Année Universitaire
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Année Universitaire 2011-2012 Licence d'Économie - 2e année Probabilités-Statistiques S3 Feuille d'exercices no 4 Exercice 1 Soit a > 0 et f la fonction définie par f .x/ D ( K si x 2 Œ0; a?, 0 sinon. 1) DéterminerK pour que f soit la densité d'une variable aléatoire continue X . 2) Calculer alors E.X/ et Var.X/. Exercice 2 SoitK 2 R et f la fonction définie par f .x/ D ( K C x2 si x 2 Œ1; 1? 0 sinon 1) Montrer que f est la densité de probabilité d'une variable aléatoire réelle X pour une valeur de K à déterminer. 2) Calculer la fonction de répartition F.x/ de X . 3) En déduire la probabilité P.0;5 < X < 0;5/. 4) Calculer l'espérance et la variance de X . 5) Déterminer deux réels a et b de sorte que pour Y D aX C b on ait E.Y / D Var.Y / D 1. Exercice 3 PourK 2 R, on considère la fonction f WR ! R définie par f .x/ D 8 < : Kex si x > 1, x si x 2 Œ0; 1?, 0 si x < 0 1) DéterminerK pour que la fonction f soit la densité fX d'une variable aléatoire continue X .
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Année Universitaire 2011-2012 Licence d'Économie - 2e année Probabilités-Statistiques S3 Feuille d'exercices no 4 Exercice 1 Soit a > 0 et f la fonction définie par f .x/ D ( K si x 2 Œ0; a?, 0 sinon. 1) DéterminerK pour que f soit la densité d'une variable aléatoire continue X . 2) Calculer alors E.X/ et Var.X/. Exercice 2 SoitK 2 R et f la fonction définie par f .x/ D ( K C x2 si x 2 Œ1; 1? 0 sinon 1) Montrer que f est la densité de probabilité d'une variable aléatoire réelle X pour une valeur de K à déterminer. 2) Calculer la fonction de répartition F.x/ de X . 3) En déduire la probabilité P.0;5 < X < 0;5/. 4) Calculer l'espérance et la variance de X . 5) Déterminer deux réels a et b de sorte que pour Y D aX C b on ait E.Y / D Var.Y / D 1. Exercice 3 PourK 2 R, on considère la fonction f WR ! R définie par f .x/ D 8 < : Kex si x > 1, x si x 2 Œ0; 1?, 0 si x < 0 1) DéterminerK pour que la fonction f soit la densité fX d'une variable aléatoire continue X .
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Annèe Universitaire 2011-2012
e Licence d’Èconomie - 2annèe Probabilitès-Statistiques S3 o Feuille d’exercices n4
Exercice 1 Soita > 0etfla fonction dÉfinie par ( K f .x/D 0
six2Œ0; a, sinon.
1)DÉterminerKpour quefsoit la densitÉ d’une variable alÉatoire continueX. 2)Calculer alors E.X /et Var.X /.
Exercice 2 SoitK2Retfla fonction dÉfinie par ( 2 KCx f .x/D 0
six2Œ1; 1 sinon
1)Montrer quefest la densitÉ de probabilitÉ d’une variable alÉatoire rÉelleXpour une valeur deK À dÉterminer. 2)Calculer la fonction de rÉpartitionF .x/deX. 3)En dÉduire la probabilitÉP .0;5 < X< 0;5/. 4)Calculer l’espÉrance et la variance deX. 5)DÉterminer deux rÉelsaetbde sorte que pourYDaXCbon ait E.Y /DVar.Y /D1.
Exercice 3 PourK2R, on considÈre la fonctionfWR!RdÉfinie par 8 x ˆKe six > 1, < f .x/Dxsix2Œ0; 1, ˆ : 0six < 0 1)DÉterminerKpour que la fonctionfsoit la densitÉfXd’une variable alÉatoire continueX. Rap-peler les propriÉtÉs defX. 2)Calculer l’espÉrance E.X /et la variance Var.X /deX. 3)DÉterminer la fonction de rÉpartitionFX.x/deXen fonction dex. 4)Calculer les probabilitÉs suivantes : P .X60/ P.X62/ P.0 < X62/
Exercice 4 On considÈre la variable alÉatoire continueXdont la densitÉ est reprÉsentÉe ci-dessous :
1)VÉrifier que le graphe ci-dessus correspond bien À une densitÉ. 2)DÉterminer graphiquement les probabilitÉs suivantes : a)P .X60/ b)P .X>3/ c)P .26X63/ d).P .16X62/ 3)DÉterminer graphiquement la valeur de l’espÉrance deX. 4)Expliquer pourquoiXest nÉcessairement plus petit que1:5. 5)DÉfinir (À partir du graphique) l’expression de la densitÉ deX(c’est-À-dire, donner l’expression de fX.x/) et calculer l’espÉrance deX.
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Èlèments de correction
Exercice 4 1)On voit que la courbe est continue, sauf en un nombre fini de points (0,1,2et3), il est de de mme pourfX. La courbe est au-dessus de l’axe desx, doncfXest positive. Finalement, l’intÉgrale defX entre1etC1est Égale À l’aire des deux « rectangles », soit0:5.10/C0:5.32/D1. 2) a)P .X60/D0car la densitÉ est nulle sur pourt <0. b)P .X>3/D0car la densitÉ est nulle pourt >3. c)P .26X63/D0:5qui correspond À l’aire du « rectangle » de droite. d)P .16X62/D0car la densitÉ est nulle pour< 21 < t. 3)la densitÉ est symÉtrique par rapport ÀtD1:5. On a donc E.X /D1:5. 4)La variableXprend des valeurs comprises entre0et3. Son espÉrance Étant Égale À1:5, on a donc jXE.X /j61:5. D’oÙX61:5. 5)On a 8 0si0t < ˆ0:5si< 10 < tZ Z <1 3 fX.t /D0si1 < t< 2E.X /D0:5 tdtC0:5 tdtD0:25C1:25D1:5 0 2 0:5si2 < t< 3 ˆ : 0si3t >
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