Concours Centrale Supélec
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2000 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière PC Partie I - Soit l'espace vectoriel réel des fonctions continues à valeurs réelles définies sur l'intervalle , que l'on munit du produit scalaire et des normes , , . Pour tout , on note (respectivement ) la fonction définie sur par la formule (respectivement ). Pour tout , on note la fonction définie sur , -périodique, paire, coïn- cidant avec sur l'intervalle et la fonction définie sur , -périodique, impaire, coïncidant avec sur l'intervalle et vérifiant la condition suivante : en tout point de . I.A - I.A.1) On considère la fonction définie sur par la formule . Représenter graphiquement les fonctions et . I.A.2) Soit un élément de . Montrer (soigneusement) que la fonction est définie et continue, et que la fonction est définie et continue par morceaux. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction soit conti- nue. E 0 π,[ ] f g( , ) f g( ) 2 π -- f t( )g t( ) td 0 π∫=? f f 1? f t( ) td0 π∫= f f 2? f f( )= f f ∞ ? sup 0 t π≤ ≤ f t( )= n IN? cn sn 0 π,[ ] cn t( ) nt( )cos= sn t
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MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2000 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière PC Partie I - Soit l'espace vectoriel réel des fonctions continues à valeurs réelles définies sur l'intervalle , que l'on munit du produit scalaire et des normes , , . Pour tout , on note (respectivement ) la fonction définie sur par la formule (respectivement ). Pour tout , on note la fonction définie sur , -périodique, paire, coïn- cidant avec sur l'intervalle et la fonction définie sur , -périodique, impaire, coïncidant avec sur l'intervalle et vérifiant la condition suivante : en tout point de . I.A - I.A.1) On considère la fonction définie sur par la formule . Représenter graphiquement les fonctions et . I.A.2) Soit un élément de . Montrer (soigneusement) que la fonction est définie et continue, et que la fonction est définie et continue par morceaux. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction soit conti- nue. E 0 π,[ ] f g( , ) f g( ) 2 π -- f t( )g t( ) td 0 π∫=? f f 1? f t( ) td0 π∫= f f 2? f f( )= f f ∞ ? sup 0 t π≤ ≤ f t( )= n IN? cn sn 0 π,[ ] cn t( ) nt( )cos= sn t
- tnf
- formule
- formule de taylor avec reste intégral
- expression explicite de la limite
- définie sur le carré sépa- rément
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Français
MATHÉMATIQUES IFilière PC MATHÉMATIQUES I
Partie I -SoitEl’espace vectoriel réel des fonctions continues à valeurs réelles définies sur l’intervalle[0, ], que l’on munit du produit scalaire 2 (f,g) (f g)=-f(t)g(t)dt 0 et des normes ff=f(t)dt, 1 0 ff=(f f), 2 ff= supf(t). 0 t Pour toutnIN, on notec(respectivements) la fonction définie sur[0, ]par n n la formulec(t)= cos(nt)(respectivements(t)= sin(nt)). n n ˆ Pour toutfE, on notefla fonction définie surIR,2-périodique, paire, coïn-˜ cidant avecfsur l’intervalle[0, ]etfla fonction définie surIR,2-périodique, impaire, coïncidant avecfl’intervalle sur]0, [ etvérifiant la condition suivante : en tout pointxdeIR 1 ˜˜ ˜ f(x)=-lim(f(x+h)+f(x–h)). 2 h0,h>0 I.A -I.A.1) Onconsidère la fonctionfdéfinie sur[0, ]par la formule f(t)2= –t+. ˆ ˜ Représenter graphiquement les fonctionsfetf. ˆ I.A.2) Soitfun élément deE. Montrer (soigneusement) que la fonctionfest ˜ définie et continue, et que la fonctionfest définie et continue par morceaux. ˜ Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la fonctionfsoit conti-nue.
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MATHÉMATIQUES I
Filière PC
Filière PC
I.B -I.B.1) Soitfun élément deE. Montrer que sur l’intervalle[0, ], le problème aux limites y= –f y(0)=y()= 0 admet une solution et une seule notéeTf. Indication: si on désigne par t F:taf(u)du 0 0 la primitive def sur[0, ]en s’annulant0, on pourra exprimerTf àl’aide d’intégrales comportantF. 0 L’objet du problème est d’étudier l’applicationT. I.B.2) DéterminerprécisémentTflorsquefest la fonction définie au I.A.1) et en donner une représentation graphique.
Partie II - Valeurs propres et vecteurs propres de T II.A -Montrer que l’applicationT:fTfest un endomorphisme deE. Déte-rminer son noyau et son image. II.B -Pour tout entier natureln, calculerT cn. II.C -Vérifier que, pour tout couple(f,f)d’éléments deE, 1 2 (fT f)=(ff T) 1 21 2 Que peut-on dire de(f f)lorsquefetfsont des vecteurs propres associés 1 21 2 à des valeurs propres distinctes ? II.D -Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres deT. II.E -On noteS=(s). n nIN II.E.1) MontrerqueSest une famille orthonormale.
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MATHÉMATIQUES I * II.E.2) Soitfun élément deE. Pour toutNIN, on pose N f=(f s)s. Nn n n= 1 ˜ Que représentefpour la fonction2-périodiquef? N En conclure que :limf–f= 0. N2 N+Déduire de là que, sifest orthogonal àS, la fonctionfest nulle. II.F -On noteCl’ensemble desclorsquendécritIN. n II.F.1) LafamilleCest-elle orthonormale ?
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* II.F.2) PourtoutNIN, on pose N 1 h=-(f c)+(f c)c, oùfest un élément deE. Montrer que N0n n 2 n= 1 limf–h= 0. N2 N+Que peut-on dire sifest orthogonal àC?
Partie III - Représentation intégrale de T III.A -Soitfun élément deE. En écrivant la formule de TAYLOR avec reste intégrale à l’ordre1 entre0 etxentre puis0 et, montrer que, pour tout x [0, ], T f(x)=k(x,t)f(t)dt, où 0 t(–x) - si0 t x k(x,t)=x(–t) -0 si x<t III.B -Montrer quekest l’unique fonction définie sur le carré[0[, ] ×0, ]sépa-rément continue enxet entsatisfaisant à la condition T f(x)=k(x,t)f(t)dtpour toutfEet pour toutx [0, ]. 0 III.C -III.C.1) Démontrerque la fonctionkun maximum admetM atteinten un point uniqueAde[0[, ] ×0, ]et déterminerMetA(pourxfixé dans[0, ], on pourra commencer par étudier la fonctiontk(x,t)sur[0, ]).
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MATHÉMATIQUES IFilière PC III.C.2) Endéduire que, pour toutfE, Tf -f. (1) 1 4 III.C.3) Enconsidérant la suite(f)où n n1 n 2 -tsi 0 t - 2 f(t)=n n 2 -(–t) si-<t 2 et en calculantT f- etfque l’inégalité (1) ne peut être amé- montrer n n 1 2 liorée. III.D -III.D.1) Prouverque, pour toutfEet toutx [0, ], 2 T f(x) -f. 2 4 6 Conclure que 2 Tf -f. 2 4 6 III.D.2) Soientfun élément deEet( )une suite d’éléments deEtelle n n1 que limf– = 0. n2 n+Prouver que la suite(T )converge uniformément sur[0,]vers la fonction n1 n Tf. III.D.3) Application: prouver que, pour toutfE, 1 Tf=-(f s)s2 n n n n= 1 et que la série du second membre converge normalement sur[0,]. En déduire que pour tout couple(x,t)de points de[0,], +2 sin(nx)sin(nt) k(x,t)=--. 2 n n= 1 III.D.4) Déduirede la question précédente que pour toutfE,Tf fet 2 2 préciser les fonctions pour lesquelles il y a égalité.
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MATHÉMATIQUES I
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III.E -III.E.1) Al’aide du II.F donner une nouvelle expression deTfcomme somme d’une série de fonctions. III.E.2) Endéduire une nouvelle écriture dekcomme somme d’une série de fonctions, en utilisant la famille(c). n
Partie IV - La suite des itérés de l’endomorphisme T n1 On définit la suite(T)n1la condition initiale parT=Tla relation de et récurrence n+ 1n T=T T. o IV.A -On pose, pour toutfEet toutn1, 1 T f=-(f s)s. np p 2n p p= 1 IV.A.1) Démontrerque la série du second membre converge normalement sur l’intervalle[0,]. n* IV.A.2) ProuverqueT f=T f, pour toutfEet toutnIN. n n IV.B -Déterminer les valeurs propres et les espaces propres deT. IV.C -n IV.C.1) Soitf unélément deE. Montrer que la suite de fonctions(T f)n1 converge uniformément sur[0,]vers une fonction que l’on déterminera ; (il pourra être utile d’étudier le comportement de la suite 1 - lorsquenaugmente indéfiniment). 2n p p= 2n1 n IV.C.2) Donnerl’expression explicite de la limite de(T f)lorsquefest la fonc-tion définie au I.A.1).
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