Concours Centrale Supélec
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2003 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PSI Notations, définitions et rappels Si , soit l'espace des polynômes complexes de degré inférieur ou égal à . Pour dans , soit le polynôme . L'application ainsi définie est clairement un endomorphisme de . De plus, si , est stable par et on note l'endomorphisme de induit par . Soit la suite des polynômes de Hilbert, définie par : et , . Si , soient : , et On convient d'autre part que . Pour dans , soit l'espace vectoriel des fonctions de dans de la forme : , où la série entière a un rayon de convergence supérieur ou égal à . L'espace est appelé espace des fonctions entières. On pourra utiliser la formule de Stirling : . Objectif du problème, dépendance des parties La partie I étudie les polynômes de Hilbert, ce qui permet notamment de déterminer les polynômes de tels que . La partie II est complètement indépendante de I. Elle a pour but d'établir quelques proprié- tés des séries entières utilisées dans la partie III, laquelle montre que toute fonction entière vérifiant une certaine condition asymptotique est un polynôme. Le résultat obtenu est dû à Georg Pólya (1915). La partie III utilise II et la der- nière question de I. n IN? ICn X[ ] n P IC X[ ] T P( ) P X 1+( ) T IC X[ ] n IN? ICn X[ ] T Tn ICn X[ ] T Hi(
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MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2003 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PSI Notations, définitions et rappels Si , soit l'espace des polynômes complexes de degré inférieur ou égal à . Pour dans , soit le polynôme . L'application ainsi définie est clairement un endomorphisme de . De plus, si , est stable par et on note l'endomorphisme de induit par . Soit la suite des polynômes de Hilbert, définie par : et , . Si , soient : , et On convient d'autre part que . Pour dans , soit l'espace vectoriel des fonctions de dans de la forme : , où la série entière a un rayon de convergence supérieur ou égal à . L'espace est appelé espace des fonctions entières. On pourra utiliser la formule de Stirling : . Objectif du problème, dépendance des parties La partie I étudie les polynômes de Hilbert, ce qui permet notamment de déterminer les polynômes de tels que . La partie II est complètement indépendante de I. Elle a pour but d'établir quelques proprié- tés des séries entières utilisées dans la partie III, laquelle montre que toute fonction entière vérifiant une certaine condition asymptotique est un polynôme. Le résultat obtenu est dû à Georg Pólya (1915). La partie III utilise II et la der- nière question de I. n IN? ICn X[ ] n P IC X[ ] T P( ) P X 1+( ) T IC X[ ] n IN? ICn X[ ] T Tn ICn X[ ] T Hi(
- ic z
- espace des polynômes complexes de degré inférieur
- série entière
- polynôme
- rayon de convergence supérieur
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Français
MATHÉMATIQUES IFilière PSI MATHMATIQUES I
Notations, définitions et rappels
Sin∈IN, soitIC[X]l’espace des polynômes complexes de degré inférieur ou n égal àn. PourPdansIC[X], soitT(P)le polynômeP(X+ 1.)L’applicationT ainsi définie est clairement un endomorphisme deIC[.X]De plus, sin∈,IN IC[X]est stable parTet on noteTl’endomorphisme deIC[X]induit parT. n nn Soit(H)la suite des polynômes de Hilbert, définie par : i i∈IN i– 1 1 ∗ H= 1et∀i∈IN,H=-(X–k). i!∏ 0i k= 0 * SiR∈IR, soient : + D={z∈IC,z<R},D={z∈IC,z≤R}etC={z∈IC,z=R} R RR * On convient d’autre part queD=IC. PourRdansIR∪ {∞}, soitEl’espace ∞+R vectoriel des fonctions deDdansICde la forme : R +∞+∞ n n zaa z, où la série entièrea z ∑ ∑ n n n= 0n= 0 a un rayon de convergence supérieur ou égal àR. L’espaceEest appeléespace ∞ des fonctions entières. On pourra utiliser la formule de Stirling : n n sin→+∞,n!∼2πn-. e
Objectif du problème, dépendance des parties
La partie I étudie les polynômes de Hilbert, ce qui permet notamment de déterminer les polynômesdPeIC[teXl]s queP(I.NL)a⊂pZZartie II est complètement indépendante de I. Elle a pour but d’établir quelques proprié-tés des séries entières utilisées dans la partie III, laquelle montre que toute fonction entière vérifiant une certaine condition asymptotique est un polynôme. Le résultat obtenu est dû à Georg Pólya (1915). La partie III utilise II et la der-nière question de I.
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MATHÉMATIQUES I FiliËre PSI
Filière PSI
Partie I - Polynômes de Hilbert Soitdanns .IN I.A - Inversion d’une matrice n I.A.1) Écrirela matriceMdeTdans la base(1,X, …,X)deIC[X]. n nn –1 I.A.2) VérifierqueMest inversible ; expliciterM. n n I.B - Propriétés de la suite(H) i i∈IN I.B.1) Montrerque(H)est une base deIC[X]. i n 0≤i≤n ∗ I.B.2) Sij∈ZZeti∈IN, donner une expression simple deH(j)montrant i queH(j)est dansZZ. On distinguera les trois cas :j<0, 0≤j≤i– 1etj≥i. i I.C - Polynômes deIC[X]tels queP(IN) ⊂ZZSoitPdansIC[X]. On décomposePsur(H)en : n i 0≤i≤n n P=a H. ∑ i i i= 0 I.C.1) Vérifierl’égalité suivante : a P(0)0 t =M. MnM P(n)a n t oùMest la transposée de la matriceM. n n I.C.2) Établir: i i–j j ∀i∈ {0, …,n}, .a=(–1)CP(j) i∑i j= 0 i i–j j Sii≥n+ 1, que vaut(–1)CP(j)? ∑ i j= 0
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MATHÉMATIQUES IFilière PSI I.C.3) Montrerque les trois conditions suivantes sont équivalentes : a)∀i∈ {0, …,n}, ,P(i) ∈ZZ b)∀i∈ {0, …,n}, ,a∈ZZ i c)P(ZZ) ⊂ZZ. En particulier les polynômesPdeIC[X]tels queP(IN) ⊂ZZsont les combinai-sons linéaires à coefficients dansZZdes polynômes de Hilbert. I.D - Description des suites de la forme(P(j))oùPun polynôm este. j∈IN Soit(u)une suite complexe. Démontrer que les deux conditions suivantes j j∈IN sont équivalentes : a) ilexisteP∈IC[X]tel que :∀j∈IN,u=P(j), n j b) i i–j j ∀i∈IN, .i≥n+ 1⇒ (–1)Cu= 0 ∑i j j= 0
Partie II - Quelques propriétés des séries entières * Dans toute cette partie, on fixe :RdansIR∪ {+∞},fdansE,ωdansDet +R R rdans]ω ,R[. PourzdansDon écrit donc : R +∞+∞ n n f(z)=a z, où la série entièrea z∑ ∑ n n n= 0n= 0 a un rayon de convergence supérieur ou égal àR. (k) * Pourk∈INon notefla fonction définie pourz∈Dpar : R +∞ (k)n–k f(z)=n(n–1)…(n–k+ 1)a z ∑n n=k (on sait que cette série entière a même rayon de convergence que la série entière initiale). II.A - Représentation intégrale def(ω)à partir des valeurs defsurC r II.A.1) Sip∈IN, prouver : π it–ipt p f(re)e dt= 2πa r. ∫–π p II.A.2) Montrer: it π reitdt f(ω)=-f(re)-. ∫–π2π it re–ω
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MATHÉMATIQUES IFilière PSI Indication :on pourra partir de : +∞ it p reω -=-. it∑it re–ωre p= 0 II.B - Principe du maximum II.B.1) Justifierla définition deM(r)= Max{f(z) ,z∈C}. f r r II.B.2) Montrer:f(ω) ≤-M(r). f r–ω II.B.3) Montrer:f(ω) ≤M(r). f ∗ Indication : sip∈IN, on pourra appliquer, avec justification, le résultat de p II.B.2 àfpuis faire tendrepvers+∞. II.C - Division def(z)–f(ω)parz–ωpourfdansE R II.C.1) Sij∈IN, montrer la convergence de la série de terme général n– 1 –j aωpourn≥j+ 1. On pose : n +∞ n– 1 –j b=aω. j∑n n=j+ 1 1 II.C.2) Montrerque, lorsquej→+∞,b=O-. j j+∞ r j II.C.3) Montrerque le rayon de convergence de la série entièrebzest ∑j supérieur ou égal àR. Pourz∈D, on pose :j= 0 R +∞ j g(z)=b z. ∑ j j= 0 Vérifier :∀z∈D,(z–ω)g(z)=f(z)–f(ω). R II.D - Minoration deM(r)à l’aide des zéros deff ∗ On suppose quep∈IN, ques’fannule enpopints distinctsz,…d,ez 1p D\{0}. r II.D.1) Montrerqu’il existeFdansEtelle que : R p p 2 ∀z∈D, .F(z() ×z–z)=f(z() ×r–z z) ∏ ∏ R jj j= 1j= 1 II.D.2) Sij∈ {1, …,p}etz∈C\{z}que vaut r j 2 r–z z j ? -z–z j
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MATHÉMATIQUES IFilière PSI II.D.3) Enappliquant II.B.3 àFau pointω= 0, montrer : p p M(r) ×z≥f(0)r. ∏ f j j= 1 (k– 1) ∗ II.D.4) Onsupposef(0)=…=f(0)= 0oùk∈IN. Prouver : p (k) f(0)p+k M(r) ×z≥-r. ∏ f j k! j= 1 II.E - Étude asymptotique d’une fonction entière nulle surIN On suppose queR= +∞,c∈]0,e[,fest nulle surINet que lorsquer→,∞ r M(r)=O(c). f Montrer quef= 0. Indication : onsupposera par l’absurdef,≠o0n appliquera II.D.4 avec (i) k= Min{i∈IN,f(0) ≠0},r=p,z= 1, …,z=p, et on fera tendrepvers+∞. 1p
Partie III - Théorème de Pólya Soitdfans .E ∞ n k k III.A - Majoration de(–1)Cf(k) ∑ n k= 0 ∗ SoientndansINetrun réel tel quer>n. III.A.1) Décomposeren éléments simples la fraction rationnelle : n! F=-. n X(X– 1)…(X–n) III.A.2) Àl’aide de II.A.2, prouver : n it π n!f(re)dtn–k k --=(–1)Cf(k). ∫–πit it2π∑n (re– 1)…(re–n) k= 0 III.A.3) Montrer: n n!M(r) n–k kf (–1)C f(k) ≤-. ∑ n (r– 1)…(r–n) k= 0
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MATHÉMATIQUES I III.B - Preuve du théorème On suppose ici a)f(IN) ⊂ZZ, r 2 b) Lorsquer→+∞,M(r)=o-. f r On va démontrer quefest polynomiale (théorème de Pólya).
Filière PSI
z N.B. L’exemple def(z)= 2montre que la condition asymptotique (b) n’est pas loin d’être optimale. III.B.1) Enappliquant III.A.3 àr= 2n+ 1, prouver qu’il existeNdansINtel que n n–k k ∀n≥N, .(–1)Cf(k)= 0 ∑n k= 0 III.B.2) Àl’aide de I.D) et II.E), prouver le résultat désiré.
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••• FIN •••
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