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MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2003 1/8 MATHÉMATIQUES II Filière PC Dans ce problème, nous étudions les propriétés de certaines classes de matrices carrées à coefficients réels et certains systèmes linéaires de la forme d'inconnue , étant une matrice à coefficients réels, un vecteur de . Cette étude fait l'objet des parties I à IV, et les matrices considérées ont la particularité d'avoir beaucoup de termes nuls. Au cours de la dernière partie, on montre comment la recherche de solutions approchées d'une équation diffé- rentielle peut conduire à de tels systèmes linéaires. Dépendance entre les questions On peut aborder les parties II à V sans avoir traité entièrement la partie I. Le préambule de la partie III reprend les résultats de la partie II qui sont nécessaires pour la traiter. Les résultats des premières questions de la partie III servent dans la partie IV. Le début de la partie V peut être abordé directement. Notations du problème Dans tout le problème désigne un entier supérieur ou égal à et désigne la matrice unité d'ordre . Si est une matrice (carrée ou non), désigne la matrice transposée de . On identifie un vecteur et la matrice à lignes et colonne, et désigne alors la matrice à ligne et colonnes : ; • est l'élément de dont tous les coefficients sont nuls sauf le -ième, égal à ; • est l'espace vectoriel des matrices carrées symétriques, à coefficients réels, d'ordre (c'est-à-dire à lignes et colonnes) ; • est le groupe des matrices orthogonales d'
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MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2003 1/8 MATHÉMATIQUES II Filière PC Dans ce problème, nous étudions les propriétés de certaines classes de matrices carrées à coefficients réels et certains systèmes linéaires de la forme d'inconnue , étant une matrice à coefficients réels, un vecteur de . Cette étude fait l'objet des parties I à IV, et les matrices considérées ont la particularité d'avoir beaucoup de termes nuls. Au cours de la dernière partie, on montre comment la recherche de solutions approchées d'une équation diffé- rentielle peut conduire à de tels systèmes linéaires. Dépendance entre les questions On peut aborder les parties II à V sans avoir traité entièrement la partie I. Le préambule de la partie III reprend les résultats de la partie II qui sont nécessaires pour la traiter. Les résultats des premières questions de la partie III servent dans la partie IV. Le début de la partie V peut être abordé directement. Notations du problème Dans tout le problème désigne un entier supérieur ou égal à et désigne la matrice unité d'ordre . Si est une matrice (carrée ou non), désigne la matrice transposée de . On identifie un vecteur et la matrice à lignes et colonne, et désigne alors la matrice à ligne et colonnes : ; • est l'élément de dont tous les coefficients sont nuls sauf le -ième, égal à ; • est l'espace vectoriel des matrices carrées symétriques, à coefficients réels, d'ordre (c'est-à-dire à lignes et colonnes) ; • est le groupe des matrices orthogonales d'
- droites vectorielles
- x1 x2
- a? a??
- matrices symétriques
- ?–
- x2 …
- matrice carrée d'ordre
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Dans ce problème, nous étudions les propriétés de certaines classes de matrices carrées à coefficients réels et certains systèmes linéaires de la formeAx=b n d’inconnuex∈IR,Aétant une matrice à coefficients réels,bun vecteur de n IR. Cette étude fait l’objet des parties I à IV, et les matricesAconsidérées ont la particularité d’avoir beaucoup de termes nuls. Au cours de la dernière partie, on montre comment la recherche de solutions approchées d’une équation diffé-rentielle peut conduire à de tels systèmes linéaires. Dépendance entre les questions On peut aborder les parties II à V sans avoir traité entièrement la partie I. Le préambule de la partie III reprend les résultats de la partie II qui sont nécessaires pour la traiter. Les résultats des premières questions de la partie III servent dans la partie IV. Le début de la partie V peut être abordé directement. Notations du problème Dans tout le problèmendésigne un entier supérieur ou égal à2etIdésigne n t la matrice unité d’ordren. SiMest une matrice (carrée ou non),Mdésigne la n matrice transposée deM. On identifie un vecteurx∈IRet la matrice àn lignes et1colonne,
x 1 x 2 x= M x n t t etxdésigne alors la matrice à1ligne etncolonnes :x=[xx…x]; 1 2n n •el’élément de est IR-idont tous les coefficients sont nuls sauf le kème, k égal à1; •S(IR)est l’espace vectoriel des matrices carrées symétriques, à coefficients n réels, d’ordren(c’est-à-dire ànlignes etncolonnes) ; •O(IR)est le groupe des matrices orthogonales d’ordren. n
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Partie I - Une famille de matrices symétriques Soientnun entier naturel tel quen,≥et2 unαréel strictement positif. On considère dans cette partie les matrices carréesA=(a)d’ordren, telles n i,j que, pour1≤i,j≤n, a= 1 i,i a= –α, sii–j= 1 i,j a= 0, dans les autres cas. i,j Ainsi, pournprenant respectivement les valeurs2,3,4:
1 –α0 0 1 –α0 1 –α–α1 –α0 A=,A=A= 2 3–α1 –α4 –α–1 0 α1 –α 0 –α1 0 0 –α1 On noteP(leX):polynôme caractéristique de la matrice A n n P(X)= det(A–X I). n n n I.A - À propos des éléments propres deA n I.A.1) Calculer les polynômesP(X)etP(X). Déterminer les valeurs pro-2 3 pres et les sous-espaces propres deAet deA. 2 3 2 I.A.2) Montrer queP(X)=(1 –X)P(X)–αP(X). 4 3 2 I.A.3) De façon plus générale, exprimerP(X)en fonction deP(X)et n+ 2n+ 1 deP(X)pour toutn≥2. n I.A.4) Démontrer que1est valeur propre deAsi et seulement si esnt n impair. n I.B -On suppose quenest un entier supérieur ou égal à3et quex∈IRest un vecteur propre deAassocié à la valeur propreλ. n I.B.1) Exprimerxen fonction dex. 2 1 I.B.2) Exprimerxen fonction dexetx. En déduire 3 1 2 P(λ) 2 x=-x. 3 1 2 α
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I.B.3) Donner une relation entrex,xetxlorsque2≤k≤n– 1. k– 1k k+ 1 Avec la conventionP(X)–= 1 ,Xdémontrer que, pour tout tel quke 1 1≤k≤n– 1, P(λ) k x=-x. k+ 1 1 k α I.B.4) Montrer que les sous-espaces propresKer(A–λI)de la matriceA n n n sont des droites vectorielles, puis queAadmetnvaleurs propres deux à deux n distinctes.
Partie II - Matrices définies positives
On dit qu’une matrice symétriqueA∈S(IR)est définie positive lorsque pour tout n n t++ x∈IRnon nul,x A x>0. On noteS(IR)l’ensemble de ces matrices. n Dans les questions qui suivent,A=(a), désigne une matrice de i,j 1≤i,j≤n ++ S(IR)etkest un entier tel que1≤k≤n. n t II.A -En calculante Ae, montrer quea>0. k k k,k II.B -Soitλune valeur propre deAetxun vecteur propre associé. t Calculerx Axet en déduire queλ >0. Justifier quedet(A) >0. II.C -On suppose que1≤k<net on écritAsous la forme de blocs
A′B A=, où .A′ ∈S(IR) k t BA′′ t Préciser la taille des blocsA′,A′′,B,B. n t Soituun élément deIRtel queu= 0sij>k. En calculantu Auen fonction j t deA′et deu′=(u, …,u,)emontrer que la sous-matrice As′t elle-même 1k symétrique et définie positive. II.D - Matrices symétriques à valeurs propres strictement positives II.D.1) SoientMetMdeux matrices symétriques d’ordre .nOn suppose 1 2 t qu’il existe une matrice orthogonaleQ∈O(IR)telle queM=Q M Q. n2 1 Montrer queMest définie positive si et seulement siMest elle-même définie 1 2 positive. II.D.2) Montrer qu’une matrice diagonale d’ordren, à coefficients réels, est définie positive si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous stricte-ment positifs. II.D.3) Montrer qu’une matriceM∈S(IR)est définie positive si et seulement n si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
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II.E -SoitAla matrice symétrique définie dans la partie I. n ++ Nous allons montrer que, sous certaines conditions,A∈S(IR). n n Supposons quexsoit un vecteur propre deAassocié à la valeur propreλet n désignons pariun indice pour lequelsupx=x. 0i i 0 1≤i≤n II.E.1) Montrer que sii= 1oui=nalors1 –λ ≤ α(indication :écrire la 0 0 ligne1ou la lignendu systèmeA x=λx). n II.E.2) Montrer que si2≤i≤n– 1, alors1 –λ ≤2α. 0 II.E.3) En déduire que siα <1∕2, la matriceAest définie positive. n
Partie III - Décomposition des matrices définies positives Préambule :On cherche à démontrer dans cette partie la propriétéP: ++ Pour toute matriceM∈S(IR), il existe une unique matrice carréeLd’ordren, n triangulaire inférieure et à coefficients diagonaux strictement positifs telle que t M=L L. On pourra utiliser ici les résultats de la partie II, en particulier le fait que, si ++ M∈S(IR), n •ses termes diagonaux sont strictement positifs ; •son déterminant est strictement positif ; •les sous-matrices formées des termes d’indicesi,j, tels que1≤i,j≤k, où k≤n, sont elles-mêmes symétriques et définiespositives. P III.A -Montrer la propriétépourn= 2. En notant a b r0 M=etL=, b d s t donner les expressions der,s,ten fonction dea,b,d. P III.B -On suppose la propriétévraie au rangn– 1(avecn≥3), et on consi-++ dère une matriceM∈S(IR), que l’on écrira en4blocs : n M x 1 M=, t x m n– 1 oùMest une matrice carrée d’ordren– 1,mun réel etxun vecteur deIR, 1 t t xdésignant la ligne transposée dex, à savoir :x=[xx…x]. 1 2n– 1 III.B.1) Montrer queMest inversible. 1
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MATHÉMATIQUES II Filière PC n– 1 III.B.2) Soientµ >0,w∈IRetLu′ne matrice triangulaire inférieure, t d’ordren– 1, à coefficients diagonaux strictement positifs telle queM=L′L′. 1 Montrer que la matrice carrée d’ordren 0 L′n– 1 L=, où0désigne le vecteur nul deIR, t wµ t vérifieM=L Lsi et seulement si : L′w=x –1(1) 2t µ=m–x M x 1 III.B.3) En admettant que t–1 m–x M x>0, (2) 1 montrer que la propriétéPest vraie au rangn. III.C - Preuve de (2) et fin de la démonstration III.C.1)
1 0…0x 1 0 1…0x 2 Ixn– 1. Soit ,A.= = n≥3 M M. 0M t ym0 0…1x n– 1 y y…y m 1 2n– 1 Calculerdet(A)en fonction dem, desxet desy. i i ++ III.C.2) SoitM∈S(IR)une matrice symétrique définie positive que l’on écrit n par blocs :
Mx1 M=. t xm a) Calculer le produit de deux matrices : Ixn1– 1 0 M×. t–1 t x Mm 101b) Montrer, par un calcul de déterminants, queMvérifie la relation (2). III.D -Décrire un algorithme de calcul de la matriceL.
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Partie IV - Matrices tridiagonales IV.A -SoitM=(m)une matrice symétrique définie positive d’ordre .nOn i,j suppose queMest de plus tridiagonale, c’est-à-dire qu’elle vérifiem=0si i,j i–j≥2. n– 1 IV.A.1) On supposen≥3. Soientx∈IR, tel quex=si01≤i≤n,–et2 i L′=(l), une matrice d’ordren– 1, triangulaire inférieure dont les termes dia-i,j gonaux sont non nuls. Résoudre l’équationL′w=x. IV.A.2)Ldésigne encore la matrice triangulaire inférieure à coefficients dia-t gonaux strictement positifs, telle queL L=M. Démontrer, en raisonnant par récurrence et en utilisant la question III.B.2), que Lest tridiagonale. IV.B -On reprend les notations de la partie I et on supposeα <1∕2. On noteL n la matrice triangulaire inférieure à coefficients diagonaux strictement positifs t telle queA=L L. n n n IV.B.1) Calculert.L L 2 3 n IV.B.2) On s’intéresse au système linéaireA x=boùb∈IR. n a) Montrer qu’il possède une unique solution. b) Montrer que la résolution de ce système est équivalente à la résolution suc-t cessive des systèmesL y=betL x=y. n n c) Dénombrer avec soin les additions, les soustractions, les multiplications et les divisions que nécessite la résolution successive de ces deux systèmes. Montrer que seules2(3n– 2)de ces opérations sont nécessaires pour obtenirx.
Partie V - Solutions approchées d’une équation différentielle V.A - Question préliminaire : approximation d’une dérivée seconde 4 On poseI=[a,b]. Soitφ:I→IRune fonction de classeC. On rappelle que pourzetθtels quez,z+θ ∈, on peut écrire la formule de Taylor avec reste intégral sous la forme : 3 (k)3 θ φ (z)k(θ–t)(4) φ(z+θ)=-θ+-φ (z+t)dt. ∑k!∫3! 0 k= 0
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On note (4) M= supφ (x). 4 x∈ [a,b] V.A.1) Justifier l’existence deMet donner une majoration de la valeur abso-4 lue du reste intégral en fonction deθet deM. On pourra commencer par le cas 4 où .θ >0 V.A.2) Montrer que siz–θ,z+θ ∈, φ(z+θ)– 2φ(z)+φ(z–θ) φ′′(z)=-+R(θ), (3) z 2 θ avec
2 Mθ 4 R(θ) ≤-. z 12
Dans toute la suite du problème, on se donneω >0 2 tiongsur[0,1], à valeurs réelles, de classeC.
On s’intéresse au problème suivant : 2 u′′–ωu=g, sur[0,1] u(0)=a 0 u(1)=a 1
, deux réelsa0
eta1
, une fonc-
(4)
V.B -V.B.1) Donner l’expression générale des solutions de l’équation différentielle 2 (H): .u′′–ωu= 0 V.B.2) On noteuune solution particulière de l’équation différentielle 0 2 (E): .u′′–ωu=g Donner l’expression générale des solutions de l’équation(E.)Montrer que le problème (4) admet une solution et une seule. 4 V.B.3) Montrer que cette solution est de classeC. V.C - On se propose d’approcher la solution du problème (4) On subdivise l’intervalle[0,1]en considérant les points k t=-, .k∈ {0, …,n+ 1} k n+ 1
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Pour1≤k≤n, on remplace l’équation : 2 u′′(t)–ωu(t)=g(t) k k k par l’équation approchée : u(t)– 2u(t)+u(t) k+ 1k k– 1 2 -–ωu(t)=g(t), k k 2 θ dans laquelle : 1 θ=-. n+ 1 On note
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(5)
x u(t) 1 1 n x= =∈IR. M M x u(t) n n V.C.1) Montrer que l’on peut choisir un réelα >0, que l’on exprimera en fonc-tion deθet deω, qui permet de réécrire le système formé desnéquations (5) sous la formeA x=boùAest la matrice étudiée dans la partie I etbun vec-n n n teur deIRque l’on précisera. V.C.2) Montrer que le système linéaireA x=bpossède une unique solution. n V.C.3) Dans cette question on choisitω=,4a=,0a=1etn=,3et on 0 1 considère la fonctiongdéfinie par 4 g(t)=-. t+ 1 Donner les valeurs numériques deα,A,Letb. 3 3 Donner les expressions approchées deu(1∕4),u(2∕4),u(3∕4)obtenues en met-tant en œuvre la démarche proposée dans les parties IV et V du problème.
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••• FIN •••
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