Concours Centrale Supélec - Filière MP
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2006 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière MP Notations et objectifs du problème • On rappelle qu'une ellipse d'un plan affine euclidien, de demi-axes et , notée admet, dans un certain repère orthonormé, une représentation paramétrique de la forme : (1) ( décrit un segment de longueur ). • désigne le espace vectoriel des fonctions continues sur , pério- diques, à valeurs complexes. On munit cet espace du produit scalaire défini par : . • Pour , et on rappelle les expressions des coefficients de Fourier exponentiels et trigonométriques de , utiles dans le problème : , . • Dans tout le problème désignera un nombre réel appartenant à l'intervalle ouvert et l'élément de défini par : On désignera aussi par l'ensemble des suites réelles vérifiant, pour tout entier naturel non nul , la relation : et le sous-ensemble de constitué des suites telles que le rayon de convergence de la série entière de terme général soit au moins égal à . • Dans tout le problème sera la suite réelle définie par : pour tout . (Les candidats qui le préfèrent pourront aussi noter le coefficient binomial). • La partie entière du réel est notée . a b a b 0> >( ) Ea b,( ) x a tcos= y b tsin=?? ? t 2π C2π C- IR 2π- f g( ) 12π----
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- redaction
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2006 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière MP Notations et objectifs du problème • On rappelle qu'une ellipse d'un plan affine euclidien, de demi-axes et , notée admet, dans un certain repère orthonormé, une représentation paramétrique de la forme : (1) ( décrit un segment de longueur ). • désigne le espace vectoriel des fonctions continues sur , pério- diques, à valeurs complexes. On munit cet espace du produit scalaire défini par : . • Pour , et on rappelle les expressions des coefficients de Fourier exponentiels et trigonométriques de , utiles dans le problème : , . • Dans tout le problème désignera un nombre réel appartenant à l'intervalle ouvert et l'élément de défini par : On désignera aussi par l'ensemble des suites réelles vérifiant, pour tout entier naturel non nul , la relation : et le sous-ensemble de constitué des suites telles que le rayon de convergence de la série entière de terme général soit au moins égal à . • Dans tout le problème sera la suite réelle définie par : pour tout . (Les candidats qui le préfèrent pourront aussi noter le coefficient binomial). • La partie entière du réel est notée . a b a b 0> >( ) Ea b,( ) x a tcos= y b tsin=?? ? t 2π C2π C- IR 2π- f g( ) 12π----
- det mn
- sr br
- énoncé précis du théorème de parseval relatif
- espace du produit scalaire
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Français
MATHÉMATIQUES IFilière MP MATHÉMATIQUES I
Notations et objectifs du problème • Onrappelle qu’une ellipse d’un plan affine euclidien, de demi-axesa etb (a>b>0), notée(E) admet,dans un certain repère orthonormé, une a,b représentation paramétrique de la forme : x=a cost (1) y=b sint (tdécrit un segment de longueur2π). •C2πdésigne leC-espace vectoriel des fonctions continues surIR,2π-pério-diques, à valeurs complexes. On munit cet espace du produit scalaire défini par : π 1 (f g)=-f(t)g(t)dt. 2π∫–π • Pourk∈ZZ,n∈INetf∈C2πon rappelle les expressions des coefficients de Fourier exponentiels et trigonométriques def, utiles dans le problème : π π 1–kit1 c(f)=-f(t)e dt,a(f)=-f(t)cos(nt)dt. 2π∫–ππ∫–π k n •Dans tout le problèmerun nombre réel désigneraappartenant à it l’intervalle ouvert]0,1[etfl’élément deC2πdéfini par :ta1 –re r On désignera aussi parSrl’ensemble des suites réellesan nvérifiant, pour ( ) ≥0 tout entier naturel non nuln, la relation : 2 r(2n+ 3)a–(1 +r)2na+r(2n– 3)a= 0 n+ 1n n– 1 BrSn etle sous-ensemble derconstitué des suites(a)telles que le rayon de n convergence de la série entière de terme générala zsoit au moins égal à1. n • Danstout le problème(α )sera la suite réelle définie par : n n≥0 2n – n α=-pour toutn∈IN. n n 4(2n– 1) n (Les candidats qui le préfèrent pourront aussi noterCle coefficient binomial). 2n • Lapartie entière du réelxest notée[x].
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MATHÉMATIQUES I
Filière MP
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• L’attentiondes candidats est attirée sur le fait que la notationz nesera prise en considération que lorsquezest un nombre réel positif. • L’objectifdu problème est l’étude de quelques problèmes asymptotiques rela-tifs à la longueur, notéeL(a,b), de l’ellipse(E). a,b
Partie I - Préliminaires I.A -Préciser sur un dessin la signification géométrique du paramètretinter-venant dans le paramétrage (1). I.B -Prouver rapidement queSretBrsont desR-espaces vectoriels et pré-ciser la dimension deSr. I.C -Donnersans démonstrationprécis du théorème de Parseval l’énoncé relatif à un élémentf∈C2π(les coefficients de Fourier intervenant dans la for-mule seront les coefficients exponentiels). Sifetgsont deux éléments deC2π, prouver, en justifiant d’abord la conver-gence absolue de la série, la formule : ∞ (f g)=c(f)c(g) +(c(f)c(g)+c(f)c(g)). ∑ 0 0n n–n–n n= 1 I.D -Soitnun entier naturel. Exprimera(f)à l’aide dec(f). n rn r a–b I.E -Soientaetbdeux réels vérifianta>b>0. On poser=-. a+b L(a,b) Exprimer, en fonction dea,bet de constantes, le réel-. a(f) 0r Partie II - .Comportement asymptotique de la suite(a(f)) n r II.A -Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière de terme géné-n ralαz. On noteraf(z)sa somme dans le disque ouvert complexe de centre0 n et de rayonR. II.B -Soitxun réel appartenant à l’intervalle ouvert]–R,R[. Donner une rela-tion entre(1 –x)f′(x)etf(x). En déduire une expression simple de la restriction defà l’intervalle ouvert]–R,R[.
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MATHÉMATIQUES IFilière MP II.C -On choisit maintenant un complexezque telz<R. Déterminer une 2 expression très simple def(z). 2 it II.D -Prouver, pourr∈]0,1[ett∈IR, la relation :f(re)=f(t). r II.E -Soitn unentier naturel. En utilisant la question I.C et la précédente, prouver l’égalité : c(f)+∞α n rn+[x]2[x] -=α-r dx. ∫0n [x] n α αr n En déduire la limite de cette suite quand l’entierntend vers l’infini. II.F -Prouver que, quandn→ ∞: 2n 1 –r r a(f) ∼-. n r 3∕2 πn En quoi ce résultat corrobore-t-il votre cours sur les séries de Fourier ? Partie III - Approximation deL(a,b) III.A -Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre satis-faite parf. En déduire que la suite(a(f))appartient àBr. r nr III.B -Pour tout réelr∈]0,1[, on définit deux suites(A(r)) et(B(r)) n n n≥0n≥0 par : 22 A(r)= 1,B(r)= 0,A(r)= –-(1 +r),B(r)= 1 0 01 1 r et les relations de récurrence, valables pourn≥2: 2 2n(1 +r)2n+ 1 A(r)=-A(r)–-A(r) n n– 1n– 2 r(2n– 3)2n– 5 2 2n(1 +r)2n+ 1 B(r)=-B(r)–-B(r) n n– 1n– 2 r(2n– 3)2n– 5 on définit également, pourn≥1, la matriceM(r)par : n 2n+ 3 A(r) –-A(r) n n– 1 2n– 3 M(r)=. n 2n+ 3 B(r) –-B(r) n n– 1 2n– 3
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MATHÉMATIQUES IFilière MP Pour alléger la rédaction, les candidats pourront remplacer, chaque fois que cela leur paraîtra utile, les expressionsA(r),B(r),M(r), parA,B,M. n nn nn n
Pourn≥1, déterminer une matriceT, dont les coefficients dépendent denet n r(an)Sr , telle que pour toute suiteappartenant àon ait : n≥0 a a n– 1n =T. n a a n n+ 1 Écrire, dans le langage de calcul formel de votre choix, des fonctions prenant en argument l’entiern etretournanta,A,B;a,a etr serontconsidérés n n n0 1 comme des variables globales. Montrer que, pour tout entiern≥1:, on a M=M T. n n– 1n a n En déduire le produit matricielM indépendamment den n a n+ 1 III.C -Soit(u) unesuite réelle telle qu’existent une suite(ε ) tendant n n n∈IN vers0, un réell, un réelk∈]0,1[et un entierNvérifiant : ∀n>N,u–l≤k u–l +εn n– 1n Montrer quelimu=l. n n→ ∞ III.D -Prouver que : a(f) 0r limA a(f)=-n nr 2 n→ ∞ 1 –r Que dire de la suite de terme généralB a(f)lorsquentend vers l’infini ? n nr a–b III.E -Soientaetbdeux réels tels quea>b>0. On poser=-. a+b À l’aide des questions II.E et III.D, démontrer que la suite(l)définie par : n 3∕2 2 l=(a+b)π(1 –r) 0 2 l=l(1 +r) L(a,b) 1 0.converge vers 2 2r(2n+ 1)(2n– 3) l=(1 +r)l–-l n n– 1n– 2 4n(n– 1)
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MATHÉMATIQUES IFilière MP Partie IV - Étude deSret deBr IV.A -Soit(a)un élément de. Prouver l’égalité : n≥S r n0 a A–a B=adetM 1n0n n+ 1n IV.B -CalculerdetTpuisdetM. Donner un équivalent dedetM. n nn IV.C -Préciser la dimension et une base deBr. Soit(a)un élément deSr n qui n’appartient pas àBr. Déterminer un équivalent simple dea lorsque n n→ ∞.
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