Concours Centrale Supélec
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2000 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière TSI Le but de ce problème est de définir et d'étudier, de différentes manières, la cons- tante d'Euler. Les quatre parties proposées sont, dans une large mesure, indé- pendantes les unes des autres. Partie I - Pour tout , on pose : , , . I.A - Montrer que : , , . I.B - Montrer que les suites et sont adjacentes. On notera leur limite commune. Montrer, de plus, que : . I.C - En déduire une valeur approchée de à près. I.D - Posons : , . Montrer que la série de terme général est convergente et que l'on a : . I.E - Soit un entier supérieur ou égal à . Pour tout réel non nul , on pose : . I.E.1) Soit la fonction affine définie sur l'intervalle par : , . Calculer : . n 2≥ Sn 1 i -- i 1= i n= ∑= un Sn nln–= vn Sn 1– nln–= x [0 1[,?? x 1 x–( ) 0≤ln+ x 1 x+( ) 0≥ln– un( ) vn( ) ? n 2 vn ? un≤ ≤,≥? ? 10 1– n 2≥? wn n n 1–------------? ?? ? 1n--
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MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2000 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière TSI Le but de ce problème est de définir et d'étudier, de différentes manières, la cons- tante d'Euler. Les quatre parties proposées sont, dans une large mesure, indé- pendantes les unes des autres. Partie I - Pour tout , on pose : , , . I.A - Montrer que : , , . I.B - Montrer que les suites et sont adjacentes. On notera leur limite commune. Montrer, de plus, que : . I.C - En déduire une valeur approchée de à près. I.D - Posons : , . Montrer que la série de terme général est convergente et que l'on a : . I.E - Soit un entier supérieur ou égal à . Pour tout réel non nul , on pose : . I.E.1) Soit la fonction affine définie sur l'intervalle par : , . Calculer : . n 2≥ Sn 1 i -- i 1= i n= ∑= un Sn nln–= vn Sn 1– nln–= x [0 1[,?? x 1 x–( ) 0≤ln+ x 1 x+( ) 0≥ln– un( ) vn( ) ? n 2 vn ? un≤ ≤,≥? ? 10 1– n 2≥? wn n n 1–------------? ?? ? 1n--
- up ? wn
- filière tsi
- ?n ?
- vn sn
- polynôme de degré inférieur
- concours centrale -supélec
- wn
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Français
MATHÉMATIQUES I
MATHÉMATIQUES I
Filière TSI
Le but de ce problème est de définir et d’étudier, de différentes manières, la cons-tante d’Euler. Les quatre parties proposées sont, dans une large mesure, indé-pendantes les unes des autres.
Partie I -Pour toutn2, on pose : i=n 1 S=-,u=S– lnn,v=S– lnn. nn nn n– 1 i i= 1 I.A -Montrer que :x[0,1[,x+ ln(1 –x) 0,x– ln(1 +x) 0. I.B -Montrer que les suites(u)et(v)sont adjacentes. On noteraleur limite n n commune. Montrer, de plus, que :n2,vu. n n –1 I.C -En déduire une valeur approchée deà10près. I.D -Posons :n2, n1
w= ln-–-. n n– 1n Montrer que la série de terme généralwest convergente et que l’on a : n n= + u–=w. pn n=p+ 1 I.E -Soitkun entier supérieur ou égal à2. Pour tout réel non nult, on pose : 1 f(t)=-. t I.E.1) Soitgla fonction affine définie sur l’intervalle[k–1,k]par : g(k– 1)=f(k– 1),g(k)=f(k). Calculer : k g(t)dt. k– 1
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MATHÉMATIQUES I
Filière TSI
Filière TSI
I.E.2) Montrerqu’il existe une et une seule fonctionh, affine sur chaque 1 1 intervalle]- ,k–-,k–-,+ [, telle que : 2 2 h(k– 1)=f(k– 1),h(k)=f(k),h(k– 1)=f(k– 1),h(k)=f(k). I.E.3) Quepeut-on dire de la continuité deh? I.E.4) Calculer: k h(t)dt. k– 1 I.F -Montrer que : t [k– 1,k],h(t) f(t) g(t). I.G -Etablir l’encadrement suivant : 1 11 1k1 1
-+-+-–-ln--+-. 2 2 2(k– 1)2k k– 12(k– 1)2k 8k8(k– 1) I.H -En déduire un encadrement deu–, pourn2. n –3 I.I -Donner une valeur approchée deà10près.
Partie II -II.A -Montrer l’égalité : i=n n 1 1 1–t -=-dt. 1 –t i0 i= 1 II.B -En déduire que : n x
i=n1 –1 –-n n 1 -=-dx i0x i= 1 1nn n x dxx dx
u–= 1– 1--–– 1--. n 0n x1n x II.C -Démontrer les inégalités suivantes : Concours Centrale-Supélec 2000
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MATHÉMATIQUES I II.C.1)xIR, x 1 +xe. II.C.2)x [0,n], n x–x
1 –-e. n II.C.3)x [0,n], n xx
1 +-e. n II.C.4)x [0,n], n 2 2
x x 1 –- 1 –-. 2 n n N.B. : on pourra commencer par démontrer que : n u [0,1], (1 –u)– 1 +nu0. II.C.5)x [0,n], n2 –xxx–x 0e–– 1--e. n n II.D -Montrer que l’intégrale –x + e -dx 1x converge et que l’on a : –x 1 + –xdx e =(1 –e)-–-dx. 0x1x
On pose :x>0, 1 1 (x)=-–-. –x x 1 –e
Partie III -
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III.A -Montrer queest prolongeable par continuité en0et bornée surIR+. + –x III.B -Montrer que l’intégralee(x)dxest convergente. 0 III.C -On pose, pourn2: –x–nx + e–e I(a)=-dx. x n a
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Montrer queI(a)existe, pour touta>0, et que l’on a : n –x–x na na e1 –e a>0,I(a)=-dx= lnn–-dx. n axax –x–nx + e–e III.D -Montrer que l’intégrale-dxest convergente et que l’on a : 0x –x–nx + e–e -dx= lnn. x 0
III.E -Montrer que : + –x–nx v=(e–e)(x)dx. n 0
III.F -En déduire que : + –x =e(x)dx. 0
Partie IV -
SoitIR[X]le sous-espace deIR[X]formé des polynômes de degré inférieur ou n égal àn. Soitl’endomorphisme deIR[X]défini par : PIR[X], (P)(X)=P(X+ 1)–P(X). Soit larestriction de àIR[X], considérée comme endomorphisme de n n IR[X]. n IV.A -DéterminerKer,Ker,Im,Im. n n IV.B -SoitpIN. Montrer qu’il existe un et un seul polynômePdeIR[X]tel p que : p (P)(X)=X,P(0)= 0. p p
IV.C -Soit, pourp1,Q(X)=P (X)–P (0). p pp IV.C.1) Calculer(Q). p IV.C.2) Endéduire l’égalité : Q(X)=pP(X),p1. p p–1
IV.D -Déterminer les polynômesP, pour0p5. p IV.E -Montrer que : 1 x [0,1],–-P(x) 0. 5 128
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Filière TSI
IV.F -Pourk,pIN, on pose : 1p P(t) p– 1 I(k)=-dt. p+ 1 p 0 (t+k) IV.F.1) Déterminerune relation de récurrence entreI(k)etI(k). p p+ 1 IV.F.2) CalculerI(k). 1 IV.F.3) Donnerune expression deI(k)en fonction deI(k). 6 1 IV.F.4) Etablirles inégalités suivantes : 1 11
–--–-I(k) 0. 6 6 6 128 k(1 +k) IV.F.5) Al’aide de la question I.D, en déduire un encadrement deu–. n IV.F.6) Donnerles dix premières décimales de.
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••• FIN •••
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