Concours Centrale Supélec
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2002 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PSI Notations et objectifs du problème Pour toutes les questions géométriques on se place dans le plan muni de sa structure affine euclidienne canonique et de son repère orthonormé naturel. Le but de ce problème est d'étudier quelques caractéristiques du mouvement sur l'axe d'un mobile qui se trouve à l'origine au temps initial et au temps et dont la vitesse initiale est nulle. • L'espace vectoriel des fonctions continues de dans est noté . Si est une famille finie d'éléments de , le sous-espace de qu'engendre est noté . • La norme de la convergence uniforme sur est notée . • On note le produit scalaire sur défini par : L'orthogonalité entre éléments de est toujours relative à ce produit scalaire dont la norme associée est notée . L'orthogonal d'un sous-espace de est noté . • On désigne par l'élément de défini par et par l'orthogonal de la droite . • On appelle mouvement admissible toute application de classe de dans telle que : On note le sous espace vectoriel de constitué des mouvements admissibles. On établit d'abord des résultats préliminaires très proches du cours et utiles dans tout le problème. Dans la partie II on calcule la meilleure borne pour la moyenne quadratique de la vitesse en fonction de l'accélération. La partie I fait établir des résultats qui servent dans la fin de la partie II ; on peut admettre ces résultats pour traiter la partie II.
Voir
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2002 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PSI Notations et objectifs du problème Pour toutes les questions géométriques on se place dans le plan muni de sa structure affine euclidienne canonique et de son repère orthonormé naturel. Le but de ce problème est d'étudier quelques caractéristiques du mouvement sur l'axe d'un mobile qui se trouve à l'origine au temps initial et au temps et dont la vitesse initiale est nulle. • L'espace vectoriel des fonctions continues de dans est noté . Si est une famille finie d'éléments de , le sous-espace de qu'engendre est noté . • La norme de la convergence uniforme sur est notée . • On note le produit scalaire sur défini par : L'orthogonalité entre éléments de est toujours relative à ce produit scalaire dont la norme associée est notée . L'orthogonal d'un sous-espace de est noté . • On désigne par l'élément de défini par et par l'orthogonal de la droite . • On appelle mouvement admissible toute application de classe de dans telle que : On note le sous espace vectoriel de constitué des mouvements admissibles. On établit d'abord des résultats préliminaires très proches du cours et utiles dans tout le problème. Dans la partie II on calcule la meilleure borne pour la moyenne quadratique de la vitesse en fonction de l'accélération. La partie I fait établir des résultats qui servent dans la fin de la partie II ; on peut admettre ces résultats pour traiter la partie II.
- hn tn
- unique racine dans l'inter- valle
- ?n ?
- racine
- origine au temps initial et au temps
- ?k
- vect e0
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Langue
Français
MATHÉMATIQUES I
Concours Centrale-Supélec 2002
1/6
MATHÉMATIQUES I
Filière PSI
Notations et objectifs du problème
Pour toutes les questions géométriques on se place dans le plan
muni de sa
structure affine euclidienne canonique et de son repère orthonormé naturel. Le
but de ce problème est d’étudier quelques caractéristiques du mouvement sur
l’axe
d’un mobile qui se trouve à l’origine
au temps initial
et au
temps
et dont la vitesse initiale est nulle.
•
L’espace vectoriel des fonctions continues de
dans
est noté
. Si
est une famille finie d’éléments de
, le sous-espace de
qu’engendre
est noté
.
• La norme de la convergence uniforme sur
est notée
.
• On note
le produit scalaire sur
défini par :
L’orthogonalité entre éléments de
est toujours relative à ce produit scalaire
dont la norme associée est notée
. L’orthogonal d’un sous-espace
de
est noté
.
• On désigne par
l’élément de
défini par
et par
l’orthogonal de la droite
.
• On appelle
mouvement admissible
toute application
de classe
de
dans
telle que :
On note
le sous espace vectoriel de
constitué des mouvements
admissibles.
On établit d’abord des résultats préliminaires très proches du cours et utiles
dans tout le problème. Dans la partie II on calcule la meilleure borne pour la
moyenne quadratique de la vitesse en fonction de l’accélération. La partie I fait
établir des résultats qui servent dans la fin de la partie II ; on peut admettre ces
résultats pour traiter la partie II.
IR
2
Ox
O
t
0
=
t
1
=
0
1
[
,
]
IR
C
Φ
(
)
C
C
Φ
(
)
Vect
Φ
(
)
C
∞
〈
〉
C
f
g
〈
〉
f
t
(
)
g
t
(
)
t
d
0
1
∫
=
C
2
E
C
E
⊥
u
C
u
t
(
)
3
1
t
–
(
)
=
H
Vect
u
(
)
ξ
C
2
0
1
[
,
]
IR
ξ
0
(
)
ξ
′
0
(
)
ξ
1
(
)
0
=
=
=
A
C
2
0
1
[
,
]
IR
,
(
)
Concours Centrale-Supélec 2002
2/6
Filière PSI
MATHÉMATIQUES I
Filière PSI
Dans tout le problème, on note, pour
,
et
l’élément de
défini par :
On pose, par ailleurs,
, complémentaire de
dans
.
Résultats préliminaires
A
- Soit
,
. Justifier l’égalité
et montrer soigneusement que
.
On note
le projecteur orthogonal sur
.
Démontrer que, pour
:
B
-Montrer que l’application
est un isomorphisme de
sur
dont
l’isomorphisme réciproque est défini par
Partie I - Comportement asymptotique de racines
d’équations
Pour
, on considère les coefficients de Fourier en sinus et cosinus d’une
fonction réelle , continue par morceaux sur
et -périodique, donnés par :
;
.
k
IN
∈
ω
k
k
π
π
2
--
+
=
e
k
C
t
∀
0
1
[
,
]
∈
e
k
t
(
)
2
ω
k
t
(
)
cos
=
,
Ω
]0 +
∞
[
ω
k
k
IN
∈
{
}
–
,
=
ω
k
{
}
k
IN
∈
]0 +
∞
[
,
h
C
∈
h
0
≠
C
Vect
h
(
)
Vect
h
(
)
⊥
⊕
=
Vect
h
(
)
⊥
(
)
⊥
Vect
h
(
)
=
Π
h
Vect
h
(
)
⊥
f
C
∈
Π
h
f
(
)
f
f
h
〈
〉
h
2
2
--------------
h
–
=
ξ
ξ
″
a
A
H
z
t
t
s
–
(
)
z
s
(
)
s
d
0
t
∫
a
a
n
IN
∈
f
IR
4
a
n
f
(
)
1
2
--
f
x
(
)
π
nx
2
----------
cos
x
d
2
–
2
∫
=
b
n
f
(
)
1
2
--
f
x
(
)
π
nx
2
----------
sin
x
d
2
–
2
∫
=
MATHÉMATIQUES I
Filière PSI
Concours Centrale-Supélec 2002
3/6
I.A -
Démontrer que
est une famille orthonormale de
.
I.B -
Pour
, on note
la fonction définie sur
, -périodique et paire,
telle que, pour
on ait :
I.B.1)
Donner, sans démonstration, quelques éléments de symétrie du gra-
phe de
Montrer que
est continue par morceaux sur
. À quelle condition
est-elle continue sur
?
I.B.2)
Expliciter, pour
,
en fonction
. Calculer les
autres coefficients de Fourier de
I.B.3)
Montrer, en citant précisément les théorèmes utilisés, que, si
:
I.B.4)
Montrer de même que, si
est de classe
sur
et si
,
alors, pour tout
:
La série de fonctions du second membre converge-t-elle uniformément sur
?
I.B.5)
En appliquant les résultats des deux questions précédentes aux fonc-
tions
et
, prouver les relations :
et, pour
I.B.6)
On note
la fonction définie, pour
, par :
e
k
(
)
k
N
∈
C
f
C
∈
f
˜
IR
4
t
]
2
2
,
–
]
∈
f
˜
t
(
)
f
t
(
)
si
t
0
1
,
[
]
∈
0
si
t
= 1
f
2
t
–
(
)
–
si
t
]1,2]
∈
=
f
˜
.
f
˜
IR
IR
k
IN
∈
a
2
k
1
+
(
f
˜
)
f
e
k
〈
〉
f
˜
.
f
C
∈
f
2
2
e
k
f
〈
〉
2
k
0
=
∞
∑
=
f
f
e
k
〈
〉
e
k
k
0
=
n
∑
–
2
0
=
n
∞
→
lim
f
C
1
0
1
[
,
]
f
1
(
)
0
=
t
0
1
[
,
]
∈
f
t
(
)
f
e
k
〈
〉
e
k
t
(
)
k
0
=
∞
∑
=
0
1
[
,
]
u
t
ω
t
1
–
(
)
(
)
sin
a
1
ω
k
2
------
1
2
--
=
k
0
=
∞
∑
ω
Ω
∈
ω
tan
2
ω
ω
k
2
ω
2
–
------------------
k
0
=
∞
∑
=
φ
ω
Ω
∈
φ
ω
(
)
1
2
ω
------
ω
ω
tan
–
[
]
=
