Corige du DS du M202 parcours SPI Licence ieme annee
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Corige du DS du 15/11/2008, M202 parcours SPI, Licence 2-ieme annee Exercice II. (a) En passant aux coordonnees polaires, on trouve : lim (x,y)?(0,0) f(x, y) = lim r?0 r2 + r3(cos ? ? sin2 ?) r2 = 1 + limr?0 r(cos ? sin 2 ?) = 1, par la regle des gendarmes puisque r ? 0 et cos ? sin2 ? est borne. (b) Regardons la limite de g en (0, 0) le long de la courbe d'equation x = 0 : Elle s'ecrit : lim y?0 g(0, y) = lim y?0 ln(1 + y2) y3 = limy?0 y2 + y2?(y2) y3 = limy?0 1 + ?(y2) y cette limite n'existe pas (+∞ en 0+ et ?∞ en 0?). (c) Regardons la limite de h en (0, 0) le long de la courbe d'equation x = 0 : lim y?0 h(0, y) = lim y?0 0 y2 = 0. Regardons la limite suivant la courbe d'equation y = x2 : lim x?0 h(x, x2) = lim x?0 x4 2x4 = 1 2 Ces deux limites sont differentes, on conclut que h n'a pas de limite en (0, 0).
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Corige du DS du 15/11/2008, M202 parcours SPI, Licence 2-ieme annee Exercice II. (a) En passant aux coordonnees polaires, on trouve : lim (x,y)?(0,0) f(x, y) = lim r?0 r2 + r3(cos ? ? sin2 ?) r2 = 1 + limr?0 r(cos ? sin 2 ?) = 1, par la regle des gendarmes puisque r ? 0 et cos ? sin2 ? est borne. (b) Regardons la limite de g en (0, 0) le long de la courbe d'equation x = 0 : Elle s'ecrit : lim y?0 g(0, y) = lim y?0 ln(1 + y2) y3 = limy?0 y2 + y2?(y2) y3 = limy?0 1 + ?(y2) y cette limite n'existe pas (+∞ en 0+ et ?∞ en 0?). (c) Regardons la limite de h en (0, 0) le long de la courbe d'equation x = 0 : lim y?0 h(0, y) = lim y?0 0 y2 = 0. Regardons la limite suivant la courbe d'equation y = x2 : lim x?0 h(x, x2) = lim x?0 x4 2x4 = 1 2 Ces deux limites sont differentes, on conclut que h n'a pas de limite en (0, 0).
- limite suivant la courbe d'equation
- yn sin
- ∂f ∂x
- plans tangents
- sinn ?
- matrice jacobienne de ?
Corig´eduDSdu15/11/2008,M202parcoursSPI,Licence2-i`emeanne´e
Exercice II. (a)Enpassantauxcoordonn´eespolaires,ontrouve: 2 32 r+r(cosθ−sinθ) 2 limf(x, y) = lim= 1 + limr(cosθsinθ) = 1admrgsneeled`rge,plaares 2 (x,y)→(0,0)r→0rr→0 2 puisquer→0etcosθsinθest borne´. (b) Regardons la limite degen(0,0)noleledguocadebr'´equationlx= 0: Elle s'e´crit : 2 22 22 ln(1 +y)y+y ǫ(y) 1+ǫ(y) limg(0, y= lim) = lim= lim 3 3 y y y y→0y→0y→0y→0 cette limite n'existe pas (+∞en0+et−∞en0−). 0 (c) Regardons la limite dehen(0,0)le long de la courbe d'e´quationx= 0:limh(0, y) = lim= 0. 2 y y→0y→0 4 x1 2 2 Regardonslalimitesuivantlacourbed'´equationy=x:limh(x, xlim =) = 4 2x2 x→0x→0 Cesdeuxlimitessontdiff´erentes,onconclutquehn'a pas de limite en(0,0).
Exercice III. 1. 2 •fest continue surR\ {(0,0)}comme produit, et compose´e de fonction usuelles continues sur leurs do-mainesded´efinition. •fest continue en(0,0)si seulement silimf(x, y) =f(0,0), ici : (x,y)→(0,0) 1 n n limf(x, ylim) =y= 0 =sin( )f(0,0)par la re`gle des gendarmes puisqueytend 2 2 (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)x+y 1 vers0de`s quen≥1et quesin(2 2)est borne´e. x+y 2. •dseraitleelv´rispeedece´esdixEnetsfen(0,0)? Pard´efinitionlad´eriv´eepartielledefaprrpaop`artxen(0,0)est –si elle existe– la limite f(0 +x,0)−f(0,0) 0 lim =lim =0 x→0x→0 x x Pard´efinitionlade´rive´epartielledefport`aaprrpayen(0,0)est –si elle existe– la limite f(0,0 +y)−f(0,0) 1 n−1 lim =limysin( ). 2 y y y→0x→0 sin≥2dnegemragl`eesedpalearrlc,imiletteteisexteultneset 1 sin= 1, cette limite estlim sin(2)qui n'existe pas. y x→0 En conclusion :f´dedtemdael)snslupeulsed(iellpart´eeserivarxvbliaesrrapoppauatruedxxetyssi n≥2. •Pour quelle valeur den,fenleest-e´ffidellbaitnere(0,0) On sait qu'une condition ne´cessaire pourfiablrentffs´oeitdieen(0,0)est quefv´ri´esddeteetdmaselleitrapsee en(0,0)st`adireuqe,c'en≥2. Supposons doncn≥2. D'apre`s le cours, montrer quefest diffe´rentiable en (0,0)revient a` montrer que la limite ∂f ∂f f(0+x,0+y)−f(0,0)−( ((0,0))∙x+ ((0,0))∙y) ∂x ∂y lim 2 2 x+y (x,y)→(0,0) 1
