CHAPITRE QUELQUES ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
CHAPITRE 4 : QUELQUES ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES Une équation diophantienne est une équation algébrique pour laquelle on cherche des solu- tions en entiers. Nous étudierons trois équations x2 + y2 = z2 (Pythagore) x4 + y4 = z4 (Fermat en degré 4) x2 ? dy2 = ±1 (Pell) 1. L'équation de Pythagore Pour l'équation de Pythagore x2+y2 = z2 on étudiera les solutions positives et primitives. Si on connaît les solutions positives on connaît toutes les solutions de tous les signes, car les solutions de l'équation de Pythagore sont les (x, y, z) = (±x0,±y0,±z0) avec (x0, y0, z0) une solution positive. Une solution est dite primitive si pgcd(x, y, z) = 1. Il suffit encore de connaître les solutions primitive pour en connaître les autres ; elles sont les (x, y, z) = (dx0, dy0, dz0) avec d entier et (x0, y0, z0) une solution primitive. Proposition 1.1. Les solutions de l'équation de Pythagore x2 + y2 = z2 sont de la forme (x, y, z) = (±dx0,±dy0,±dz0) avec (x0, y0, z0) une solution positive et primitive, et d entier. Avant de commencer l'analyse des solutions positives et primitives, considérons le lemme suivant.
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CHAPITRE 4 : QUELQUES ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES Une équation diophantienne est une équation algébrique pour laquelle on cherche des solu- tions en entiers. Nous étudierons trois équations x2 + y2 = z2 (Pythagore) x4 + y4 = z4 (Fermat en degré 4) x2 ? dy2 = ±1 (Pell) 1. L'équation de Pythagore Pour l'équation de Pythagore x2+y2 = z2 on étudiera les solutions positives et primitives. Si on connaît les solutions positives on connaît toutes les solutions de tous les signes, car les solutions de l'équation de Pythagore sont les (x, y, z) = (±x0,±y0,±z0) avec (x0, y0, z0) une solution positive. Une solution est dite primitive si pgcd(x, y, z) = 1. Il suffit encore de connaître les solutions primitive pour en connaître les autres ; elles sont les (x, y, z) = (dx0, dy0, dz0) avec d entier et (x0, y0, z0) une solution primitive. Proposition 1.1. Les solutions de l'équation de Pythagore x2 + y2 = z2 sont de la forme (x, y, z) = (±dx0,±dy0,±dz0) avec (x0, y0, z0) une solution positive et primitive, et d entier. Avant de commencer l'analyse des solutions positives et primitives, considérons le lemme suivant.
- pythagore
- analyse des solutions positives
- solu- tions en entiers
- solution positive
- conjuguée de la somme
- signes des solutions positives
Universit´edeNice D´epartementdeMath´ematiques
Ann´ee2007-2008 LicenceMI/SM1eann´ee
Analyse : notes du cours 4 Extrema d’une fonction de deux variables 1.Convexit´e: De´finition:enu’cnofdnOuqtiabivleontierd´x7→f(x) estconvexesur un intervalleI=]a, b[⊆Rsi sa de´rive´eestcroissantesurI(etstrictement convexesi elle est strictement croissante). On dit qu’elle est 1 concavere´dasistseee´viroisd´ece(etsantstrictement concaveroecsaismeted´ntstsecirtiselletne.) 2 13 Ainsix7→xetx7→sont convexes surRet ]0,+∞[ respectivement. La fonctionx7→xn’est x ni convexe ni concave surRmais elle est convexe sur [0,+∞[ et concave sur ]∞,0]. Notons qu’une fonctionfest concave si et seulement si la fonction−fest convexe. Voiciuneproprie´te´caracte´ristiquedelaconvexite´quenouspourronsge´n´eraliserauxfonctionsde deux variables. Proposition 1Une fonctionfseusuad-sphdeenrgir´aetu´estsieluesteiosistnemsteeblvaesexnvco detoutessestangentes,c’est-a`-diresi,entoutpointx0, on a pour toutx: 0 f(x)≥f(x0) +f(x0)(x−x0).(1) Cetteine´galite´quis’´ecritaussif(x)≥L(x),o`uL(xs´rideeeilalae´ntse)fau pointx0, montre que l’approximationd’unefonctionconvexeparsaline´aris´eeesttoujoursunesous-estimationdelavaleur exacte.Lastricteconvexit´ecorresponda`lameˆmede´finition,maisavecuneine´galit´estricte. Preuve :´vreevexeicnfiibein´eettet´e(galinosop,)1sruoPuorpqrevunu’onefioctonncg(x) =f(x)−L(x) 0 00 et montrons quegest une fonction positive ou nulle. On ag(x0) = 0 et d’autre partg(x) =f(x)−f(x0). 0 00 00 Commefest croissante, on af(x)−f(x0)≤0 six≤x0etf(x)−f(x0)≥0 six≥x0. Donc la fonctiongourets´dceorsiastnpex≤x0et croissante pourx≥x0. Elle reste donc toujours positive. 0 Re´ciproquement,pourmontrerqueftsinpouxdensrotcroesdie´ocsntn,esiasx0etx1deItels que 0 0 x0≤x1et montrons quef(x0)≤f(x1e(t´au1)´einliga.)’Lnioptx0est satisfaite si l’on prend pourxla valeurx1, 0 f(x1)≥f(x0) +f(x0)(x1−x0) etlameˆmein´egalite´aupointx1cette fois est satisfaite si l’on prend pourxla valeurx0 0 f(x0)≥f(x1) +f(x1)(x0−x1). f x−f xf x−f x 01 01 00 Ilenr´esultequed’unepartf(x0)≤et d’autre part≤f(x1) (en se souvenant x1−x0x1−x0 0 0 quex0≤x1u`o’D.)f(x0)≤f(x1).✷ Lacaracte´risationpr´ec´edentesege´ne´ralisefacilementauxfonctionsdedeuxvariables: 2 D´efinition:On dit qu’une fonction (x, y)7→f(x, yd)e´irblvaesetconvexeosisargneehpiststu´e au-dessusdetoussesplanstangents,c’est-`a-diresientoutpoint(x0, y0), on a pour tout (x, y) : ∂f ∂f f(x, y)≥f(x0, y0() +x0, y0) (x−x0() +x0, y0) (y−y0) ∂x ∂y Ici encore laconvictestre´tixetresteicunetonefoitce´dnavirselberat´liga´einl’`aradnopserrocconcavesi songrapheestsitue´en-dessousdetoussesplanstangents(c’est-`a-direlorsqu’onauralameˆmeine´galite´ maisinverse´e).Anouveau,unefonctionfest concave lorsque la fonction−fest convexe. G´eom´etriquement,unefonctionconvexeaungraphehalersveutseottie´´teeirnedontncavlaco, comme 2 2 le bolf(x, y) =x+yelevsre´tiotseneiree´theapntdocolaavncitnooccnvaaenurgalorsqu’unefonc 2 2 bas comme le chapeauf(x, y) =9−x−y. Un planf(x, y) =ax+by+c`astecnvaeetalofsioc 2 2 convexe (mais pas strictement) et une sellef(x, y) =x−yn’est ni concave ni convexe. 1 Enfait,lanotiondeconvexite´existeplusg´en´eralement,pourtoutefonctionde´rivableounon(voirparexemple http ://fr.wikipedia.org/wiki/fonction convexe) 2 On appelle iciableerivd´eillseC.e´seaptrtmieonntsaucasodnetsrfaoinrceqnoiopiufenutcnod´uxiver`essdede d’uneseulevariable,cetted´erivabilite´la`n’entrainepasquelafonctionpuisseeˆtresuffisammentbienapproche´e parsaline´aris´ee.Pourquecesoitlecas,ilfaudrademandera`lafonctiond’ˆetred´eiffailbertne(voir par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/diffe´rentielle).
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2.Conditionsd’optimalite´dusecondordre On a vu que pour trouver les extrema d’une fonctionx7→f(xdestfa`aeeircereesoh,r)pal`ime rechercher ses points critiques. Parmi ces points critiques, certains sont l’argument d’un maximum local, d’autres l’argument d’un minimum local et d’autres ni l’un ni l’autre. Pour savoir dans quel cas l’on se trouve,ilsuffitenfaitdeconnaˆıtrelaconcavite´delafonction,c’est-`a-diredesavoirdistinguersielleest convexe (c’est la cas d’un minimum) , concave (c’est le cas d’un maximum) ou ni l’un ni l’autre. Pour les 0 00 fonctionsdeuxfoisd´erivables,lacroissancestrictedefcorrespond au fait quef >cee0stdae´rciossna 00 strictea`f <:tnaviusere`tir0elI.e´rntluscele
Proposition2Conditiond’optimalite´dusecondordre:Soitx7→f(x)une fonction deux fois d´erivablesur]a, b[et soitcun point de]a, b[: 0 00 – sif(c) = 0etf(c)>0alorscest un minimum local def. 0 00 – sif(c) = 0etf(c)<0alorscest un maximum local def.
Le corollaire suivant est souvent utile dans les applications :
Corollaire 3Si une fonction strictement convexef:]a, b[7→Rpec,euqitsetnioeunps`edcritointpso l’argument de son minimum global et il est unique.
Danslecasdesfonctionsdedeuxvariables,c’estunequantit´eappele´eleetmrde´ensiestHanin, qui se 00 calculefacilement`apartirdesd´eriv´eespartiellessecondes,quivajouerlerˆoledelade´rive´esecondef. Maisauparavante´tendonsauxfonctionsdedeuxvariableslesd´efinitionsd’extre´malocauxetglobaux. 2 D´efinition:On dit qu’une fonctionf(x, yemainodnuruseinfie´d)D ⊆Rs`edposuenmaximum local ∗ ∗∗ ∗∗ ∗ au point (x ,y)∈ Ds’il existe un rectangleI×J=]x−ε, x+ε[×]x−δ, x+δ[ contenu dansD ∗ ∗ sur lequelf(x, y)≤f(x ,yint(utpoentoaiteligaeet´sastsftie)cistettee´nix, y)∈ Dil s’agit d’un maximum globalugpeuorionanaloed´efinitnutnemmedive´anO.minimum localetminimum global.
Proposition4Conditiond’optimalite´dusecondordre:Soit(x, y)7→f(x, y)une fonction deux 0 0 foisde´rivablesurdomaineouvertD=]a, b[×]a , b[coseeslliertpaeseunitnoctnossednsdontles4d´eriv´e et soit(xc, yc)un point deD. Soit 2 2 22 ∂ f∂ f∂ f D=D(x, y) =(x, y) (x, y)−(x, y). 2 2 ∂x ∂y∂x∂y
2 ∂ – SiGradf(xc, yc) = 0etD(xc, yc)>0avec2(xc, yc)>0alors(xc, yc)est un minimum local de ∂x la fonctionf. 2 ∂ f – SiGradf(xc, yc) = 0etD(xc, yc)>0avec2(xc, yc)<0alors(xc, yc)est un maximum local de ∂x la fonctionf.
3.D´eterminationdesextremaglobauxparlam´ethode`atroise´tapes.Comme pour les fonctions d’unevariables,ondisposed’unem´ethodesimplepourtrouverlaplusgrandeetlapluspetitevaleur d’une fonction (x, y)7→f(x, ylbleiravd)e´inedomaueleorsqDctanglerlsuueeqeelleell´dtsinfietseeernu 3 (avecsonbord),unpolygoˆne(avecsonbord)ouplusge´n´eralementundomaineborn´ede´finipardes in´egalite´slargesportantsurdespolynoˆmes.Pourlocalisercesdeuxextre´maglobaux,ilsuffiteneffetde proc´ederentroise´tapes: 1. Trouvertous les points critiques defopni(lugest`odereluclacruelavalteendiraetl)nustfen ces points. 2. Trouverles extrema defrobudtnemgeseuqad,serncirtnoithca`ursbole(erdfest une fonction d’uneseulevariablea`laquelleonpeutappliquerlam´ethode`atroise´tapes). 3.Laplusgrandeetlapluspetitevaleurstrouv´eesauxdeuxe´tapespr´ec´edentessontlesextrema cherche´s.
2 3 Une partie deRest diteeobe´nrndraec)rngta[les’ilexisteun(possbielemtnrte`gs−M, M]×[−M, M] qui la contient.
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