Concours Centrale Supélec
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2005 1/4 MATHÉMATIQUES I Filière TSI Les polynômes intervenant dans ce problème sont des polynômes à une indéter- minée sur le corps des nombres réels. Un polynôme pourra être indifférem- ment noté ou . On désigne par l'espace vectoriel des fonctions continues de sur , par le sous-espace vectoriel de constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à ( entier naturel), et par la partie entière d'un entier . Partie I - I.A - désignant la fonction cosinus hyperbolique et la fonction sinus hyper- bolique, on rappelle que : . I.A.1) Montrer que, . I.A.2) En déduire, pour tout entier naturel , l'existence d'un polynôme tel que : , . Expliciter , , , et . I.B - I.B.1) Démontrer que pour tout : En déduire que la suite est unique. I.B.2) Démontrer que, pour tout entier naturel : , . I.B.3) Calculer le terme de plus haut degré de . Déterminer la parité de . I.B.4) Démontrer que, si et , alors . I.C - Dans cette question est un entier naturel non nul fixé. Démontrer que les racines de sont toutes réelles, distinctes, et qu'elles appartiennent à l'intervalle .
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MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2005 1/4 MATHÉMATIQUES I Filière TSI Les polynômes intervenant dans ce problème sont des polynômes à une indéter- minée sur le corps des nombres réels. Un polynôme pourra être indifférem- ment noté ou . On désigne par l'espace vectoriel des fonctions continues de sur , par le sous-espace vectoriel de constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à ( entier naturel), et par la partie entière d'un entier . Partie I - I.A - désignant la fonction cosinus hyperbolique et la fonction sinus hyper- bolique, on rappelle que : . I.A.1) Montrer que, . I.A.2) En déduire, pour tout entier naturel , l'existence d'un polynôme tel que : , . Expliciter , , , et . I.B - I.B.1) Démontrer que pour tout : En déduire que la suite est unique. I.B.2) Démontrer que, pour tout entier naturel : , . I.B.3) Calculer le terme de plus haut degré de . Déterminer la parité de . I.B.4) Démontrer que, si et , alors . I.C - Dans cette question est un entier naturel non nul fixé. Démontrer que les racines de sont toutes réelles, distinctes, et qu'elles appartiennent à l'intervalle .
- p2 p3
- application définie dans la relation
- polynôme
- a0 a1
- a1 a2
- polynôme de degré inférieur
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MATHÉMATIQUES I
MATHÉMATIQUES I
Filière TSI
Les polynômes intervenant dans ce problème sont des polynômes à une indéter-minéeXsur le corpsIRdes nombres réels. Un polynôme pourra être indifférem-ment notéPouP(X). On désigne parEl’espace vectoriel des fonctions continues de[–1,1]surIR, parFle sous-espace vectoriel deEconstitué des polynômes de n degré inférieur ou égal àn(nentier naturel), et par[n]la partie entière d’un entiern.
Partie I -I.A -chdésignant la fonction cosinus hyperbolique etshla fonction sinus hyper-nαn bolique, on rappelle que :∀α ∈IR, ∀n∈IN,e=(chα+ shα). [n∕2] k nn– 2k2 I.A.1) Montrerque,∀α ∈IR, ∀n∈IN,chnα=(chα) (chα– 1). ∑ 2k k= 0 I.A.2) Endéduire, pour tout entier natureln, l’existence d’un polynômeP n tel que :∀α ∈IR,ch(nα)=P(chα). n ExpliciterP,P,P,PetP. 0 1 2 34 I.B -I.B.1) Démontrerque pour toutn≥2: P(X)+P(X)= 2X P(X) n n– 2n– 1 En déduire que la suite(P)est unique. n n∈IN I.B.2) Démontrerque, pour tout entier natureln: ∀α ∈IR,P(cosα)= cos(nα). n I.B.3) Calculerle terme de plus haut degré deP. Déterminer la parité de n P. n I.B.4) Démontrerque, six>1etn≥1, alorsP(x) >1. n I.C -Dans cette questionnest un entier naturel non nul fixé. Démontrer que les racines dePtoutes réelles, distinctes, et qu’elles sont n appartiennent à l’intervalle]–1,1]. Elles seront notéesx,0≤i≤n– 1telle de i sorte que la suite desxsoit strictement décroissante. On déterminera la valeur i dex. i
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Filière TSI
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Partie II -II.A -II.A.1) Pourfélément deE, justifier la convergence de l’intégrale : 1 f(t) -dt. –1 2 1 –t II.A.2) Montrerque l’applicationΦdeE×EdansIRdéfinie par 1 f(t)g(t) Φ:(f,g)a(f g)=-dt ∫ –1 2 1 –t définit un produit scalaire surE. On notera.la norme associée à ce produit scalaire. II.B -Pour un entier natureln, on pose : n 1 t I=-dt. ∫–1 2 n 1 –t Établir une relation de récurrence entreIetI, pourn≥2. En déduire la n n– 2 valeur deI. n II.C -II.C.1) Calculer,pourmetnentiers naturels : 1P(t)P(t) n m -dt. –1 2 1 –t Que peut-on en déduire ? II.C.2) Démontrerque n 1t P(t) m -dt= 0 –1 2 1 –t lorsquenetmsont deux entiers naturels tels quen<m. 2 II.D -Soithla fonction deEdéfinie parh(x)= 1–x. Calculer la distance de hau sous-espaceF, c’est-à-dire le nombred(h,F)= infh–P. 4 4P∈F 4
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MATHÉMATIQUES IFilière TSI Partie III -Dans cette partie,nest un entier naturel non nul fixé. L’espaceFest muni du n produit scalaire défini au II.B. III.A -III.A.1) SoitP∈Fun polynôme de degré inférieur ou égal àn, dont le poly-n nôme dérivé est notéP′. 2 Calculer la dérivée de la fonctionx→1 –xP′(x)et en déduire qu’il existe un unique polynômeQ∈F, que l’on exprimera en fonction deP′etP′′, tel que n 2d2 ∀x∈]–1,1[,Q(x)= 1–x-[1 –xP′(x)](1) dx Montrer de plus que l’applicationϕdéfinie dans la relation (1) parϕ(P)=Qest un endomorphisme deF. n III.A.2) Danscette question seulement, on supposen≥2. Déterminer la 2n matriceMdeϕdans la base canonique(1,X,X, …X)deF. n III.A.3) L’endomorphismeϕest-il diagonalisable ? III.B -III.B.1) Démontrerqueϕest un endomorphisme symétrique deF. On pourra n utiliser l’expression (1) deQobtenue à la question III.A.1). III.B.2) Enutilisant la question II.C.2), démontrer que pour tout entierk, 0≤k≤n, il existe un réelλtel queϕ(P)=λP. En utilisant le terme de plus k kk k haut degré deP, déterminerλ. k k III.B.3) Retrouveret préciser le résultat obtenu à la question III.A.3). III.C -Dans cette question,n= 2. 2 On pose, pour tout polynômeP∈Fet tout réelλ,q(P)=λP+(ϕ(P)P). 2λ III.C.1) Montrerqueqest une forme quadratique surF. λ2 III.C.2) Discuterselon la valeur deλ lanature de la quadrique définie par l’équationq(P)= 1. λ
Partie IV -IV.A -On désigne parx,x,xles racines du polynômePet parA,A,A 0 1 23 01 2 trois nombres réels. Pour tout élémentfdeE, on définit le nombreR(f)par : 1 f(t) -dt=A f(x)+A f(x)+A f(x)+R(f). 0 01 12 2 –1 2 1 –t
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MATHÉMATIQUES IFilière TSI IV.A.1) DéterminerA,A,A pourqueR(P)= 0toute fonction poly- pour 0 1 2 nômePélément deF. 2 IV.A.2) Démontrerqu’alorsR(P)= 0pour toute fonction polynômePdeF: 5 on pourra utiliser une division euclidienne par le polynômeP. 3 IV.B -Justifier l’existence de l’intégrale 5 0 x I=-dx∫–2 2 –x– 2x et déduire de IV.A) sa valeur. IV.C -Pournfixé non nul, on désigne par(x)les racines deP(défi-j n 0≤j≤n– 1 nies dans la partie I). IV.C.1) Soitxun réel tel quesinx≠0. n– 1 Exprimer la sommecos((2j+ 1)x)à l’aide desin(2nx)et desinx. ∑ j= 0 IV.C.2) Endéduire pour un entier naturelkdonné,k≤2n– 1, la valeur de n– 1 S=P(x). ∑ k kj j= 0 IV.C.3) Démontrerqu’il existe un réelα, que l’on déterminera, tel que, pour toute fonction polynômePdeF, on ait 2n– 1 n– 1 1 P(x) -dx=αP(x). ∑ j –1 2 1 –xj= 0
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