Concours Centrale Supélec

pages

Français

Documents

Écrit par
Laurent Llabres

Publié par
larec

Lire

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres

pages

Français

Documents

Lire

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres

Publié par

larec

Langue

Français

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2006 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PC Notations On note le segment de et l'espace préhilbertien complexe des fonc- tions continues sur à valeurs complexes muni du produit scalaire : . Pour tout nombre complexe n'appartenant pas à l'intervalle , on note l'unique nombre réel appartenant à l'intervalle tel que . Pour et , Questions préliminaires a) Déterminer le développement en série entière au point de la fonction : , et préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue. b) Pour , on pose . Montrer que la fonction : : , est déﬁnie sur . c) Montrer que est une racine carrée de la fonction , autrement dit, pour tout , . d) Montrer que : , . Que vaut lorsque ? On pourra dorénavant noter pour . I 1– 1[ , ] IR E I f g( , ) f g( )a f t( ) g t( ) td I ∫= z ] ∞– 0, ] Arg z( ) ] π– π, [ z z eiArg z( )= n p( , ) IN2? p n≤ Cnp np? ?? ? n!p! n p–( )!--------------------------= = 0 ] ∞– 1[, IR? x 1 1 x– ---------------a n IN? an 1

ic? z anz

complexe des fonc- tions continues

coefﬁcients réels

unique solution

rayon de convergence de la série entière

hn ?cos

Voir

Publié par

larec

Langue

Français

MATHÉMATIQUES IFilière PC MATHÉMATIQUES I

Notations On noteIle segment[–1,1]deIRetEl’espace préhilbertien complexe des fonc-tions continues surIà valeurs complexes muni du produit scalaire : (f,g)a(f g)=f(t)g(t)dt. ∫ I Pour tout nombre complexezn’appartenant pas à l’intervalle]–∞,0], on note Arg(z) l’uniquenombre réel appartenant à l’intervalle]–π, π[que tel iArg(z) z=z e. p 2n n!   Pour(n,p)∈INetp≤n,C= =-n pp!(n–p)! Questions préliminaires a) Déterminerle développement en série entière au point0de la fonction : 1 ]–∞,1[→IR ,xa-1 –x et préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue. b) Pourn∈IN, on pose 2n 1   a=-. n 2n  n 2 Montrer que la fonction : ∞ n ϕ:IC→IC,zaa zest déﬁnie surΔ={z∈ICz<1}. ∑n n= 0 c) Montrerqueϕest une racine carrée de la fonction 121 Δ →IC,za-autrement dit, pour toutz∈ Δ,(ϕ(z))=-. 1 –z1 –z d) Montrerque : i –-Arg(1 –z) 12 ∀z∈ Δ,ϕ(z)=-e. Que vautϕ(x)lorsquex∈]–1,1[? 1 –z On pourra dorénavant noter –1∕2 ϕ(z)=(1 –z)pourz∈ Δ.

Concours Centrale-Supélec 2006

1/6

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

e)Cette question est indépendante des précédentes. Pour tout entier natureln, prouver l’existence d’une fonction polynomialeH n telle que, pour tout réelθ, on aH(cosθ)= cosnθ. n Partie I -I.A -Montrer que, pour toutt∈I, la fonction –1∕2 2 ψ:]–1,1[→IR,xaf(t,x)déﬁnie par :ψ (x)=(1 – 2xt+x)t t est l’unique solution sur]–1,1[d’une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefﬁcients polynomiaux prenant la valeur1 en0. On donnera cette équation différentielle : (E) :a(t,x)y′+b(t,x)y= 0oùaetbsont des polynômes unitaires enx. I.B -I.B.1) Vériﬁerque pourx∈]-1,1[etθ ∈IRon a ∞ iθ–iθn Ψ (x)=ϕ(xe)ϕ(xe), puisΨ (x)=G(θ)x cosθcosθ∑n n= 0 oùGune combinaison linéaire à coefﬁcients positifs d’applications de la est n ikθ formeθaeoùk∈ZZ. Préciser la valeur deG(0). n I.B.2) Montrerque pourn∈INetθ ∈IR, on aG(θ)=P(cosθ)oùPest n nn un polynôme à coefﬁcients réels. I.B.3) Montrerque pourn∈INetθ ∈IR, on aG(θ) ≤G(0), puis que pour n n ∞ n t∈ [–1,1]etx∈]-1,1[,f(t,x)=P(t)x(1) ∑n n= 0 avec convergence normale sur[–1,1] × [–a,a]oùa∈]0,1[. I.B.4) Montrerque la suite(P)vériﬁeP(t)= 1,P(t)=tet pour n0 1 n≥0 n≥1,(2n+ 1)t P(t)=(n+ 1)P(t)+n P(t)(2) n n+ 1n– 1 I.B.5) Déterminerpour toutn∈INle degré et la parité deP. Déterminerle n coefﬁcient dominant deP, ainsi queP(1)etP(–1). n nn

Concours Centrale-Supélec 2006

2/6

MATHÉMATIQUES IFilière PC I.C -I.C.1) Soitaetbdeux éléments distincts de]1,+∞[. Calculer et simpliﬁer la dérivée de la fonction déﬁnie sur[–1,1]par : (a–t)+(b–t) h:taln-–(a–t)(b–t) 2 après avoir vériﬁé qu’elle est bien déﬁnie. En déduire la valeur de l’intégrale : 1 dt -pour tout couple(a,b)d’éléments de]1,+∞[. (a–t)(b–t) –1 I.C.2) Montrerque : 1 1 1+xy f(t,x)f(t,y)dt=-ln-pour tout couple(x,y)d’éléments de –1 xy1 –xy ]0,1[. On admettra sans démonstration l’identité suivante : 2 2xy(1 –x)(1 –y)–(x+y)(1 +xy)+ 4xy=(1 +xy) (2xy–(x+y)) I.C.3) a) Pourtout couple(x,y)d’éléments de]0,1[établir que : ∞ 1 1+xy2n n -ln-=-x y. ∑ 2n+ 1 xy1 –xy n= 0 b) Onﬁxeydans l’intervalle]0,1[. Montrer que, pour tout couple(t,x)appar-tenant àI×]0,1[: ∞ n f(t,x)f(t,y)=P(t)f(t,y)x∑n n= 0 la série convergeant normalement sur tout l’ensemble de la formeI×]0,a]avec a∈]0,1[. Conclure que : 1 2n P(t)f(t,y)dt=-y. n –12n+ 1 ∞ m c) Enécrivant que, pour tout(t,y)∈I×]0,1[,f(t,y)=P(t)y, prouver ∑m que, pour toutn∈IN:m= 0 ∞ 1 m2n   P(t)P(t)dt y=-y. ∑n m ∫–12n+ 1 m= 0 d) Conclureque 1 2 P(t)P(t)dt=-δ n mn,m –12n+ 1 Concours Centrale-Supélec 20063/6

MATHÉMATIQUES IFilière PC oùδle symbole de Kronecker: estδ= 1 sim=n etδ= 0 sinon. n,m n,m n,m Interpréter le résultat obtenu. I.D -Soitnun entier supérieur ou égal à1etzun zéro deP(a prioridans n P(t) n IC). On noteRla fonction polynôme telle que, pourt≠z,R(t)=-. n n t–z I.D.1) Calculer(R P). n n I.D.2) Endéduire quezest réel et quez<1. I.D.3) Montrerquezest une racine simple deP. n I.E -I.E.1) Enutilisant (2), établir que, pour tout entier naturelnet tout couple (x,y)de nombres complexes distincts : n [P(x)P(y)–P(x)P(y)] n+ 1nn n+ 1 (2k+ 1)P(x)P(y)=(n+ 1)-. (3) ∑x–y k k k= 0 I.E.2) Endéduire que, pour toutx∈IC: n 2 (2k+ 1)(P(x))=(n+ 1)[P′ (x)P(x)–P′ (x)P(x)](4) ∑n+ 1n k nn+ 1 k= 0 I.E.3) Déduirede cette dernière formule que tout zéro dePest strictement n compris entre deux zéros consécutifs deP. n+ 1 2 C I.F -Pour toute fonctionfsurde classeI, on noteAfla fonction deIdans ICdéﬁnie par : d2 Af(t)=-[(1 –t)f′(t)] dt 2 C Prouver que, pour tout couple(f,g) defonctions de classesurI, (Af g)=(f Ag). En déduire que, pour toutn≥1et tout entierk,0≤k≤n– 1,(PP A)= 0. k n En déduire quePest solution de l’équation différentielle : n 2 (1 –t)y″– 2ty′+n(n+ 1)y= 0. (5) Partie II -II.A -II.A.1) Onassocie àn∈INet àf∈Ele coefﬁcientc(f)=(P f). n n Montrer que la série de terme général 12   n+-c(f)est convergente. n   2

Concours Centrale-Supélec 2006

4/6

MATHÉMATIQUES IFilière PC 2 C II.A.2) Montrer,à l’aide de I.F - que sif∈Eest de classesurI, alors la 5 2 sérien c(f)est convergente. ∑ n En déduire que la sérien c(f)est convergente. ∑n II.B -n II.B.1) Pourtoutn∈IN, on déﬁnitfdansEparf:tat. n n Montrer que sif∈Eest telle que, pour toutn∈IN,(f f)= 0alorsfest nulle. n 2 II.B.2) Supposantf∈Ede classeCsurI, montrer que l’expression : ∞ 1   g(t)=f(t)–n+-c(f)P(t)déﬁnit surIune fonction continueg. ∑  n n 2 n= 0 II.B.3) Montrerquegest nulle. II.B.4) Déduirede ce qui précède une condition sufﬁsante pour que la série de fonctions 1   n+-c(f)Pconverge normalement surIet ait pour sommef. ∑2 n n P(t)–P(x) n n II.C -Pour toutn∈INet toutx∈IR, vériﬁer que la fonctionta-est t–x intégrable sur le segmentI. Établir que, pour toutn∈IN, la fonctionxaQ(x)déﬁnie par : n 1 P(t)–P(x) n n Q(x)=dt∫ n-–1 t–x est une fonction polynôme de degré(n– 1)et que la suite(Q)vériﬁe les n n∈IN conditions initialesQ= 0,Q= 2la même relation de récurrence que la et 0 1 suite(P)à partir du rangn= 1. n n∈IN ∗ II.D -Soitn∈IN ﬁxé.On notea, …,azéros de lesPdans l’ordre écrits 1n n croissant,i.e.–1<a< … <a<1. 1n B1n II.D.1) Montrerque =(L, …,L)où n X–a j L(X)=-est une base deR[X]. ∏a–a i n– 1 i j j= 1 j≠i II.D.2) SoitC=…, ϕ(ϕ ,)oùϕ:R[X] →IR,aP Pi. Montrer queC a( ) 1n in– 1 est une base de l’espace vectoriel des formes linéaires surR[X]. n– 1

Concours Centrale-Supélec 2006

5/6

MATHÉMATIQUES IFilière PC II.D.3) Endéduire qu’il existe une suite)…, λ(λ ,nombres réels et une de 1n seule telle que : n 1 ∀P∈R[X],P(t)dt=λP(a). ∑ n– 1i i –1 i= 1 II.D.4) Montrer,en utilisant éventuellement une division euclidienne parP: n n 1 ∀P∈R[X],P(t)dt=λP(a). (6) ∑ 2n– 1i i –1 i= 1 n * II.D.5) Montrerque lesλIRsont éléments de+et queλ= 2 ∑ i i i= 1 II.E -II.E.1) Montrerque siQest le polynôme déﬁni en II.C alors, avec les nota-n tions de II.D, on a : n λ i Q(x)=P(x)-. n∑ n x–a i i= 1 On pourra commencer par examiner le cas oùx>1. II.E.2) Endéduire que les(n– 1)zéros deQsont situés strictement entre les n zéros deP. n II.F -II.F.1) Montrer,pourx>1, que : n 2n2n Q(x) λa1 nx+ 1i i1t    -– ln-=--–--dt.  ∑ 2n∫–1x–t P(x)x– 1x–a x x n i i= 1 II.F.2) Endéduire que, pour toutα >0, la suite de fonctions Q n   -  P n n∈IN approche uniformément la fonction x+ 1   xaln-sur l’intervalle[1 +α,+∞[.   x– 1

Concours Centrale-Supélec 2006

••• FIN •••

6/6

Voir