Concours Centrale Supélec
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2001 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière MP Pour tout entier naturel non nul , on notera le polynôme de Taylor d'ordre de l'exponentielle au point 0 : On notera : un système de racines complexes de . On remarquera qu'en posant pour tout , , le système est un système de racines du polynôme . (1) Le but de ce problème est d'établir les deux résultats suivants, auxquels on don- nera un sens précis et dont la preuve fera l'objet des parties II et III du pro- blème, qu'on peut conjecturer à l'aide d'un logiciel de calcul formel : Lorsque , les nombres complexes tendent à s'accumu- ler sur le cercle de centre 0 et de rayon . Les nombres complexes tendent à se répartir régulièrement sur le cer- cle précédent. Dans la dernière partie on applique ce résultat à l'obtention d'un équivalent du nombre de racines de dont la partie réelle est positive. Enfin quelques rappels dont la preuve n'est pas demandée. 1- Une suite extraite (ou sous suite) d'une suite ( ) de nombres complexes est une suite de la forme où est une suite strictement croissante d'entiers on pourra noter , si l'on préfère . 2- De toute suite bornée de nombres réels ou complexes on peut extraire une suite convergente.
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MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2001 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière MP Pour tout entier naturel non nul , on notera le polynôme de Taylor d'ordre de l'exponentielle au point 0 : On notera : un système de racines complexes de . On remarquera qu'en posant pour tout , , le système est un système de racines du polynôme . (1) Le but de ce problème est d'établir les deux résultats suivants, auxquels on don- nera un sens précis et dont la preuve fera l'objet des parties II et III du pro- blème, qu'on peut conjecturer à l'aide d'un logiciel de calcul formel : Lorsque , les nombres complexes tendent à s'accumu- ler sur le cercle de centre 0 et de rayon . Les nombres complexes tendent à se répartir régulièrement sur le cer- cle précédent. Dans la dernière partie on applique ce résultat à l'obtention d'un équivalent du nombre de racines de dont la partie réelle est positive. Enfin quelques rappels dont la preuve n'est pas demandée. 1- Une suite extraite (ou sous suite) d'une suite ( ) de nombres complexes est une suite de la forme où est une suite strictement croissante d'entiers on pourra noter , si l'on préfère . 2- De toute suite bornée de nombres réels ou complexes on peut extraire une suite convergente.
- z–
- qn z
- z– ze
- formule de taylor
- polynôme
- polynôme de taylor d'ordre de l'exponentielle au point
- c1 ir
- entier naturel
MATHMATIQUES IFiliËre MP MATHMATIQUES I
Pour tout entier naturel non nuln, on noteraPle polynÙme de Taylor dÕordre n nde lÕexponentielle au point 0 : n k X P(X)=-n k! k=0 On notera :[, , ,]systËme de racines complexes de unP. On n,1n,2n,n n remarquera quÕen posant *n,k pour toutnIN,z=-, n,k n le systËme[z]est un systËme de racines du polynÙme , n k1kn =P(nX). (1) n n Le but de ce problËme est dÕÈtablir les deux rÈsultats suivants, auxquels on don-nera un sens prÈcis et dont la preuve fera lÕobjet des parties II et III du pro-blËme, quÕon peut conjecturer ‡ lÕaide dÕun logiciel de calcul formel : Ðz n,k Lorsquen , les nombres complexes=z etendent ‡ "sÕaccumu-n,k n,k ler" sur le cercle de centre 0 et de rayon1e. Les nombres complexestendent ‡ se rÈpartir "rÈguliËrement" sur le cer-n,k cle prÈcÈdent. Dans la derniËre partie on applique ce rÈsultat ‡ lÕobtention dÕun Èquivalent du nombre de racines dePdont la partie rÈelle est positive. n EnÞn quelques rappels dont la preuve nÕest pas demandÈe. 1- Une suite extraite (ou sous suite) dÕune suite (z) de nombres complexes n est une suite de la forme(z)o˘(p)est une suite strictement croissante p n n dÕentiers[on pourra noterp,p(n)si lÕon prÈfËre]. n 2- De toute suite bornÈe de nombres rÈels ou complexes on peut extraire une suite convergente. 3- (Convergence dominÈe pour les sÈries) Soit(u), une suite n,k(n,k) IN×IN double de nombres complexes. On suppose quÕexiste une suite(v)de rÈels k positifs telle que : Pour tout couple(n,k),uv. n,k k Pour tout entierk, la suitenauadmet une limitel. n,k k La sÈrie de terme gÈnÈralvconverge. k
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MATHMATIQUES I FiliËre MP
Alors pour toutnINla sÈrie uconverge et la sÈrielconverge n,k k k0k0 et lÕon a :limu=l n,k k n k=0k=0
FiliËre MP
Les trois premiËres parties sont indÈpendantes entre elles sauf les ques-tions II.E.3 et III.C.1.
Partie I - …tude dÕune courbe plane i* I.A -Soitz=eun nombre complexe ( IRet IR). DÈterminer, en fonc-+ Ðz tion deet deune forme trigonomÈtrique du nombre complexe=ze. I.B -DÈmontrer que la fonctionu, dÈÞnie sur0,1]par : 1+lnt u(t)=-t est un homÈomorphisme croissant de0,1]sur] - ,1]dont la fonction rÈcipro-1 que est de classeCsur] - ,1 [. I.C -En dÈduire lÕexistence dÕune fonctionar()deIRdansIRtelle que pour tout rÈel,r()] 0,1]et : Ðr( )cos1 r()e=-e I.D -Exprimer de maniËre simpler(0),r( 2). Donner une valeur approchÈe ‡ Ð6 10prËs, en justiÞant lÕalgorithme utilisÈ, de la constanter(). I.E -Montrer querune fonction continue, est2-pÈriodique et paire; 1 dÈmontrer quÕelle est de classeCsur]0,2[et que, pour tout ]0,2[: 2 dr rsin -=-drcosÐ1
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MATHMATIQUES IFiliËre MP I.F -Donner un Èquivalent simple enhla fonction devpar dÈÞnie hav(h)=1Ðu(1Ðh) lorsqueh0valeurs supÈrieures ( parudÈÞni au est I.B). Gr‚ce ‡ une expression de1Ðcos‡ lÕaide deu(r()), en dÈduire que, lors-que 0par valeurs supÈrieures : r()=1Ð+o() 1 Prouver quear()est de classeCpar morceaux surIR. I.G -Un plan afÞne euclidien orientÈ est rapportÈ ‡ un repËre orthonormÈ di-rect ; dessiner sommairement la courbeune Èquation polaire est dont Ðz =r(). Quelle est lÕimage depar la transformation complexezaze?
Partie II - …tude des modules des racines ndÈsigne toujours un entier naturel non nul. II.A -Prouver que, pourk[[ 1,n]],lessont deux ‡ deux distincts. Il en est n,k donc de mÍme desz. n,k II.B -Pourpentier naturel, on pose : 1 sip=0 pÐ1 n! j n,p p=1Ð-si 1pn q=- n n(nÐp)! j=0 0 sip>n On considËre le polynÙmeQdÈÞni par : n n!n1 --Q(X)=Xn nn X n o˘a ÈtÈ dÈÞni par la formule (1). Montrer que n n p p Q(X)=q X=q X n n,p n,p p=0p=0 Exprimer les racines deQ‡ lÕaide desz. n n,k II.C -II.C.1) SoitrrÈel tel que un0<r<1. Montrer que, pour tout nombre com-plexeztel quezr: 1 p -ÐQ(z)(1Ðq)r n n,p 1Ðz p=0
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MATHMATIQUES IFiliËre MP DÈterminer : 1 limsup-ÐQ(z) n n zr1Ðz II.C.2) EndÈduire que, pourn assezgrand, toute racinez deQ satisfait n z>rpuis que pour toutR>1, il existe un entier naturelNtel que pour tout entier natureln>N, on ait : "k{1,2, ,n},z<R n,k II.D -On considËre une suite(z)de nombres complexes qui converge vers un p complexeztel quez1. Ðz p II.D.1) DÈterminerla limite de la suite(z e)siRe(z)=1. p II.D.2) OnsupposeRe(z)#1, dÈterminer la limite des suites de terme gÈnÈral : 1 ------------p p p+1 z tp p tp $=%1Ð-e dtet&= -p p 0 p! p puis la limite de la suite de terme gÈnÈral : 1 ------------p p p+1 pz t p tp -%Ðe 1-dt p!0 p II.E - Comportement asymptotique desn,k II.E.1) Soitzune racine complexe du polynÙme. Prouver la relation : p p p p p+1p ÐzÐztzt =-% (ze)1Ð-e dt(2) p!0 p (on pourra utiliser une formule de Taylor) II.E.2) Soit(p)une suite strictement croissante dÕentiers naturels et(z) n p n une suite de complexes telle que, pour chaque entiern,zsoit une racine de p n . On suppose de plus que cette suite converge vers un nombre complexez. p n Ðz 1 Montrer quez1et en dÈduire, ‡ lÕaide de la formule (2), queze=-. e Ðz n,k II.E.3) DÈmontrerquÕen posant=z e: n,k n,k 1 limmaxÐ-=0 n,k n 1kne (on pourra raisonner par lÕabsurde et utiliser la question prÈcÈdent)e.
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MATHMATIQUES IFiliËre MP Partie III - RÈpartition des arguments Dans toute cette partie,nest un entier naturel non nul. On pose, pourpIN, non nul : n p s=z n,p n,k k=1 n Ðz pn,k S=(toujours avec=z e) n,p n,k n,k n,k k=1 On notele module deet' IRlÕun quelconque de ses arguments, n,k n,k n,k de sorte que : i' n,k =e n,k n,k EnÞn on rappelle que le polynÙmeQet lesqont ÈtÈ dÈÞnis ‡ la question n n,p II.B. III.A -DÈmontrer, que la fonctionfde la variable rÈellex: n Q((x) n xaÐ-Q(x) n est dÈveloppable en sÈrie entiËre au voisinage de0et que : p f(x)=s x n n,p+1 p=0 III.B - Majoration desS n,p III.B.1) …tablir,pourn1, etp0, la relation : p Ð(p+1)q=q s n,p+1n,in,p+1Ði i=0 III.B.2) Calculers. Prouver, par rÈcurrence sur lÕentierp, que, pour tout n,1 n1et pour toutp1: p s3 n,p en dÈduire : p3p S3e n,p
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MATHMATIQUES I
FiliËre MP
III.C - …quirÈpartition des' n,k III.C.1) SoitpZZnon nul. Prouver que : n 1ip' n,k lime=0 -n n k=1 III.C.2) EndÈduire que, sifest une fonction2-pÈriodique, continue, de classe 1 Cpar morceaux surIR, ‡ valeurs complexes : n 1 1 limf(')=-%f(')d' -n2Ð n,k n k=1
Partie IV - …tude des racines de partie rÈelle positive IV.A -Notonsrle module dezetson argument tel queÐ < . n,k n,k n,k n,k DÈmontrer que : lim maxrÐr( ) n (1kn) n,k n,k (on pourra raisonner comme ‡ la questionII.E.3). Comment interprÈter ce rÈsultat qualitativement ? IV.B -DÈduire de la question III.C.2 et de la prÈcÈdente que, sif est 1 une fonction2-pÈriodique, continue, de classeC parmorceaux surIR, ‡ valeurs complexes : n 1 1 limf[Ðr()sin=%f(')d' -]-n2 n,k n,k n,k Ð n k=1 IV.C -On noteNle nombres de racines dePdont la partie rÈelle est positive. n n DÈmontrer que lorsquen : 1 1 N~-Ð-n n 2e
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