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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
19 avril 2011 15:44 Page 1/4 2 0 1 1Mathématiques 1 PSI 4 heures Calculatrices autorisées Le but de ce problème est d'établir partie V une identité relative à la fonction Gamma, due à Euler, puis d'en présenter partie VI une application à la distribution de Bolzmann dans un gaz de particules. I La fonction Gamma On définit la fonction ? d'Euler, pour tout réel x > 0, par : ?(x) = ∫ +∞ 0 e?ttx?1 dt I.A – Montrer que la fonction t? e?ttx?1 est intégrable sur ]0,+∞[ si, et seulement si, x > 0. I.B – Justifier que la fonction ? est de classe C1 et strictement positive sur ]0,+∞[. I.C – Exprimer ?(x+ 1) en fonction de x et de ?(x). I.D – Calculer ?(n) pour tout entier naturel n, n > 1. II Formule de Stirling Pour tout entier k > 2, on pose : uk = ln k ? ∫ k k?1 ln t dt II.A – À l'aide de deux intégrations par parties, montrer que : uk = 1 2 (ln k ? ln(k ? 1))? 1 2 ∫ k k?1 (t? k + 1)(k ? t) t2 dt II.
Voir
19 avril 2011 15:44 Page 1/4 2 0 1 1Mathématiques 1 PSI 4 heures Calculatrices autorisées Le but de ce problème est d'établir partie V une identité relative à la fonction Gamma, due à Euler, puis d'en présenter partie VI une application à la distribution de Bolzmann dans un gaz de particules. I La fonction Gamma On définit la fonction ? d'Euler, pour tout réel x > 0, par : ?(x) = ∫ +∞ 0 e?ttx?1 dt I.A – Montrer que la fonction t? e?ttx?1 est intégrable sur ]0,+∞[ si, et seulement si, x > 0. I.B – Justifier que la fonction ? est de classe C1 et strictement positive sur ]0,+∞[. I.C – Exprimer ?(x+ 1) en fonction de x et de ?(x). I.D – Calculer ?(n) pour tout entier naturel n, n > 1. II Formule de Stirling Pour tout entier k > 2, on pose : uk = ln k ? ∫ k k?1 ln t dt II.A – À l'aide de deux intégrations par parties, montrer que : uk = 1 2 (ln k ? ln(k ? 1))? 1 2 ∫ k k?1 (t? k + 1)(k ? t) t2 dt II.
- classe c1 par morceaux
- loi de répartition de bolzmann
- ln ?
- ∂f ∂x2
- u? i?
- convergence de la série ∑
- gaz de particules
- dt
Mathématiques 1 PSI 4 heuresCalculatrices autorisées Le but de ce problème est d’établirpartie Vune identité relative à la fonction Gamma, due à Euler, puis d’en présenterpartie VIune application à la distribution de Bolzmann dans un gaz de particules. I Lafonction Gamma On définit la fonctionΓd’Euler, pour tout réelx >0, par : Z +∞ −t x−1 Γ(x) =dte t 0 −t x−1 I.A –Montrer que la fonctiont→e test intégrable sur]0,+∞[si, et seulement si,x >0. 1 I.B –Justifier que la fonctionΓest de classeCet strictement positive sur]0,+∞[. I.C –ExprimerΓ(x+ 1)en fonction dexet deΓ(x). I.D –CalculerΓ(n)pour tout entier natureln,n>1. II Formulede Stirling Pour tout entierk>2, on pose : Z k uk= lnk−lnt dt k−1 II.A –À l’aide de deux intégrations par parties, montrer que : Z k 1 1(t−k+ 1)(k−t) uk= (lnk−ln(k−1))−dt 2 2 2t k−1 II.B –Pour tout entierk>2, on note : Z k 1 (t−k+ 1)(k−t) wk=dt 2 2t k−1 X Justifier la convergence de la sériewk. k>2 En déduire qu’il existe un nombre réelatel que : 1 lnn! =nlnn−n+ lnn+a+vn 2 +∞ X oùvn=wk. k=n+1 II.C –En utilisant encore une intégration par parties, montrer que : Z Z k k 1dt1dt wk−6 2 3 12k−t6k−1t 1 II.D –En déduire que 1 1 vn−6 2 12n12n puis que : 1 11 lnn! =nlnn−n+ lnn+a+ +O 2 2 12n n 1 Dans la suite on admettra quea= ln(2π)et on pourra utiliser la formule de Stirling : 2 1 11 1 lnn! =nlnn−n+ lnn+ ln(2π) ++O 2 2 212n n
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III L’identitéd’Euler Dans cette partie, nous allons établir l’identité d’Euler suivante : x n!n ∀x >0,Γ(x) =lim(III.1) x(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n) n→+∞ On désigne par(fn)la suite de fonctions définies sur]0,+∞[par : n>1 n t x−1 1−tsit∈]0, n[ n fn(t) = 0sit>n et on définit pour tout réelx >0les suites(In(x))n>1et(Jn(x))n>0par : Zn n t x−1 In(x) =1−t dt n 0 Z 1 n x−1 Jn(x) =(1−t)t dt 0 III.A –Montrer que pour tout entiern,n>1, la fonctionfnest continue et intégrable sur]0,+∞[. III.B –Montrer que, pour toutx >0, limIn(x) = Γ(x) n→+∞ III.C –Montrer que, pour tout entiern,n>0, n+ 1 ∀x >0, Jn+1(x) =Jn(x+ 1) x III.D –En déduire que, pour toutx >0, n! Jn(x) = x(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n−1)(x+n) III.E –Établir l’identité d’Euler (III.1). IV Uneintégrale à paramètre Dans toute la suite, on définit une fonctionhsurRpar h:R−→R u−→7u−[u]−1/2 où la notation[u]désigne la partie entière deu. IV.A –Dessiner soigneusement le graphe de l’applicationhsur l’intervalle[−1,1]. IV.B –Montrer que la fonctionHdéfinie surRpar : Z x H(x) =h(t)dt 0 1 est continue, de classeCpar morceaux et périodique de période 1. IV.C –À l’aide d’une intégration par parties, justifier, pourx >0, la convergence de l’intégrale suivante : Z +∞ h(u) du u+x 0 h(u) IV.D –L’applicationu→−7est-elle intégrable surR+? u+x IV.E –Soitϕl’application définie pour toutx >0par : Z +∞ h(u) ϕ(x) =du u+x 0 1 En reprenant l’intégration par parties de laquestion IV.C, démontrer que l’applicationϕest de classeCsur ∗ Ret que pour toutx >0, + Z +∞ h(u) 0 ϕ(x) =−du 2 0(u+x)
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V Uneautre identité due à Euler Nous allons maintenant établir une autre formule importante due à Euler, valable pour toutx >0: Z +∞ √ 1h(u) ln Γ(x+ 1) =x+ lnx−x2+ lnπ−du 2x+u 0 oùhest l’application définie à lapartie IV. On fixe doncx >0et pour tout entier natureln, on définitFn(x)par : x+1 n!n Fn(x) = ln (x+ 1) (x+ 2). . .(x+n+ 1) V.A –Montrer que pour tout entier natureli: Z Z x+i+1i+1 u−i−1 lnt dt= ln(x+i)−du u+x x+i i V.B –En déduire que : Z n+1 h(u) Fn(x) =Gn(x)−du u+x 0 où 3 1 Gn(x) = lnn! + (x+ 1) lnn−x+n+ ln(x+n+ 1) +n+ 1 +x+ lnx 2 2 V.C – V.C.1)En utilisant la formule de Stirling, montrer que : √ 1 limGn(x) =x+ lnx−x2+ lnπ n→+∞ 2 V.C.2)En déduire que : Z +∞ √ 1h(u) ln Γ (x+ 1) =x+ lnx−x2+ lnπ−du 2u+x 0 V.D –Montrer que pour tout réelxstrictement positif, Z 0+∞ Γ (x+ 1)1h(u) = lnx+ +du 2 Γ (x2+ 1)x 0(u+x) VI Distributionde Bolzmann VI.A –Soientε1,ε2,ε3,ε4quatre nombres réels strictement positifs deux à deux distincts et deux nombres réels strictement positifsEetN. SoitΩla partie, supposée non vide, formée des quadrupletsx= (x1, x2, x3, x4) 4 deRvérifiant : + x1+x2+x3+x4=N ε1x1+ε2x2+ε3x3+ε4x4=E 1 4 VI.A.1)Soitfune fonction de classeCsurR. + Montrer quefadmet un maximum surΩ. On note alorsa= (a1, a2, a3, a4)∈Ωun point en lequel ce maximum est atteint. VI.A.2)Montrer que si(x1, x2, x3, x4)∈Ωalorsx3etx4peuvent s’écrire sous la forme x3=ux1+vx2+w 0 00 x4=u x1+v x2+w 0 0 où l’on donnera explicitementu,v,u,ven fonction deε1,ε2,ε3,ε4. VI.A.3)En supposant qu’aucun des nombresa1,a2,a3,a4n’est nul, déduire que ∂f ∂f∂f 0 (a) +u(a) +u(a) = 0 ∂x1∂x3∂x4 ∂f ∂f∂f 0 (a) +v(a) +v(a) = 0 ∂x2∂x3∂x4
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40 0 VI.A.4)Montrer que le sous-espace vectoriel deRengendré par les vecteurs(1,0, u, u)et(0,1, v, v)admet un sous-espace supplémentaire orthogonal engendré par les vecteurs(1,1,1,1)et(ε1, ε2, ε3, ε4). VI.A.5)En déduire l’existence de deux réelsα,βtels que pour touti∈ {1,2,3,4}on ait ∂f (a) =α+βεi ∂xi 4 x ,x ,x)deRpa VI.B –On définit la fonctionFpour toutx= (x1,+2 3 4r 4 X F(x1, x2, x3, x4) =−ln Γ(1 +xi) i=1 On suppose qu’il existeN= (N1, N2, N3, N4)∈Ω, les nombresN1, N2, N3, N4étant tous les quatre non nuls, tel que maxF(x) =F(N) x∈Ω Montrer l’existence de deux nombres réelsλetµvérifiant pour touti∈ {1,2,3,4}: Z +∞ 1h(u) lnNi+ +du=λ+µεi 2 2N i0(u+Ni) VI.C –Pour touti∈ {1,2,3,4}, on pose Z +∞ 1h(u) θ(Ni) =+du 2 2Ni0(u+Ni) VI.C.1)Montrer que pour touti∈ {1,2,3,4} 1 0< θ(Ni)< Ni VI.C.2)Montrer l’existence d’un réelKstrictement positif tel que pour touti∈ {1,2,3,4} µεi−θ(Ni) Ni=Ke e
Commentaire Les calculs précédents interviennent dans la modélisation de gaz de particules :1, . . . , 4correspondent à quatre niveaux différents d’énergies etN1, . . . , N4aux nombres de particules qui se trouvent respectivement au niveau 1, . . . , 4(pour un total deNparticules et une énergie totaleE). Sous réserve d’équiprobabilité des répartitions, la probabilité d’tre dans la configuration(x1, x2, x3, x4)est donnée parN!/(N1!N2!N3!N4!). En mécanique statistique, on pose comme principe que les particules vont se répartir de manière à ce que cette P 4 probabilité soit maximale. Cela revient à chercher la répartition qui maximise la somme−ln(Ni!), assu-i=1 jettie aux conditions deVI.A. Il découle alors du dernier résultat établi dans le problème, laloi de répartition µ(εj−εk) de Bolzmann, à savoir que pour tousj,k,j6=k, siNjetNksont assez grands :Nj/Nk'e. D’autre part, un calcul utilisant conjointement la formule de Bolzmann donnant l’expression statistique de l’entropie S=−kBln(N!/(N1!∙ ∙ ∙N4!))et la relationdS=dE/T(pour une transformation à volume constant) permet d’établir queµ=−1/kBT.
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