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Olivier Garet

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Annee universitaire 2010-2011 UNIVERSITE DE NANCY 1 Olivier GARET Modeles probabilistes sur reseaux (Master 2eme annee – cours specialise)

theoreme de holley

loi du processus canonique

famille des evenements invariants

application aux chaınes de markov

systeme dynamique

theoreme du retour

processus stationnaire

Voir

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Annee

universitaire2010-2011

UNIVERSIT E DE NANCY 1

Olvier GARET

Mode`lesprobabilistessurerseaux (Master2`emeanene{courssepcialies)

Version

decembre

2010

6:56

i.................................................................................................................................

2 5

Tabledesmatie`res

Tabledesmati`eres 1Tehore`mesergodiques 1.1Deﬁnitions.............................1 111 mesures invariantes, fonctions invariantes . 1 112 ergodiciet, melange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4sous-additiviet . 113 1.2Letehor`emeergodiqueetletehor`emeergodiquesous-additif 121 Un lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 122Theor`emedeBirkhoﬀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 123Theor`emedeKingman..................9 1.2.ehT4reeme`romeditiulemqudigo........snoinnle.11 1.3Applicationauxchna^esdeMarkov...............11 1.3.1Applicationauxchna^esdeMarkov........... 11 1.4Theore`meduretour,syste`meinduit...............15 141Theor`emeduretourdePoincaer.............15 142Syste`meinduit......................16 1.4.ac....emr`eKedT3oe1h . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5Application`alapercolationdepremierpassage........18 2 Couplage, ordre stochastique 2.1Geenraliets............25 211 Ordre stochastique . . . 25 212 Couplage . . . . . . 26 213 Quelques propreiets 27 2.1. contre-exemple4 Un. . . . . . . . . . .29 2.2 Dynamiques markoviennes monotones . . . . 30 2.2.1 Processus de naissance et de mort . . . . 31 2.3Applications`alapercolation.........32 231 Transition de percolation . 32 2.3. 34 . . . . de Russo .2 Formule

................................

Versiondu2decembre2010a`6:56

4 1

Quelques outils utiles 31 L’argument de modiﬁcation . . 41 32 La technique de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 .qutithe:toesasch’lrurdroteR3sruoann-honmt-ScggteediLe`emero 3 Stacey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4Tehor`emedeHolley{IengalietsFKG 241Theore`medeHolley... 242IengalietFKG..... 2.4.sso3Uneinegalite`alaRu

. 35 . 35 7 3 . . 9 3

M12D545LE1MI5K5L

..............................................

Chapitre 1

Theore`mesergodiques

1.1Denitions 1.1.1mesuresinvariantes,fonctionsinvariantes Onappellesyst`emedynamiqueunquadruplet(ΩνFνPν Ω(u`)oνFνP) est un espace probabilies etune application mesurable de (ΩνF) qui perserve la mesurePerequa`ide’tsc,

∀ε2 FP( Λ(ε)=P(ε)µ On dira aussi que la mesurePest invariante par Exemple fondamental : si (Kn)n2> stationnaire in-est un processus erel deexparI=ZouN, alors (>νB(R>)νPBν amynueiq,utsn)semedesy`t R o`uecalageusuel:(stepo’lareruetdedf)n=fn+Λ. On rappelle que si nest l’operateur de projection canonique de projection deR>surR, on a Δn= net la loi du processus canoniquen n2>ousPBest exactement ( ) s la loi du processus (Kn)n2>sousP. Inversement, si (ΩνFνPν etiqueynamemedsnut`tsyse)Tune fonction mesurable quelconque de (ΩνF) dans (RνB(R), le processusT(kkN λ) est 2 stationnaire. Siest inversible, alors le processusT(kλ)k2Zest encore un processus stationnaire. Onditqu’uneevnementεnituarnvese`tsΩ(emtnaiysudνFνPν ) si (ε Λ(ε)ntlevauieqeeri`iseu`d,mena0=o,1ω=1ωPp.s.La familledesevenementsinvariantsformeunetribu(laisesenexercice),que l’on note souventI. On dit qu’une application mesurableTde (ΩνF) est invariante siT= Trseapaitnvnranoisn-ctiesfoenst^.uLreesmqeusont exactement les Ppr fonctionsI-mesurables.

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