Classification des catégories finies
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Français
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2007
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
1 Classification des catégories finies Samer Allouch Mémoire de M2, 15 juin 2007 Introduction: Le but du travail est d'étudier les correspondances, si elles existent, entre les catégories finies ordonnées d'ordre n et l'ensemble des matrices carrés de tailles n. Etant donné deux objets distincts ou non : X i , X j , d' une catégorie finie ordonnée A, Soit a ij =?A (X i , X j ) ?le nombre des morphismes de X i vers X j , évidement (a ij ) définie une matrice carrée M, alors on a une seule matrice associée à A. D'autre part si on a une matrice carrée de taille n, on va discuter les conditions sur les coefficients de la matrice pour trouver les catégories qui lui sont associées. En générale, il n'est pas nécessaire que les catégories existent, par exemple la matrice ??? ? ??? ? 11 22 n'a aucune catégorie associé, on essaye de classifier les matrices qui ne marchent pas et les matrices qui marchent avec leurs catégories associés. On a démontré dans le plan quelque lemme et corollaire pour faciliter le problème, par exemple une matrice et son transposé ont le même état, en plus une matrice et son symétrie, c.à.d sa conjuguée par un élément du groupe symétrique, ont le même état, et si une matrice est telle que il existe une sous matrice qui ne marche pas alors la matrice principale ne marche pas.
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- mémoire
1 Classification des catégories finies Samer Allouch Mémoire de M2, 15 juin 2007 Introduction: Le but du travail est d'étudier les correspondances, si elles existent, entre les catégories finies ordonnées d'ordre n et l'ensemble des matrices carrés de tailles n. Etant donné deux objets distincts ou non : X i , X j , d' une catégorie finie ordonnée A, Soit a ij =?A (X i , X j ) ?le nombre des morphismes de X i vers X j , évidement (a ij ) définie une matrice carrée M, alors on a une seule matrice associée à A. D'autre part si on a une matrice carrée de taille n, on va discuter les conditions sur les coefficients de la matrice pour trouver les catégories qui lui sont associées. En générale, il n'est pas nécessaire que les catégories existent, par exemple la matrice ??? ? ??? ? 11 22 n'a aucune catégorie associé, on essaye de classifier les matrices qui ne marchent pas et les matrices qui marchent avec leurs catégories associés. On a démontré dans le plan quelque lemme et corollaire pour faciliter le problème, par exemple une matrice et son transposé ont le même état, en plus une matrice et son symétrie, c.à.d sa conjuguée par un élément du groupe symétrique, ont le même état, et si une matrice est telle que il existe une sous matrice qui ne marche pas alors la matrice principale ne marche pas.
- catégorie ab
- composition usuelle
- applications ensemblistes avec la composition usuelle
- kk kk
- appelée catégorie
- injections ensemblistes sauf les applications identités
- catégorie
- morphisme
Classification des catégories finies Samer Allouch MémoiredeM2,15 juin 2007 Introduction: Le but du travail est d'étudier les correspondances, si elles existent, entre les catégories finies ordonnées d'ordre n et l'ensemble des matrices carrés de tailles n. Etant donné deux objets distincts ou non :Xi,Xj une catégorie finie ordonnée, d'A, Soit aij=│A (Xi,Xj) │le nombre des morphismes deXiversXj, évidement (aij) définie une matrice carréeMalors on a une seule matrice associée à, A. D'autre part si on a une matrice carrée de taille n, on va discuter les conditions sur les coefficients de la matrice pour trouver les catégories qui lui sont associées. En générale, il n'est pas nécessaire que les catégories existent, par exemple la matrice 2211 classifiern'a aucune catégorie associé, on essaye de ne les matrices qui marchent pas et les matrices qui marchent avec leurs catégories associés. On a démontré dans le plan quelque lemme et corollaire pour faciliter le problème, par exemple une matrice et son transposé ont le même état, en plus une matrice et son symétrie, c.à.d sa conjuguée par un élément du groupe symétrique, ont le même état, et si une matrice est telle que il existe une sous matrice qui ne marche pas alors la matrice principale ne marche pas. Par "même état" on veut dire que si l'une marche alors l'autre marche et inversement, en plus si elle marche alors les deux ensembles des catégories sont isomorphes. Finalement on peut définir une catégorie à partir d'une matrice carré dans certains exemples, ca c'est très important car la définition d'une catégorie est un peu complexe, on même temps on va étudier l'influence des propriétés matricielles sur les catégories. Voici quelques-uns des resultats. PourM = (2), Cat (M)=Cat1(M)Catf(M).
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Pour CatM = (3), (M)=cat1(M)Cat(M,Z/3Z)cat1g(M)cat2f (M)cat3f(M) cat4f(M)cat7f(M).
1a Soit(M)=0 1, et a≥1 alorsCat (M)= {Acatégorie/Ob (A)={X1, X2} et A (X1, X1)= {1X1},A (X1, X2)= {f1, f2
fa},A (X2, X1)= , A (X2, X2)= {1X2}}.associes sont isomorphes, par la foncteuret toutes les catégories abstrait. SoitM=1a1btel que 2a b,alorsCat (M)= .
10 SoitM= 0
1 1 0 0
0
11 1tel que n
∀ , on aCat (M)
pour tout n>0.
n n nn M= atriceN=2 2t 3 3 3 es 1 1 marche pas pour tout n>2, car la m3 ne La matrice2 2 22 1 1 11 un sous matrice deM. Ce mémoire rapproche la théorie et la logique pratique. Définition : Une semi catégorieAune classe d’objet, une classe des morphismes et une loi deconsiste en composition de morphismessatisfaisant les axiomes suivants: Àtout morphisme fA correspond une paire d’objets deAappelés source (f) et but (f).On note:source (f) | but (f). Pour toute pair d’objets X,YA,les morphismesX|Y forment un ensemble
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