Analyse precisee d'equations semi lineaires elliptiques sur l'espace hyperbolique et
32
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
32
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Niveau: Supérieur
Analyse precisee d'equations semi-lineaires elliptiques sur l'espace hyperbolique et application a la courbure scalaire conforme Erwann DELAY? Universite de Nice-Sophia Antipolis Resume. Au theme de la courbure scalaire conforme sur l'espace hyperbolique nous ap- portons ici une etude fine du comportement asymptotique en toute dimension. Nous traitons toujours d'equations semi-lineaires generales, avant d'appliquer nos resultats au cas particulier de l'equation geometrique. Abstract. Regarding the theme of the conformal scalar curvature on the hyperbolic space, we bring here a study of the fine asymptotic behavior in any dimension. We al- ways deal with general semi-linear equations, before applying our results to the particular case of the geometric equation. Mots-cles : espace hyperbolique, metriques conformes, courbure scalaire, EDP semi-lineaires elliptiques, estimations a priori, comportement asymp- totique, existence, inexistence, sur et sous solutions, methode de continuite 1991 MS Classification : 58G30, 53C21, 35J70, 35B45, 35B40 ?Moniteur-Allocataire MENESR 1
Voir
Analyse precisee d'equations semi-lineaires elliptiques sur l'espace hyperbolique et application a la courbure scalaire conforme Erwann DELAY? Universite de Nice-Sophia Antipolis Resume. Au theme de la courbure scalaire conforme sur l'espace hyperbolique nous ap- portons ici une etude fine du comportement asymptotique en toute dimension. Nous traitons toujours d'equations semi-lineaires generales, avant d'appliquer nos resultats au cas particulier de l'equation geometrique. Abstract. Regarding the theme of the conformal scalar curvature on the hyperbolic space, we bring here a study of the fine asymptotic behavior in any dimension. We al- ways deal with general semi-linear equations, before applying our results to the particular case of the geometric equation. Mots-cles : espace hyperbolique, metriques conformes, courbure scalaire, EDP semi-lineaires elliptiques, estimations a priori, comportement asymp- totique, existence, inexistence, sur et sous solutions, methode de continuite 1991 MS Classification : 58G30, 53C21, 35J70, 35B45, 35B40 ?Moniteur-Allocataire MENESR 1
- espace hyperbolique
- metrique standard de sn?1
- theoreme
- prescriptibilite locale de la coubure de ricci au voisinage de la metrique hyperbolique
- courbure scalaire
- equations semi-lineaires
- vertu du theoreme d'inversion locale
Publié par
Langue
Français
Analysepr´ecis´eed’e´quationssemi-lin´eaires elliptiques sur l’espace hyperbolique et applicationa`lacourburescalaireconforme Erwann DELAY∗ Universit´edeNice-SophiaAntipolis
R´ ´ esume. Auth`emedelacourburescalaireconformesurl’espacehyperboliquenousap-portonsiciunee´tudefineducomportementasymptotiqueentoutedimension. Noustraitonstoujoursd’´equationssemi-line´airesg´en´erales,avantd’appliquernos re´sultatsaucasparticulierdel’e´quationge´om´etrique.
Abstract. Regarding the theme of the conformal scalar curvature on the hyperbolic space, we bring here a study of the fine asymptotic behavior in any dimension. We al-ways deal with general semi-linear equations, before applying our results to the particular case of the geometric equation.
Mots-cl´esrbpehycepaes:,eriserualace´rtqieuloqieum,es,courbsconform EDPsemi-line´aireselliptiques,estimationsa priori, comportement asymp-totique,existence,inexistence,suretsoussolutions,m´ethodedecontinuit´e 1991 MS Classification 53C21, 35J70, 35B45, 35B40: 58G30, ∗Moniteur-Allocataire MENESR
1
E. DELAY
2 1 Introduction SoitBeedtie´elnubauolRnnnseatdnradamelednimu(eidilcueeuqirte´E) et soitρinfieruselafonctiond´Bpar: ρ(x12)=(1− |x|2). Nousutiliseronspourmode`ledel’espacehyperboliquestandardHn(−1) la bouleBmrof:euqirnoceladeetm´mieun H0=ρ−2E. Aud´epartdecetarticleontrouvelefaitsuivant:l’applicationqui,`aune fonctionre´elleveiurse´nfidBrebualscreailadea,cossaleiruoc´mteiruqe conformeHv += (1v)H0, est localement inversible au voisinage dev= 0, lorsqu’onlaconsid`eredansdesespacesfonctionnelsapproprie´s.Leses-pacesenquestion,utilise´sdans[GL],d´ependentd’unparame`trer´eelscar-act´eristiqueducomportementa`l’infinidesfonctionsetdeleursde´rive´es. Rappelons-enlad´efinition:unefonctionu∈Ck,αloc(B) est dans l’espace Λα,ks silaquantit´esuivante,quirepr´esentesanormedanscetespace,estfinie: α: sup[dx−s+|γ||∂γu(x)|] kuks,k=|γ|X≤k x∈B sup min(dx−s+k+α, d−s+k+α +|γ|X=k x,y∈B y)|∂γu(|xx)−−y∂|αγu(y)| x6=y o`udxest la distance euclidienne dexau bord (en l’occurencedx≡1− |x|). Un membre typique de Λsest la fonctionρs. Si4al´mteiruqed´esignelelaplaciendeH0(ode´uqa`lentmbsyeaollipp un covecteurξgelano´,a`tparesenticonv−|ξ|2H0), et siK∈Λ0k,αalefiirev´ minoration stricte suivante: inBfK > s[s−(n−1)] alorsl’ope´rateurdetypeschr¨odinger → 4+K: Λsk+2,α−Λ,αsk estunisomorphisme.Cere´sultatessentielde[GL](p.217),formule´avec K∈C∞(B) mais encore vrai avecK∈Λk0,α, nous sera d’un usage constant ; nousl’invoqueronsci-apr`essouslevocablede”th´eore`med’isomorphismede [GL]”.C’estluiquiintervient(section2)pourd´emontrerquel’application: s v∈Λk+2,α−→Scal(Hv)−Scal(H0)∈Λk,αs
Courbure scalaire conforme surHn(−1)
3
estlocalementinversiblepre`sdevd0=qse`eus∈[0, nic´seVo[.`ailncdo´epr cefaitdede´part. Dans la section 2, nous montrerons que ce fait vient s’imbriquer parfaite-ment`acoˆt´ed’unimportantthe´ore`mederigidit´edeMin-Oo[MO1]dontil acatalyse´unerectificationd’hypothe`se[MO2].Seloncethe´ore`merectifie, ´ dans le cas particulier de la bouleBnem´,siueuqirteHest convenablement asymptotique`aH0ni(pournous`lai’finHvesd`equparece´re´sitnemless > n), alors il est impossible d’avoirScal(H)≥Scal(H0) sauf siHesteiruq´mteios `aH0, auquel casScal(H) =Scal(H0versionlr`esl’inqi´ueecolaiedn.)pa’D plushaut,cere´sultatnetientplusd`eslorsques∈[0, n.[´eorCeth`eme peuteˆtrevucommeunanalogue,enasymptotiquementhyperbolique(o`u l’on ne dispose toutefois pas encore d’une notion convenable demasse), du th´or`emedelamassepositiveenasymptotiquementeuclidien(voire.g.le§. e 3 de Leung [L]). Finalement,cefaitdede´patuspo`´tudierdefac¸onplusglob-r no usse a e alel’application”courburescalaireconforme”,conside´re´edanslesespace Λs, en dimensionn >2 (section 3) etn= 2 (section 4), surBmunie delame´triquehyperboliquestandardH0ntcoevieetermpl´enetU.tedull´e lestravauxante´rieurssurlesujet[AO][CCY][LTY][RRV]danslesquelsle comportementauvoisinagedel’infinin’estpre´cis´equ’`al’rd´Or o re zero. c’estl’´etudeducomportement`al’infiniquiapermisdetesterlavalidit´e duth´eor`emedeMin-Oo[MO2].Au§.5 nous construisons un exemple qui metdirectementenevidenceleslimitesdenotreme´thodelorsquelavaleur ´ duparam`etredepond´erationssesttieeu´horsde l’intervalle prescrit par le the´ore`med’isomorphismede[GL]. Nous avons regro ´ pendice (§.enemtetsnichesqu)6evidocsr´lpm upe en ap absents de [GL]. Indiquons enfin que l’analyse dans les espaces Λsnous permet aussi d’´etudier,dansunautretravailencours,laprescriptibilite´localedela coubure de Riccissul-ererotvqsiienuigyhadelemaeu´aue(sanspperboliq streindrea`laclasseconforme). Mesremerciementsvont`aPhilippeDelanoe¨,quiencadremath`ese`a l’Universit´edeNice,o`ujesuisallocatairederechercheduMENESRdepuis Octobre 1994. Je remercie aussi Maung Min-Oo pour son accueil constructif d’uneversionpre´liminairedecetravail,ainsiqueMarcHerzlichetleReferee de cet article, pour leurs commentaires concernant la masse. Enfin je remer-cieGillesLaschonetFranc¸oisGauteropourleursremarquesetleuramical soutien.
