Analyse Numérique Corrigé du TD6
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee 2008/2009 Analyse Numerique Corrige du TD 6 EXERCICE 1 Matrices diagonales, triangulaires 1.1 Matrices diagonales Soit D = (dii)i=1,...,n une matrice diagonale d'ordre n > 0. Donner une condition necessaire et suffisante pour que D soit inversible. On peut representer D sous forme du tableau suivant : ? ? ? ? ? ? ? ? d11 . . . 0 dii 0 . . . dnn ? ? ? ? ? ? ? ? . Comme det D = n ∏ i=1 dii, on a D inversible ?? det D 6= 0?? dii 6= 0 , ? i = 1, ..., n . 1.2 Matrices triangulaires inferieures Soit L = (lij)i, j=1,...,n une matrice triangulaire inferieure d'ordre n > 0. a. Sous quelle condition necessaire et suffisante L est-elle inversible ? La matrice L peut se mettre sous la forme suivant : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? l11 l21 l22 ... . . . l1i lij lii 0 .
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Universite de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee 2008/2009 Analyse Numerique Corrige du TD 6 EXERCICE 1 Matrices diagonales, triangulaires 1.1 Matrices diagonales Soit D = (dii)i=1,...,n une matrice diagonale d'ordre n > 0. Donner une condition necessaire et suffisante pour que D soit inversible. On peut representer D sous forme du tableau suivant : ? ? ? ? ? ? ? ? d11 . . . 0 dii 0 . . . dnn ? ? ? ? ? ? ? ? . Comme det D = n ∏ i=1 dii, on a D inversible ?? det D 6= 0?? dii 6= 0 , ? i = 1, ..., n . 1.2 Matrices triangulaires inferieures Soit L = (lij)i, j=1,...,n une matrice triangulaire inferieure d'ordre n > 0. a. Sous quelle condition necessaire et suffisante L est-elle inversible ? La matrice L peut se mettre sous la forme suivant : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? l11 l21 l22 ... . . . l1i lij lii 0 .
- elimination de gauss
- ?2 ?2
- n?1 ∑
- systeme triangulaire
- l3 ?
- u2 n?1 u2
- ?? det
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EXERCICE 1 Matrices diagonales, triangulaires
1.1 Matrices diagonales SoitD= (dii)i=1nune matrice diagonale d’ordren >0. Donner une condition ne´cessaireetsuffisantepourqueDsoit inversible. Onpeutrepre´senterDsous forme du tableau suivant :
AnalyseNume´rique Corrige´duTD6
1
d11 ...0 dii 0. . . dnn
n Commedet D=Ydii, on a i=1 Dinversible⇐⇒det D6= 0⇐⇒dii6= 0∀i= 1 n 1.2Matricestriangulairesinf´erieures SoitL= (lij)i j=1nmaneud’orderuere´erieinfalrinaugteirrtcin >0. a.Sousquelleconditionn´ecessaireetsuffisanteLest-elle inversible ? La matriceLmettre sous la forme suivant :peut se ll1121l22 . . .. l1ilijlii0 . . . ln.1lnj lnln−1n−n1−1lnn d’o`ulamatricetriangulaireinfe´rieureLtueprteˆiserep´earect´ac:ar
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Quelestlecoˆutdecetalgorithmeentermesd’op´erationse´le´mentaires(addi-tions, multiplications, divisions) ? Le calcul dey1demande 1 division (div) dans l’algorithme (1.2). Pouriadsnxfie´{1 n}, le calcul deyipar l’algorithme (1.2) requiert 1 division (div), i−1 additions (add) eti−1 multiplications (mult). AutotallecoˆutCLde l’algorithme (1.2) est CL= 1 div +i=nX2(i−1) add + (i−1) mult + 1 div n n−1n−1 = 1 div +X1 div +Xkadd +Xkmult i=2k=1k=1 (n−1)n = 2 add + (n−21)nmult +ndiv Lenombred’op´erationse´l´ementairesCLest de l’ordre den2,i.e.CL=O(n2).
Commelii6= 0∀i= 1 nulose´ral,st`eme(1tiondusyirt1.s)´’ce b1 y1=l11 yi=li1ibi−ij−X11=lijyj∀i= 2 n (1.2)
b.Onsupposequelamatricetriangulaireinf´erieureLest inversible. Soitb un vecteur colonne ayantncomposantes. Donnerunalgorithmequipermetder´esoudrel’´equationd’inconnuey: L y=b (1.1)
lij= 0 sii < j∀i j= 1 n n Puisquedet L=Ylii, on a i=1 Linversible⇐⇒det L6= 0⇐⇒lii6= 0∀i= 1 n
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