Annee Algebre lineaire Fiche n Matrices Determinants Systemes
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Rouen Mathematiques L1 MIEEA Annee 2010-2011 Algebre lineaire. Fiche n?5. Matrices, Determinants, Systemes. MATRICES 1. Soit E un R-espace vectoriel de dimension 5 et soit B = (e1, e2, . . . , e5), une base de E. (1) Soit f l'endomorphisme dont la matrice dans la base B est MBB(f) = ? ? ? ?? ? ? ? 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ? ? ? ?? ? ? ? . Determiner l'image de f et son noyau. Donner une base de Im f et de Ker f . 2. Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3, et soit f un endomorphisme de E nilpotent d'ordre 3, c'est-a-dire f ?f = 0 et f ? f ? f = 0. (1) Montrer qu'il existe x0 ? E tel que B = (x0, f(x0), f ? f(x0)) soit une base de E. (2) Determiner la matrice MBB(f) de f dans la base B. (3) Determiner les endomorphismes g qui commutent avec f .
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Universite de Rouen Mathematiques L1 MIEEA Annee 2010-2011 Algebre lineaire. Fiche n?5. Matrices, Determinants, Systemes. MATRICES 1. Soit E un R-espace vectoriel de dimension 5 et soit B = (e1, e2, . . . , e5), une base de E. (1) Soit f l'endomorphisme dont la matrice dans la base B est MBB(f) = ? ? ? ?? ? ? ? 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ? ? ? ?? ? ? ? . Determiner l'image de f et son noyau. Donner une base de Im f et de Ker f . 2. Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3, et soit f un endomorphisme de E nilpotent d'ordre 3, c'est-a-dire f ?f = 0 et f ? f ? f = 0. (1) Montrer qu'il existe x0 ? E tel que B = (x0, f(x0), f ? f(x0)) soit une base de E. (2) Determiner la matrice MBB(f) de f dans la base B. (3) Determiner les endomorphismes g qui commutent avec f .
- matrice inverse
- calculer det
- b2 c2
- ?3 ?3
- ?i ?i
- calculer p?1 par la methode de gauss-jordan
- rang des matrices complexes
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TD 5
Algorithmique Rappeldeprobabilit´e: Deux´eve´nementsE1etE2sont ditsind´sdantepenpaorsliil´tabibsdleueeqivrrxaeueˆmnetneem temps est Pr[E1∩ E2] = Pr[E1]×Pr[E2]. Danslecasleplusge´ne´ralo`uE1etE2rimeseas´nceptsaantspendnd´eenti:ano,nones
Pr[E1∩ E2] = Pr[E1|E2]×Pr[E2] = Pr[E2|E1]×Pr[E1],
ou`Pr[E1|E2r´esentelaper]litie´ocdntioinnleelprobabdeE1e´nndontta´eE2. Quand on a un ensemble d’e´v´enementsnonne´cessairementinde´pendants,ona:
k k−1 E] = P Pr[∩i=1ir[E1]×Pr[E2|E1]×Pr[E3|E1∩ E2]. . .Pr[EkE| ∩i]. i=1
Exercice 1:Coupe minimale dans un graphe SoitGntve´eecenemllueueisulpteteˆrasrapheungrect´conn-nro,eone´vaeitnsentrelesnsommets. UnecoupeCdansGtuesnsneblem’aedteˆruqseoisiselnve,ene`lGdevient non-connexe. Unecoupe minimaleutsenadiarecedupconeamepamixnureuoceesletmila.eeLil´tmeniedetrouvprobl`em NP-complet. L’id´eedel’algorithmeestdechoisiruniform´ementuneareˆteetdefusionnerlesdeuxsommets enunseulsommetenmettantsurcesommetlesarˆetesquiarrivaientauxdeuxsommetsinitiauxet enenlevantlesboucles.Onappellecetteope´rationunecontraction.Oegrapheˆmmeselivnioqteu initialn’avaitqu’uneseuleareˆteentrechaquesommet,legrapheayantsubiunecontractionpeut encontenirauplusdeux.Ceprocessusdiminued’uneunite´lenombredesommets.L’algorithme effectuedescontractionsjusqu’`acequelenombredesommetssoite´gal`a2etretournecommevaleur lenombred’arˆetesentrecesdeuxpoints.
1.Montrerqu’unecontractiond’areˆtenediminuepaslavaleurd’unecoupeminimalesionn’enl`eve pasd’areˆted’unecoupeminimale. 2. Soitkla valeur d’une coupe minimale. Montrer queGa au moinskn/.seteˆra2 3. SoitEienv´´el’entdenemdeˆetehciopesaenraisurC`alair1,pout-aip`eeme´e≤i≤n−2. (a) Montrerque Pr[E1]≥1−2/n. i−1 (b) Montrerque Pr[E2|E1]≥1−2/(n−[1)etqenPrue´nrelameptulgse´Ei|∩ Ej]≥1−2/(n−i+1). j=1 2 (c)Montrerquelaprobabilit´etrouverunecoupeminimaleparceproc´ed´eestaumoins. n(n−1)
4.Montrercommentobtenirunalgorithmedontlaprobabilite´d’e´checsoit<1/eet donner sa complexit´eo`ueonSin.ieerp´´eenmhtiragoludesabaestltechecsoilit´ed’´paorabibevtuuqle aussi petite que l’on veut, par exemple 1/nqu,tlesleelxelpmoca?e´ti
Exercice 2:Curetlˆottiviarsnusgndenaphrae 1. Rappelerl’algorithme de Floyd-Warshall pour calculer la distance minimale entre tout couple de sommetsetdonnersapreuveetsacomplexit´e. 3 2.Montrerqu’ilpermetdecalculerlaclˆoturetransitiveenΘ(n) en temps. 3.Montrerques’ilexisteunalgorithmequicalculelacloˆturetransitived’unematricen×nenA(n) additions,multiplicationsd’e´le´mentsd’unsemi-anneauetsiA(3n)≤c∙A(ne´rnle)pouruc >0 et toutnentier positifs, alors il existe un algorithme de multiplication avecM(n) =O(A(n)) additions et multiplications. 4. Montrerque si le produit de deux matricesn×nen´eullccareetpueˆtM(n) additions et mul-tiplications et si 4∙M(n/2)≤M(n) etM(2n)≤c∙M(n) pour uncet toutnallcoˆuter,arslo transitive se calcule enA(n) =O(M(n)) additions et multiplications. 5.Montrerquelesemi-anneauboole´enB= ({0,1},∨,∧,0,1) n’est pas un anneau. log 72 6. SoitAetBdeux matricesn×nullcenereptuesacpeorudtieennes.Lbool´eO(n∙(logn=) ) 2.82 O(ne.terutoˆlvitisnar,ainireselacsiquretao)´pibanoisn
Exercice 3:Distance minimale entre tout couple de sommets Soitungraphenon-orient´e,connect´e,avecunensembledesommetsV={1, . . . , n}et|E|=m areˆtesdepoidsunitaire.OnnoteAennelacebool´ejda’necartamdecin×netAij=Aji1=ise’tlerˆa ´ (i, j) est dansEe´odnnnosit0enttaEn.A, la matrice des distancesDest une matrice d’entiers positifs telle queDijvaut la longueur du plus court chemin entre le sommetiet le sommetj. Les diagonales deAetDtruocsulsnimehcvenal.Lt0iaeder’d`mtepaehnurgemaxestldespimum entre toute paire de sommets. Le but de cet exercice est de montrer que pour toute paire de sommets le calcul de la plus courte distance (APD) et le calcul d’un plus court chemin (APSP) entre deux sommets, peut se faire en unpeuplusducoˆutMM(n) d’une multiplication de 2 matricesn×nr´eydlo.FhslaW-raomtnoltn 3 commentre´soudreceprobl`emeenΘ(nsecaahtnteetobnrepassercanepasd´rehc`ehcnO.)aelqu 3 multiplication matricielle peut s’implanter plus rapidement qu’enO(n). 0 0 1) SoitG(V, Eapridesemoemstlegr)obteaphe¸alpneunaenutnacnteeetrˆueaqchrei6=j∈V 0 00 quisont`adistance1ou2dansG. On noteraAla matrice d’adjacence deGetDla matrice des 0 plus courtes distances dansG. 2 a) Montrer que siZ=A, alors il existe un chemin de longueur 2 dansGentre chaque paire de sommetsietjsi et seulement siZij>0. De plus, la valeur deZijest le nombre de chemins distincts de longueur 2 entreietj. 0 b)Supposonsquelediam`etredeGsoit au plus 2. Montrer queGest un graphe complet et exprimer 0 dans ce casDen fonction deAetA.
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2)Enge´n´eral,Graerrtiberiatnemavutruoiiandetm`epgrand≤n. a) Montrer alors que pout toute pairei, j∈V, 0 –SiDijest paire, alor sDij= 2Dij. 0 −1 –SiDijest impaire, alorsDij= 2Dij. 0 Onend´eduitquelamatriceDea´eullccveuepacerteˆtDelpsulsei´oedsotsutlaparitnconnaˆı courts chemins. b) Montrer que pour chaque paire de sommets distinctsietjdansG, –Pour chaque voisinkdei,Dij−1≤Dkj≤Dij+ 1. –Il existe un voisinkdeitel queDkj=Dij−1.
c) Montrer que pour chaque paire de sommets distinctsietjdeG, 0 0 D –SiDijest paire, alorskj≥Dipour chaque voisinkdeidansG. j 0 0 –SiDisD≤Dpour chaque voisinkdeidansG. De plus, il existe un voisin jest impaire, alorkj ij 0 0 kdeidansGtel queD <D. kj ij SoitΓ(i) l’ensemble des voisins deidansGetd(ide´egrdeel)isationedd´En.iueralacartce´ir suivante: Pour toute paire de sommets distinctsietjdeG: P 0 0 siD≥D –Dijest paire si et seulementk∈Γ(i)kj ijd(i). P 0 0 –Dijest impaire si et seulement siD dD <(i) k∈Γ(i)kj ij P 0 d) Montrer comment calculerDen utilisant une multiplication matricielle. Remarquez k∈Γ(i)kj queZii=d(i) pour toutipretosopalersuoranglrotimhree´ucrsifpourcalculerD. Analyser sa complexite´entermedemultiplicationmatricielleutilisantlafonctionT(n, δ`o)uδdelt`maietrese du graphe. 3) Pour calculer la matrice des plus courts chemins, on va utiliser une sous-routine BPWM qui calculeunt´emoinduproduitdedeuxmatricesboole´ennes. SoitAetBictrmauxdeolsrelrpdoiutesbool´eeennes.AP=ABest tel quePij= 1 s’il existe un te´moinktel queAik=Bkj= 1. On se propose de chercher un algorithme qui calcule une matrice Wtel queWijrpdoiu.tmo´eduinesnttu a)Supposonsqu’iln’existequ’unseulte´moin.MontrercommentcalculerWen effectuant une seule multiplication matricielle. 2 Ilexisteunalgorithmerandomis´eenO(MM(n) lognnnens.Ocaurpo)laerullcdecirtamiome´tse chercherapasa`construirecetalgorithme. Pourcalculerlespluscourtscheminsentrechaquepairedesommets,onnevapasd´ecrireex-3 plicitement tous les chemins car sinon on peut utiliser un tempsΩ(n).
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