Concours Centrale Supélec
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2007 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière TSI Partie I - Calculs préliminaires Dans tout ce problème et désignent deux nombres réels, est strictement positif. I.A - Montrer que la fonction définie sur par admet un prolongement par continuité à . On le note encore . Montrer que est intégrable sur puis que est intégrable sur . I.B - I.B.1) Soit un réel tel que . Montrer que l'on a : . I.B.2) En déduire la convergence de ainsi que l'égalité : . I.C - Si est un segment réel et si est une application de classe de dans montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que admet une limite lorsque tend vers et déterminer cette limite. I.D - I.D.1) Soit et la fonction définie sur par . Montrer que admet un prolongement par continuité en . En déduire la convergence de . I.D.2) Calculer puis, en calculant , en déduire . a v a ? IR* ? x( ) x( )sin( ) 2 x2 ----------------------= IR ? ? IR+ ? IR b 0 a b< < y( )sin y --------------- d y a b∫ 1 y
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MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2007 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière TSI Partie I - Calculs préliminaires Dans tout ce problème et désignent deux nombres réels, est strictement positif. I.A - Montrer que la fonction définie sur par admet un prolongement par continuité à . On le note encore . Montrer que est intégrable sur puis que est intégrable sur . I.B - I.B.1) Soit un réel tel que . Montrer que l'on a : . I.B.2) En déduire la convergence de ainsi que l'égalité : . I.C - Si est un segment réel et si est une application de classe de dans montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que admet une limite lorsque tend vers et déterminer cette limite. I.D - I.D.1) Soit et la fonction définie sur par . Montrer que admet un prolongement par continuité en . En déduire la convergence de . I.D.2) Calculer puis, en calculant , en déduire . a v a ? IR* ? x( ) x( )sin( ) 2 x2 ----------------------= IR ? ? IR+ ? IR b 0 a b< < y( )sin y --------------- d y a b∫ 1 y
- filière tsi
- ∞? ?v
- application de classe
- ir ir??
- prolongement par continuité
- intégrale définissant par le changement
- ordre des intégrations dans la définition
- ∞∫
- concours centrale -supélec
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MATHÉMATIQUES I
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Filière TSI
Partie I - Calculs préliminaires Dans tout ce problèmeaetvdésignent deux nombres réels,aest strictement positif. * I.A -Montrer que la fonctionϕdéfinie surIRpar 2 (sin(x)) ϕ(x)=-admet un prolongement par continuité àIR. 2 x On le note encoreϕ. + Montrer queϕest intégrable surIRpuis queϕest intégrable surIR. I.B -I.B.1) Soitbun réel tel que0<a<b. Montrer que l’on a : b b b-b b sin(y)1–cos(y)1–cos(y)1–cos(y)2 -dy=-+-dy=-+ϕ(x)dx. ∫ ∫ay ya∫aya-2a y 2 +∞ sin(y) I.B.2) Endéduire la convergence de-dyainsi que l’égalité : ∫ 0y +∞+∞ sin(y) 2-dy=ϕ(x)dx. ∫0y∫-∞ 1 I.C -Si[α,β] estun segment réel et sih estune application de classeC de β itv [α,β] dansIC montrer,à l’aide d’une intégration par parties, queh(t)edt α admet une limite lorsquevtend vers+∞et déterminer cette limite. I.D -π I.D.1) Soitn∈INethla fonction définie sur0,-par n 2 sin((2n+1)t) h(t)=-. n sin(t) Montrer quehadmet un prolongement par continuité en0. n π -2sin((2n+1)t) En déduire la convergence deI=-dt. ∫0sin(t) n I.D.2) CalculerIpuis, en calculantI–I, en déduireI. 0n+1n n
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Filière TSI
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π I.D.3) Soithl’application définie sur0,-par 2 1 1 h(t)=-–-. sin(t)t a) Donnerun développement limité dehd’ordre1en0. π b) Endéduire quehadmet un prolongement continu et dérivable à0,-. 2 On le note encoreh. Préciserh(0)eth′(0). 1 π c) Montrerquehest de classeCsur0,-. 2 d) Endéduire que π -2 sin((2n+1)t)h(t)dttend vers0lorsquentend vers+∞. ∫ 0 e) Pourn∈INon pose π -2sin((2n+1)t) J=-dt. ∫ n 0t Montrer que cette intégrale est convergente puis que la suite(J)converge n n∈IN π vers-. 2 +∞+∞ sin(y) En déduire les valeurs de-dyet deϕ(x)dx. ∫0y-∞ I.E -I.E.1) Onconsidère à nouveau la fonctionϕdéfinie dans la première ques-tion et on pose, pouru∈IR,ψ (u)=aϕ(a(u–v)). v On a ainsi : 2 [sin(a(v–u))] pourv≠u,ψ (u)=-v 2 a(v–u) etψ (v)=aϕ(0) v Montrer queψest continue et intégrable surIR. v +∞ I.E.2) Montrerque, lorsquev→+∞,ψ(u)du→ π. v 0 I.F -Montrer que, pour tout nombre réelu, 2a tit(u–v) 1–-edt=2ψ(u). v –2a2a
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I.G -(1–σ)u I.G.1) Montrerque, pour tout réelσ ≥1,uaψ(u)eintégrable sur est v + IR. +∞+∞ (1–σ)u I.G.2) Montrerqueψ(u)eduvers tendψ(u)du lorsqueσ tend v v 0 0 vers1par valeurs supérieures.
Partie II -Dans cette partie : • ondésigne par(β )une suite de nombres réels positifs tels que : n n∈IN -s (P) lasérieβnconverge pour tout nombre complexesvérifiant 1∑n Re(s) >1oùRe(s)désigne la partie réelle des; • ondésigne parBune fonction continue et croissante de[1,+∞[dansIRtelle que n * (P)∀n∈IN,B(n)=β; 2∑k k=1 • onpose, pour tout réelx≥1et tout complexesvérifiantRe(s) >0, B(x)-s F(x)=-–1x. s x On suppose que (P)Fest intégrable sur[1,+∞[. 3s +∞ Rs • Ondéfinit ainsi pour tout complexesvérifiante(s) >0,G(s)=F(x)dx. ∫1 On suppose que +* IR×IR→IR+* (P) lafonctionest continue surIR. ×IR 4 (σ,t)aG(σ+it) Dans toute la suite, on considère un nombre réelσstrictement supérieur à1. * II.A -On pose, pour toutn∈IN, n–1 -σ-σ u=B(k)(k–(k+1) ). ∑ n k=1 II.A.1) Montrerque la suite(u)est croissante. n * n∈IN
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MATHÉMATIQUES IFilière TSI II.A.2) OnaB(k)–B(k–1)=β. Exprimeruen fonction de k n n–1 -σ-σ u βket deB(n–1)net en déduire que(n)*converge. ∑nk∈IN k=1 -σ II.A.3) Endéduire la convergence de la suite(B(n)n). * n∈IN -σ II.A.4) Enutilisant la croissance deBen déduire que la fonctionxaB(x)x admet une limite finie en+∞. II.B -II.B.1) Transformerl’intégrale définissantGpar le changement de variable u x=e. On pose, pour toutvappartenant à[0,+∞[, 2a titv H(a,v)=G(σ+it)1–-edt. ∫–2a 2a II.B.2) Montrerque : 2a+∞ –u u-(σ–1)u H(a,v)≤ (e B(e)–1)edudt. ∫∫ –2a0 En déduire l’existence d’une constanteKtelle que :∀v∈]0,+∞[,H(a,v)≤4aK. II.B.3) Eninversant l’ordre des intégrations dans la définition deH(a,v)(on admettra que l’inversion est possible), montrer que : +∞ –u u(1–σ)u H(a,v)=2(e B(e)–1)eψ(u)du. ∫ v 0 II.C --σu u II.C.1) Montrerque, pour toutσ >1, la fonctionuae B(e)ψ(u)est intégra-v + ble surIR. Indication : on pourra utiliser la question II.A.4. II.C.2) Montrerque, pour toutσ >1, la fonction 0 +∞-σu u σae B(e)ψ(u)duest continue sur]σ ,+∞[. ∫ v0 0 Elle est donc continue sur]1,+∞[et on admettra de plus que : +∞-σu+∞ u-u u lime B(e)ψ(u)du=e B(e)ψ(u)du. ∫ ∫ v v σ →1 00 σ >1
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MATHÉMATIQUES I II.D -Montrer que : 2a2a titvtitv limG(σ+it)(1–-)edt=G(1+it)(1–-)edt. σ →1∫–2a2a∫–2a2a σ >1
Filière TSI
II.E -Montrer que : 2a+∞+∞ titv-u u G(1+it)(1–-)edt+2ψ(u)du=2e B(e)ψ(u)du. 2a∫ ∫ v v –2a0 0 II.F -II.F.1) Enadmettant que le résultat de la question I.C reste valable si on sup-pose seulement la continuité de la fonctionh, montrer que : 2a titv limG(1+it)(1–-)edt=0. ∫ v→+∞–2a2a +∞-u u II.F.2) Endéduire :lime B(e)ψ(u)du=π. ∫ v v→+∞ 0 ••• FIN •••
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