CONCOURS COMMUN 2006 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI ALÈS DOUAI NANTES
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Niveau: Supérieur
CONCOURS COMMUN 2006 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Jeudi 11 mai 2006 de 14h00 à 18h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres corres- pondante. L'emploi d'une calculatrice est interdit PREMIER PROBLÈME désigne l'ensemble des nombres réels. On notera M2() l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que (M2(),+,.) est un espace vectoriel sur et ? désigne la mul- tiplication des matrices. ? désigne l'ensemble des complexes. On notera z le module d'un complexe z. Les différentes parties de ce problème ont un lien entre elles mais peuvent être traitées séparément. Étude d'une fonction. Soit la fonction qui à un complexe z associe, lorsque c'est possible, =f )(zf iz z 2 ? ? . 1. Déterminer le domaine de définition D de f 2. a. Déterminer les racines carrées complexes de i68 ? .
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CONCOURS COMMUN 2006 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Jeudi 11 mai 2006 de 14h00 à 18h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres corres- pondante. L'emploi d'une calculatrice est interdit PREMIER PROBLÈME désigne l'ensemble des nombres réels. On notera M2() l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que (M2(),+,.) est un espace vectoriel sur et ? désigne la mul- tiplication des matrices. ? désigne l'ensemble des complexes. On notera z le module d'un complexe z. Les différentes parties de ce problème ont un lien entre elles mais peuvent être traitées séparément. Étude d'une fonction. Soit la fonction qui à un complexe z associe, lorsque c'est possible, =f )(zf iz z 2 ? ? . 1. Déterminer le domaine de définition D de f 2. a. Déterminer les racines carrées complexes de i68 ? .
- e??? ????
- ???? ?
- ?? cos2
- sin
- mul- tiplication des matrices
- matrice de ?b dans la base canonique de m2
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Français
CONCOURS COMMUN 2006 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Jeudi 11 mai 2006 de 14h00 à 18h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres corres-pondante. L'emploi d'une calculatrice est interdit
PREMIER PROBLÈME §désigne l’ensemble des nombres réels. On noteraM2(§) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que (M2(§),+,.) est un espace vectoriel sur§et×désigne la mul-tiplication des matrices. désigne l’ensemble des complexes. On noterazle module d’un complexez. Les différentes parties de ce problème ont un lien entre elles mais peuvent être traitées séparément. Étude d’une fonction. z² Soitfla fonction qui à un complexezc’est possible,associe, lorsquef(z) =. z−2i 1.Déterminer le domaine de définitionDdef2. a.Déterminer les racines carrées complexes de8 6i. b.En déduire tous les antécédents de1iparf. 3.Soithun complexe. Discuter suivant les valeurs dehle nombre d’antécédents dehparf. 4.Déterminer l’imagef(D) deD parf. La fonctionfest-elle une application surjectivede D dans ? 5.fest elle une application injective deDdans? CONCOURS COMMUN SUP 2006 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page1/4
Soit l’applicationdéfinie surDà valeur danset telle que : z²3 ∀z∈D,g(z) =z−2i²+zz−2i 6.Soitzun complexe appartenant àD de partie réellexet de partie imaginairey. Trouver la partie réelle et la partie imaginaire deg(z) .Montrer en particulier que la partie réelle deg(z) est: 3 2x−2xy²−4xy. G G Soit le planPrepère orthonormé directrapporté à unR(O,e,e). SoitΓl’ensemble des pointsM1 2 du plan d’affixeztels queg(zun imaginaire pur.) est 7.Montrer queΓest inclus dans la réunion d’une droite∆ et d’une coniqueC. PréciserΓ. 8.Déterminer la nature deC. Préciser le centre et les axes deC. Déterminer l’excentricité deCainsi que les coordonnées de ses foyers dans le repèreR. Étude d’un polynôme. Soitaentier naturel. Soit unP lafonction polynôme définie sur§ par: a 3 ∀t∈§,P(t)=t−t(a²+2a)+2 . a Le but de cette partie est de trouveratel quePpossède trois racines dans¯. a On suppose queaexiste. Soientt,t,tles 3 racines dePavect≤t≤t. 1 2 3a1 2 3 9.Que valentt+t+tetttt? 1 2 31 2 3 10.CalculerPa(0) et en déduire quet<0. 1 11.Déduire du 9.queet du 10.t≤0≤t≤t≤ −tpuis les valeurs det,t,t. 1 23 11 2 3 12.Montrer queP′(t) =0. En déduire la valeur dea. a2 13.Réciproquement, montrer que la valeur deaainsi trouvée convient bien. Étude de deux ensembles de matrices. ⎛x−y y⎞ Soit (x,yélément quelconque de) un§² . On noteMla matrice⎜ ⎟. x,y 2x+y ⎝ ⎠ SoitΣle sous-ensemble deM2(§) telqueΣ={M, (x,y)∈§²}. x,y 14.etQuelle relation doivent vérifierypour que la matriceMne soit pas inversible ? x,y M M Calculer le produitM×−xy. En déduire l’inverse dex,ylorsqu’il existe. x,y, 15.Σest-il un sous-espace vectoriel de (M2(§),+,.) ? On justifiera sa réponse.⎛0 0⎞ M x∈§²}. SoitA=⎜ ⎟∈M2(§) etJ={A+x,y,, (y) −2 0 ⎝ ⎠ 16.Montrer queJest un sous-espace vectoriel de (M2(§),+,.). 17.Quelle est la dimension deJ? Déterminer une base deJ.18.Montrer quela loi×est interne dansJ.Étude d’une application deM2(§). SoitBune matrice quelconque deM2(§). SoitϕBl’application deM2(§) dansM2(§) qui à la ma-triceXassocie la matriceϕB(X) =B×X. 19.Montrer queϕBest un endomorphisme de l’espace vectoriel (M2(§),+,.). ⎛1 1⎞ 20.On suppose dans cette question queB=M2,1=⎜⎟. 2 3 ⎝ ⎠ CONCOURS COMMUN SUP 2006 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières)2/4 Page
20.aϕB est elle surjective ? Bijective ? 20.b. Déterminer la matrice deϕBdans la base canonique deM2(§). On rappelle que la base canonique deM2(§) est constituée des matrices ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ (E1,1,E1,2,E2,1,E2,2) oùE1,1=⎜ ⎟,E1,2=⎜ ⎟,E2,1=⎜ ⎟etE2,2=⎜ ⎟. 0 00 01 00 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛2−2⎞ 21.On prend dans cette questionB=M0,–2=⎜ ⎟.ϕBest elle surjective ? Bijective ? 2−2 ⎝ ⎠
DEUXIÈME PROBLÈME. Soitnun entier naturel. Sinest non nul,on notefla fonction définie sur§qui associe à un réel n sinx x lorsque c’est possiblef(x)= −. On notefla fonction définie sur§qui associe à n0 2−cosx n sinx un réelxlorsque c’est possiblef(x)=. 0 2−cosx Généralités surf. n Soitnun entier naturel fixé. 1.Déterminer le domaine de définitionDdef. n 2.fest-elle paire ?fest-elle impaire ? On justifiera sa réponse. n n 3.fest-elle 2π-périodique ? n 4.Montrer qu’il suffit d’étudierfsur [0,π] pour tracer sa courbe surDtout entier. On justifiera n sa réponse. ion . Étude de la fonctf05.Étudier la dérivabilité defsurD. Déterminer l’expression de sa dérivée. 0 6.Étudier le signe de la dérivée defsur [0,π]. 0 7.Déterminer le tableau de variations sur [0,π] et tracer l’allure de la courbe defsur§dans le 0 plan rapporté à un repère orthonormé. -3 Onrappelle que :3 apour valeur 1,732 comme valeur approchée par défaut à 10près. 8.Déterminer les valeurs maximales et minimales atteintes parf(xparcourt) quand§. En dé-0 duire la valeur maximale atteinte parf(x)lorsque parcourt§. 0 Utilisation d’une primitive def. 0 π sint 3 9.Déterminer une primitive defsur§. En déduiredt. ∫0 0 2−cost sinx Soit l’équation différentielle(E) :y' (x)+y(x)=2 sinx. 2−cosx 10.Résoudre sur§l’équation sans second membre(H) associée à (E). 11.Chercher une solution particulière de (E) sous la formex6acos(x)+bavec (a,b)∈§². Résoudre (E) sur§.12.Trouver la fonctionhdéfinie sur§, solution de (E) et qui vérifie :h(0)=1.
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Étude d’une courbe polaire. Le plan est rapporté à un repère orthonormé directℜ(O,i,j). SoitΓla courbe définie par G sinθG ρ=θθ+θ l’équation polaire :. Pour tout réelon noterauθle vecteuruθ= cosisinjet 2−cosθ sin M(θ) le point dOM(θ)=u u plan tel queθ. 2−cosθ 13.deSoit un élémentD. Montrer qu’il existe une symétriestelle ques(M) =( )M(−) . π 14.Déterminer une équation cartésienne de la tangente àΓau pointM( ). 2 15.Tracer l’allure de la courbeΓ. sinx Étude de la fonction:x6. x(2−cosx) 16.Déterminer le domaine de définition de. 17.admet une limite finieMontrer quelen 0. On prolongepar continuitéen posant :g(0) =l.18.Déterminer le développement limité en 0 d’ordre 3 deainsi prolongée. 19.est dérivable en 0 et déterminerMontrer queg' (0) . On admet queest dérivable sur ]0,π] et quepour toutde ]0,π],g' (x) est strictement négatif. 20.Montrer quegest une bijection entre [0,π] et un ensembleIà définir. On noterahsa réciproque. Étude d’une suite qui annulef. n Soitnun entier naturel non nul. 21.Montrer que siaest un réel strictement positif qui annulef, alorsaappartient à l’intervalle n [0,n3 ]. 22.Montrer qu’il existe ununique réelxnappartenant à [0,π] tel quefn(xn) = 0.23.Montrer que la suite (xn) est convergente et déterminer sa limite.FIN DE L'ÉPREUVE
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