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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Année Universitaire 2011-2012 Licence d'Économie - 2e année Probabilités-Statistiques S3 Feuille d'exercices no 5 Exercice 1 Une machine industrielle fonctionne en moyenne 10 000 heures sans panne. On suppose que la durée T de fonctionnement sans panne suit une loi exponentielle. 1) Déterminer la valeur du paramètre de la loi exponentielle. 2) Quelle probabilité a cette machine de fonctionner correctement pendant au moins 5 000 heures ? pendant au moins 7 500 heures ? entre 5 000 et 7 500 heures ? Exercice 2 Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres D 8 et D 3. En utilisant la table de la loi normale, calculer : P.X 6 8/ P.X > 12/ P.X 6 4/ P.6 6 X 6 10/ Exercice 3 Le graphique ci-dessous représente les densités de deux variables aléatoires X et Y suivant chacune une loi normale. 0 2 4 6-2 8 10 12-4 0.2 0.4 14 f X f Y 1) Evaluer (graphiquement) les espérances de X et de Y . 2) Evaluer (graphiquement) l'écart-type Y de Y . 3) Comparer (graphiquement) les écarts-types de X et de Y . 4) Que pouvez-vous dire des probabilités P.

loi normale

probabilités-statistiques s3

coût de construction

moyenne théorique

feuille d'exercices no

consommation réelle

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Loi normale

Annèe Universitaire 2011-2012

e Licence d’Èconomie - 2annèe Probabilitès-Statistiques S3 o Feuille d’exercices n5

Exercice 1 Une machine industrielle fonctionne en moyenne 10 000 heures sans panne. On suppose que la durÉe Tde fonctionnement sans panne suit une loi exponentielle. 1)DÉterminer la valeur du paramÈtre de la loi exponentielle. 2)?Quelle probabilitÉ a cette machine de fonctionner correctement pendant au moins 5 000 heures pendant au moins 7 500 heures ? entre 5 000 et 7 500 heures ? Exercice 2 Soit X une variable alÉatoire suivant la loi normale de paramÈtresD8etD3. En utilisant la table de la loi normale, calculer : P .X68/ P.X>.X12/ P64/ P.66X610/ Exercice 3 Le graphique ci-dessous reprÉsente les densitÉs de deux variables alÉatoiresXetYsuivant chacune une loi normale.

1)Evaluer (graphiquement) les espÉrances deXet deY. 2)Evaluer (graphiquement) l’Écart-typeYdeY. 3)Comparer (graphiquement) les Écarts-types deXet deY. 4)Que pouvez-vous dire des probabilitÉsP .Y60/etP .Y>12/? 5)Que pouvez-vous dire des probabilitÉsP .X60/etP .X>12/?

Exercice 4 On a observÉ que la vitesseXdes automobilistes sur un axe principal d’une grande ville suit une loi normaleN.50; 10/. 1)Donner l’espÉrance et l’Écart-type deX. 2)Quelle est la probabilitÉ que la vitesse d’un automobiliste soit a)supÉrieure À 55 km/h ? b)infÉrieure À 40 km/h ? c)comprise entre 45 et 55 km/h ? 3)En prÉvision d’un contrÔle radar, quelle doit tre la vitesse maximale tolÉrÉe aﬁn de ne pas verbaliser plus de 15 % des conducteurs ?

Exercice 5 Un entrepreneur doit nÉgocier un contrat de construction À long terme. Le revenuRpromis À l’entre-preneur est de 1 000 000€. Le coÛt de la constructionXne peut tre connu avec prÉcision sur le long terme, mais l’entrepreneur estime queX000suit une loi normale de moyenne 850€et d’Écart-type 170 000€. Le contrat sera proﬁtable (pour l’entrepreneur) si le revenu promis excÈde le coÛt de construction. 1)Quelle est la probabilitÉ que ce contrat soit proﬁtable ? 2)Quelle est la probabilitÉ que le projet se solde par un dÉﬁcit de plus de 50 000€pour l’entrepreneur ? 3)A la vue des rÉsultats prÉcÉdents, l’entrepreneur souhaite renÉgocier le contrat. Quel revenuRl’en-trepreneur doit-il nÉgocier pour qu’il ait une propabilitÉ de 99 % de faire un proﬁt ?

Exercice 6 Un constructeur automobile annonce pour son nouveau modÈle de vÉhicule une consommation moyenne (en mode mixte) de 5.5 litres/100 km, mais il admet que dans 5 % des cas, cette consommation peut tre supÉrieure À 6.5 litres/100 km. On suppose que la consommation (rÉelle)Xsuit une loi normale. 1)Quelle est l’espÉrance deX? 2)DÉterminer la variance deX. 3)Calculer la probabilitÉ que la consommation rÉelle soit infÉrieure À 5 litres. 4)Calculer la probabilitÉ que la consommation rÉelle soit comprise entre 5 et 6.5 litres.

Èlèments de correction Exercice 4 On aX ,!N.50; 10/. 2 2 1)On a E.X /DD50et Var.X /DD10D100. 2)En utilisant la table de la loi normale centrÉe rÉduite, on trouve :  a)P .X> 55/D1P .X655/D1P .X6.5550/=10/D1P .N.0; 1/60:5/D 10:6915D0:3085.   b)P .X640/DP .X< .4050/=10/DP .X<1/D1P .N.0; 1/< 1/D10:8413D 0:1587.   c)< 55/P .45< XDP .X655/P .X645/DP .X60:5/P .X60:5/DP .X6   0:5/.1P .X60:5/D2P .X60:5/1D20:69151D0:383.  3)On cherchexmaxde sorte queP .X> xmax/D0:15. D’oÙP .X6.xmax50/=10/D0:85. Donc .xmax50/=10Dz0:85D1:04etxmaxD50C1:0410D60:4. Exercice 5 On sait queX ,!N.850000; 170000/.  1)< 1000000/P .XDP .X< 0:8823/D0:8196.  2)P .X> 1050000/D1< 1050000/P .XD1.X <1:176/D10:88D0:12. 3)On veut que< R/P .XD0:99. D’oÙ R850000 R850000 P .X< /D0:99HD)2:33H)RD1246100 170000 170000 Exercice 6 1)L’espÉrance deXcorrespond À la moyenne thÉorique, soit E.X /D5:5. 2)On sait queP .X> 6:5/D0:05. D’oÙ    X5:5 6:55:5 1  P .X66:5/D0:95”P6D0:95”P X6D0:95   2 Donc1=Dz0:951:645. Ainsi1=1:645D0:6079et Var.X /D0:3695. 3)La probabilitÉ que la consommation rÉelle soit infÉrieure À 5 litres estP .X65/. On a   55:5   P .X65/DP X6DP .X60:82/D1P .X60:82/10; 7939D0:2061 0:6079 4)La probabilitÉ que la consommation rÉelle soit comprise À 5 et 6 litres estP .56X66/. On a P .56X66:5/DP .X66:5/P .X65/D0:950:2061D0:7439

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