Centre des Matériaux MINES ParisTech
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IAE Poutres planes Georges Cailletaud Centre des Matériaux MINES ParisTech
- iae poutres
- matrice des moments quadratiques
- section droit
- equilibre loi de comportement
- centre des matériaux
- droite ∆ de la section droite
- poutres planes
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Français
IAE Poutres planes
Georges Cailletaud
Centre des Matériaux
MINES ParisTechPlan
1 Géométrie et chargement
2 Solution de Saint Venant
3 Principe des travaux virtuels
4 Poutres homogènes planes
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
5 Poutres composites
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 27 avril 2009 2 / 58Plan
1 Géométrie et chargement
2 Solution de Saint Venant
3 Principe des travaux virtuels
4 Poutres homogènes planes
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
5 Poutres compositesGéométrie et chargement
Définition d’une poutre
On définit successivement :
Une ligne moyenne C, de point courant G, avec s, abcisse curviligne à partir de O
(t,n,b) est le trièdre de Frénet orthonormé, où R est le rayon de courbure
dOG dt
t= n=R b=t∧n
ds ds
Une section droite, S de la poutre, dans le plan(n,b), de contourΓ
Les sections droites sont lentement variables ou constantes en fonction de s
La plus grande dimension de la section droite est petite devant R, et devant la longueur de
la poutre
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 27 avril 2009 4 / 58Géométrie et chargement
Caractéristiques géométriques
Z
Le centre de gravité vérifie GMdS=0
S
On définit le moment quadratique par rapport à une droiteΔ de la section droite, en
introduisant H, projection de M∈S surΔ
Z
2I(S,Δ)= ||HM|| dS
S
idem moment d’inertie d’un solide autour d’une droite, mais solide plan et masse
surfacique de 1
Z Z
2I = x dS I =− x x dS22 23 2 3 3 ZS ZSMatrice des moments quadratiques I =
2I =− x x dS I = x dS32 2 3 33 2
S S
Dans les directions centrales principales , on définit les moments quadratiques centraux
principaux Z
2I = x dS 02 3 S ZI =
30 I = x dS3 2
S
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 27 avril 2009 5 / 58Géométrie et chargement
Efforts extérieurs
x3
x2
Pt 3
p
3
F M2p
2
P2 M
3x1
C
Forces concentrées F selon x , P selon x , P selon x1 2 2 3 3
Forces surfaciques t selon x , p selon x , p selon x1 2 2 3 3
Moment de flexionM autour de x ,M autour de x2 2 3 3
Couple de torsion autour de x , C1
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 27 avril 2009 6 / 58
