 2 K=−(1−x)dx= (1−x)dx 161160 3 1x1 1 1 1 K= [x−] = (1−) = 0 16 3 16 3 24 1 K= 24 Les changements de variablesx= sintoux= costoux=tg tconvien-nent´egalement.
Z Z 1 1 1 1 L=dx=dx 3 2 0x+ 10(x+ 1)(x−x+ 1) 1 x=−antepondestpruoacre,plimesiertpalaapicnirpserrocele1tsˆplo 3(x+1) 1 1 2 x=−1,2omerinˆ.Leturaveldnalperx−x+ 1 est de discriminant x−x+1 3 Δ =−fractiontiondelacemoopisit,fal´dga´e,n3seleststnepmise´neme´l donc du type: 1 1Ax+B (1) = + 2 2 (x+ 1)(x−x3(+ 1) x+ 1)x−x+ 1
1 2 Pourx+1 = = 0 on obtient: Bsoit:B= . 3 3 En multipliant parxerdnli’edtnti(1´etf)esaaitentxvers +∞, on obtient:
2 x x Ax+Bx 0 (1 ) = + 3 2 x+ 1 3(x+ 1)x−x+ 1 1 0 = +A 3 1 soit:A=−et donc: 3 1 1−x+ 2 = + 3 2 x3(+ 1 x+ 1) 3(x−x+ 1)
5
