Concours Centrale Supélec
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2001 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière PC Préliminaire On rappelle qu'une fonction de dans est bornée par un réel si la fonction est majorée par : . 1) Soit un entier supérieur ou égal à . En calculant de deux façons différen- tes le développement limité à l'ordre à l'origine de la fonction mon- trer que : 2) Prouver que si est une suite croissante de réels strictement positifs et , des entiers tels que , on a : . Partie I - I.A - Soit une fonction de classe et de classe par morceaux de dans telle que et soient bornées sur respectivement par et . I.A.1) En écrivant, pour , l'inégalité de Taylor-Lagrange entre et et entre et , montrer que : . I.A.2) En déduire que est bornée par . I.B - I.B.1) Montrer de même que, si est de classe et de classe par mor- ceaux de dans , telle que et soient bornées sur respectivement par et , on a : . I.B.2) est-elle également bornée sur ? ? IR IR K 0> ? K x IR ? x( ),?? K≤ m 1 m ex 1–( )m 1–( )m k– Cm k k j k 1= m ∑ 0m! si j est un entier entre 1 et m 1,– si
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MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2001 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière PC Préliminaire On rappelle qu'une fonction de dans est bornée par un réel si la fonction est majorée par : . 1) Soit un entier supérieur ou égal à . En calculant de deux façons différen- tes le développement limité à l'ordre à l'origine de la fonction mon- trer que : 2) Prouver que si est une suite croissante de réels strictement positifs et , des entiers tels que , on a : . Partie I - I.A - Soit une fonction de classe et de classe par morceaux de dans telle que et soient bornées sur respectivement par et . I.A.1) En écrivant, pour , l'inégalité de Taylor-Lagrange entre et et entre et , montrer que : . I.A.2) En déduire que est bornée par . I.B - I.B.1) Montrer de même que, si est de classe et de classe par mor- ceaux de dans , telle que et soient bornées sur respectivement par et , on a : . I.B.2) est-elle également bornée sur ? ? IR IR K 0> ? K x IR ? x( ),?? K≤ m 1 m ex 1–( )m 1–( )m k– Cm k k j k 1= m ∑ 0m! si j est un entier entre 1 et m 1,– si
- norme de la convergence uniforme
- k–
- ir m0
- inégalité de taylor-lagrange
- entier naturel
- concours centrale -supélec
MATHMATIQUES IFiliËre PC MATHMATIQUES I
PrÈliminaire
On rappelle quÕune fonctiondeIRdansIRest bornÈe par un rÈelK>0si la fonctionest majorÈe parK: xIR,(x) K. 1)Soitmun entier supÈrieur ou Ègal ‡1. En calculant de deux faÁons diffÈren-m x tes le dÈveloppement limitÈ ‡ lÕordrem‡ lÕorigine de la fonction(eÐ1)mon-trer que : m mÐjk k0sijest un entier entre 1 etmÐ1, )C k (Ð1m= m! sij=m. k=1 2)Prouver que si(u)est une suite croissante de rÈels strictement positifs etk, k ndes entiers tels que1kn, on a : n k (u uu() u uu). 1 2k1 2n
Partie I -1 2 I.A -Soitfune fonction de classeCet de classeCpar morceaux deIRdans IRtelle quefetfsoient bornÈes surIRrespectivement parMetM. 0 2 I.A.1) EnÈcrivant, pourh>0, lÕinÈgalitÈ de Taylor-Lagrange entrexetx+h et entrexetxÐh, montrer que : M Mh 0 2 xIR,f(x)-+-. h2 I.A.2) EndÈduire quefest bornÈe par2M M. 0 2 I.B -2 3 I.B.1) Montrerde mÍme que, sifest de classeCet de classeCpar mor-(3) ceaux deIRdansIR, telle quefetfsoient bornÈes surIRrespectivement parMetM, on a : 0 3 13 12 xIR,f(x)-(9M M). 0 3 2 I.B.2)fest-elle Ègalement bornÈe surIR?
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MATHMATIQUES I
FiliËre PC
FiliËre PC
Dans toute la suite du problËme,nest un entier naturel supÈrieur ou Ègal ‡2.
Partie II -nÐ1n Soitfune fonction, non constante, de classeCet de classeCpar morceaux (n) deIRdansIRtelle quefetfsoient bornÈes surIRrespectivement parM 0 etM. n II.A -En utilisant la question 1) du prÈliminaire ainsi que lÕinÈgalitÈ de Taylor-Lagrange ‡ lÕordrenappliquÈe ‡ la fonctionfentre les valeursxetx+hpour (nÐ1) h=1,2,,
nÐ1, montrer que la fonctionfest, elle aussi, bornÈe surIR. (k) II.B -En dÈduire que toutes les dÈrivÈesfbornÈes pour sont0kn. On (k) note alorsM=supf(x). k xIR II.C -II.C.1) Montrerque pour tout entierktel que0kn, on aM>0. k M kÐ1k II.C.2) Enutilisant la suite Þnie(u)avecu=2-, en dÈduire k k 1kn M kÐ1 que pour tout entierkentre0etn, on a : k(nÐk) --------------------2 1Ðkn kn M2M M. k0n Est-ce la meilleure majoration possible ?
Partie III -
E (respectivementF) dÈsigne lÕespace des fonctions continues par morceaux (respectivement continues) deIRdansIRtelles quef(x+1)+f(x)=0pour tout rÈelx. On admettra ÑcÕest ÈvidentÑ que ce sont des sous-espaces vectoriels rÈels de lÕespace de toutes les fonctions bornÈes deIRdansIRque lÕon munit de la norme de la convergence uniforme, notÈe iciNet dÈÞnie par N(f)=supf(x). xIR
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MATHMATIQUES IFiliËre PC III.A -DÈmontrer que pour toute fonctionfdansE, il existegunique dansF telle que, en tout pointx o˘fcontinue, on a estg(x)=f(x). On note alors g=T(f)oug=Tfet lÕon dÈÞnit ainsi une applicationTdeEdansE. III.B -On considËre la fonctiondeEtelle que : 0 (0)=0,(x)=1six] 0;1[. 0 0 1 *k kÐ1k On poseT=Tet sikIN,T=T T, puis pourk1,=T(). ok0 III.B.1) DÈtermineret reprÈsenter graphiquement sur le segement[0;2] les fonctionspourk=0,1,2,3,4. Dans toute la suite , on notera=N(). k kk III.B.2) Montrerque pour toutkINet toutxIR, k+1k (Ðx)=(Ð1) (x)et(1Ðx)=(Ð1) (x). k kk k III.B.3) Montrerque, pourk1, k k =(Ð1) (12)et=(Ð1) (0). 2k2k2kÐ1 2kÐ1 III.C -III.C.1) SoitfE. Montrer que : x x xIR,2T f(x)=f(t)dt+f(t)dt. 0 1 III.C.2) EndÈduire que, pour toutfE, on a2N(Tf)N(f). III.D -DÈterminer les fonctionsfde norme1deEtelles que : 1 N(Tf)=-. 2 III.E -Montrer quÕil nÕexiste pas de fonctionfnorme de1 dansF telleque : 1 N(Tf)=-. 2 III.F -Soit maintenantpun entier naturel non nul etfune fonction de classe nÐ1n Cet de classeCpar morceaux deIRdansIRtelle quef(x+2p)=f(x)pour tout rÈelx. III.F.1) a) Montrerque sifaqzÈros distincts sur[0;2p[, alorsfa au moinsqzÈros distincts sur[0;2p[. b) Montrerque sifetfont exactementqzÈros distincts sur[0;2p[,alors elles nÕont aucun zÈro commun. III.F.2) Pourtout rÈeltel que0< <1et tout rÈel, on dÈÞnit la fonction l:xa(x)Ðf(x+). n
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MATHMATIQUES IFiliËre PC (n) (nÐ1) a) Onsuppose queN(f)1. Montrer quelsÕannule au plus2pfois sur [0;2p[. b) On suppose queN(f) . Montrer quelau moins sÕannule2p foissur n [0;2p[. (n) (k) c) EndÈduire que, siN(f) etN(f)1, leslpourk=1,2,
,nÐ1ont n exactement2pzÈros sur lÕintervalle[0;2p[. III.F.3) Onsupposefnon constante. a) Montrerque lÕon peut trouveretdans[0;2p[tels que : nÐ1 f()=N(f),()=-f(). n N(f) On pose alorsh(x)=(x)Ðf(x+Ð)N(f). n nÐ1 b) Icion supposen3. VÈriÞer queh()=h()=0. c) EndÈduire que : (n) (N(f) etN(f)1) N(f) . n(nÐ1) d) Montrerque cette derniËre implication est encore vraie pourn=2. n III.G -Montrer quÕil existe une fonction de classeCdeIRdans[0;1]valant 1sur le segment[Ð12;12]et0en dehors du segment[Ð1;1](on pourra utili-x n ser la fonctionxasin(t)dtsur le segment[0; ]). 0 nÐ1n III.H -Soit maintenantfune fonction de classeCet de classeCpar mor-(n) ceaux deIRdansIRtelle quefetfsoient bornÈes surIRet pour laquelle : (n) N(f) etN(f)1. n Soitun rÈel de lÕintervalle[0;1[. Pour tout entier naturelpnon nul, on note fla fonction de pÈriode2ptelle que : p f(x)=f(x) (xp)pourxp. p (n) III.H.1) Montrerquefpar morceaux surest continueIRet que lÕon a, pour p passez grand, (n) N(f) etN(f)1. p np III.H.2) EndÈduire que lÕon a encoreN(f) . nÐ1 nÐ1n III.I -Soitfune fonction de classeCet de classeCpar morceaux deIR (n) dansIRtelle quefetfsoient bornÈes surIR. Montrer que, pour tout entier (k) kcompris entre0etn,fest bornÈe et que lÕon a : kn (k)1Ðkn(n)1Ðkn N(f) N(f)N(f) . nÐk n (On pourra utiliser une fonction du typexaa f(bx)).
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MATHMATIQUES I
Partie IV -
FiliËre PC
IV.A -On dÈÞnit, pourpsupÈrieur ou Ègal ‡ entier2, la fonction deF, p 1 1 11 afÞne sur0;-,-;1Ð-et1Ð-;1et vÈriÞant : p p pp 1 1 (0)= (1)=0, (-)= (1Ð-)=1. p pp p p p En utilisant le III.C, montrer que, pour tout entier natureln, on a : n limN(T( ))=. p n p!+ IV.B -En dÈduire que lÕinÈgalitÈ du III.I ne peut Ítre amÈliorÈe.
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