Algebre et Geometrie Cours du Marcel Morales
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Algebre et Geometrie Cours du 28-09-05 Marcel Morales E designera un K?espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E Rappels: • Ne pas confondre F sev propre( F 6= 0, F 6= E), et sev propre de l'endomorphisme u. • Lemme des noyaux: Si P (X) = Q1(X)Q2(X) et Q1(X), Q2(X) sont premiers entre eux alors Ker P (u) = Ker Q1(u)?Ker Q2(u) En particulier si ?u(X) = Q1(X)Q2(X) et Q1(X), Q2(X) sont premiers entre eux alors E = Ker Q1(u)?Ker Q2(u) et ausssi mu(X) = m1(X)m2(X) et m1(X),m2(X) sont premiers entre eux alors E = Ker m1(u)?Ker m2(u). • On suppose K = quelconque (preuve seulement si K = lC ou K = IR). Alors u est diagonal- isable si et seulement si son polynome minimal est scinde et a toutes ses racines simples. • On suppose K = quelconque. Alors u est triangularisable si et seulement si son polynome minimal est scinde.
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Algebre et Geometrie Cours du 28-09-05 Marcel Morales E designera un K?espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E Rappels: • Ne pas confondre F sev propre( F 6= 0, F 6= E), et sev propre de l'endomorphisme u. • Lemme des noyaux: Si P (X) = Q1(X)Q2(X) et Q1(X), Q2(X) sont premiers entre eux alors Ker P (u) = Ker Q1(u)?Ker Q2(u) En particulier si ?u(X) = Q1(X)Q2(X) et Q1(X), Q2(X) sont premiers entre eux alors E = Ker Q1(u)?Ker Q2(u) et ausssi mu(X) = m1(X)m2(X) et m1(X),m2(X) sont premiers entre eux alors E = Ker m1(u)?Ker m2(u). • On suppose K = quelconque (preuve seulement si K = lC ou K = IR). Alors u est diagonal- isable si et seulement si son polynome minimal est scinde et a toutes ses racines simples. • On suppose K = quelconque. Alors u est triangularisable si et seulement si son polynome minimal est scinde.
- analogue d'endomorphisme hermitien
- endomorphisme defini par la matrice
- base orthonormee
- racine
- cos ?u
- cos t?
- blocs de taille ≤
- sin ?
- matrice de u1 dans la base b1
Alg`ebreetG´eome´trieCoursdu28-09-05MarcelMorales Edise´rengnuaK−espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme deE Rappels: •Ne pas confondreFsev propre(F6= 0, F6=E), et sev propre de l’endomorphismeu. •SiLemme des noyaux:P(X) =Q1(X)Q2(X) etQ1(X), Q2(X) sont premiers entre eux alors KerP(u) = KerQ1(u)⊕KerQ2(u) En particulier siχu(X) =Q1(X)Q2(X) etQ1(X), Q2(X) sont premiers entre eux alors E= KerQ1(u)⊕KerQ2(u) et ausssimu(X) =m1(X)m2(X) etm1(X), m2(X) sont premiers entre eux alors E= Kerm1(u)⊕Kerm2(u). •On supposeK= quelconque (preuve seulement siK=ClouK=IR). Alorsuest diagonal-isablesietseulementsisonpolynˆomeminimalestscind´eetatoutessesracinessimples. •On supposeK= quelconque.Alorsuemoˆnyltseairtistebaelrasignluonpotsisemenseul minimalestscind´e. •lypoLeuqitlp,e´tcasiremesesintprusci´emilaidivˆnmomeninˆomecarselepoly n1n2nk χu(X) =p1(X)p2(X)...pk(Xcaetenfnrre´ruis´ecotladitiomposse)ctduleibesdχu(X) m1m2mk (ni>0 pour touti) alorsmu(X) =p1(X)p2(X)...pk(Xnneioi)tsopmoce´daltse facteursirre´ductiblesdemu(X) avecni≥mi>0 pour touti. M10 •SiM= alorsχM(X) =χM1(X)χM2(X) etmM(X) = ppcm{mM1(X), mM2(X)} 0M2 •SiF⊂Eest une sev stable parualorsmu1divisemuou´u1est la restriction deu´aF. En particulier siuest triangularisable alorsu1est triangularisable.Siuest diagonalisable alorsu1est diagonalisable •Siuomprneodree´ihmsarleel,pxd’uchoie,esabenirtamaltceeunstMdeudans cette base onpeutd´efinirunmorphismecomplexe˜umetairecntlamˆemayaMdans la base canoniqe n deClu`o’d,χu(X) =χu˜(X) etµu(X) =µu˜(X). ⊥ ⊥⊥ •Dans un ev euclidien, Siuetm´eeritenutsosieu(F)⊂Falorsu(F)⊂F´ouFest ⊥ l’orthogonal deFet ausssiF⊕F=E 4 3)sionCslonerd´idieeuclncavee’psirleceotE=IRmuni de sa base canoniquee1,, e2, e3, e4,u l’endomorphismede´finiparlamatrice: cosθ−sinθ0 0 sinθcosθ0 0 M= 0 0cosγ−sinγ 0 0sinγcosγ ou`θ, γ∈IR. a)Montrer queulreluclaoˆnylopectracameiqstri´eeuedseisomtuneie.C´etru, ses valeurs propres, ses vecteurs propres. Solution:baLacaseninoparmagesonirqueefiire´vedarffiuslincdoONeBunsteequuest uneBON,orl’imagedelabasecanoniqueestdonn´eeparlesvecteurscolonnesdelamatrice MOB.Nuten’iquntmeenrmfolsire´vno,ediparefi
2 22 Nous avonsχu(X) = (X−2 cosθX+ 1)(X−2 cosγXemo+1)LepolynˆX−2 cosθX+ 1 2 a des racines dansIRsi et seulement si−4 sinθ≥0 i.e.siθ=kπ, k∈Z. Siθ= 0 nous avons la racine 1, siθ=πlerquenoad´etailsnsualsiosonavarslusnoaylIsac4nica.1-e au lecteur. 2 b)On suppose queθ=γ6= 0modπ. Montrerqueu−2 cosθu+I= 0. Mθ0 Solution:Dans ce casM= ,avec 0Mθ cosθ−sinθ Mθ= sinθcosθ 2 etsonpolynˆomecaractX) =X−2 cosθXc+ 1, eristique estχMθemmoopecˆnylnem(o’a 2 pasderacinesr´eellesilcoincideaveclepolynomeminimal,d’ou´mu=X−2 cosθX(cf+ 1. 2 rappel) etuaonleelets.’apasdevnpoerrse´lauesrrpu−2 cosθu+I= 0. b-1)Soitx∈E, x6pa´edrenngleieorrntre0.Mo=evtcapec’lseqreux, u(x) est de dimension 2 globalement invariant paru. 2 Solution:La relationu−2 cosθu+I= 0 implique que cet sev est stable paru, il est de dimension deux car sinonxserait une vecteur propre deu. b-2)Montrer que tout sous espace vectoriel propre deEglobalement invariant paru, est de dimension2etdelaformede´critea`laquestionpre´c´edente. Solution:SoitF⊂Eun sev propre stable paru, alors dimF= 1,2 ou 3, Si dimF= 1 alorsFcontient un vecteur propre pouru, ce qui est ⊥ ⊥ ⊥ absurde. SidimF= 3 alors puisqueuietr´eomisnetuseu(F)⊂Fou´Fest l’orthogonal ⊥ deFet dimF= 1, contradiction, donc dimF= 2.Soit maintenantx∈Fnon nul, et on proc´edecommea´laquestionpr´ece´dente. 2 c)On suppose queθ6=γ, θ, γ6= 0modπ. OnposeQ1(u) =u−2 cosθu+IetQ2(u) = 2 u−2 cosγu+I. c-1)Montrer quee1, e2∈KerQ1(u), e3, e4∈KerQ2(u) Mθ0 cosθ−sinθ Solution:Dans ce casMavec= ,Mθ= (resp.pourMγ) 0Mγsinθcosθ (X)χ etsonpolynoˆmecaracteristiqueestχM(X) =χMθMγ(X) =Q1(X)Q2(X), comme c’est uned´ecompositionenpolynoˆmesirr´eductiblesnousavonsmu=χM(X).etun’a pas de valeurspropresr´eelles.EnparticulierQ1(Mθ) = 0, Q2(Mγon.esti0,)=riuqope´a´dnuqal c-2)Montrer que tout sous espace vectoriel propre deEglobalement invariant paru, est soit KerQ1(u) ou KerQ2(u). AttentionLasolutiondonne´eencourse´taitincompl´ete,cherchezl’erreur! Solution:SoitF⊂Epropre, stable paru, alorsmu1divisemuou´u1est la restriction de ua´F, doncmu1(X) =Q1(X) oumu1(X) =Q2(X). Simu1(X) =Q1(X) alorsQ1(u1) = 0 ce qui signifieF⊂KerQ1(u), dimF=entc´emcfor2donF= KerQ1(umeˆmeD.)ies mu1(X) =Q2(X) alorsF= KerQ2(u). 4)Dans cet exerciceK=IR, ouK=Cl. a)Montrer qu’il existe un entier naturelαopyltenueˆnmoP(X), avecP(0)6= 0 tels que: α E= Keru⊕KerP(u) Consid´ererlescasparticuliers. Solution:eedinacrenutse0is,sapuoUolnpoˆnylaemcara0eniχuamclveatie´lpciluitα α nouspouvons´ecrireχu(X) =X P(X) avecP(0)6Remarquez que si 0 n’es pas racine= 0. deχu(X) alorsuest injective, et comme on est en dimension finieuOn trouveest bijective. α lere´sultatparlelemmedesnoyaux.Demˆemesiχu(X) =Xalorsuest nilpotent.
α b)On poseE1= Keruetu1la restriction deu`aE1l’existence d’une base. JustifierB1deE1 tel que la matrice deu1dans la baseB1esirttugnarialevaecdesz´erossurladaioganelo,n note cette matriceM1. α Solution:Dans ce casχu1(X) =Xuesearelayaenutnneciil0,estu,c’nyoˆpnloni´demcs est donc triangularisable surKet il existe une baseB1deE1tel que la matrice deu1dans la baseB1la.e´erossurladiagonrtaietsdeszavecairengul c)ede´DtemenireebunecasveonblnaE, on poseMla mtrice deudans cette base etn= dim (E). 2 n D´efiniruneapplicationcontinueφ:K−→Ktel que φ(0) =M, φ(t)∈GL(n),pour toutt6= 0.
Solution:SoitB2base de KerP(u) etB=B1∪ B2. NotonsM2la matrice deu|KerP(u) M10 dans la baseB2. LamatriceMdeudans la baseBseraMRemarquez que= . 0M2 r χM(X) =X χM2(X) avecr= cardB1, et commeM2est bijectiveχM2(0)6= 0, il en suit que r=α. On pose M1+tIα0 φ(t) = 0M2 α Remarquez queφest continue, detφ(t) =tdetM26= 0 pourt6= 0, et
φ(0) =M, φ(t)∈GL(n),pour toutt6= 0.
Siα= 0,φest constante. d)Montrer queGL(E) est dense dansL(E). Solution:On prenduexilteisitnorpe´´cdeneetf,d’apr´eslaquesonemsihpitcejibnuoromndne 2 n une application continueφ:K−→Ktel que φ(0) =M, φ(t)∈GL(n),pour toutt6= 0. Parde´finitiondelacontinuit´e,pourtout >0 il existeδ >0 tel que si|t|< δalors kφ(t)−φ(0)k< , cela signifie que dans toute boule de centreuet de rayonil y a une infinite´demorphismesbijectifs. 5)Endomorphismes normaux.Dans cet exerciceK=IR, ouK=CletEest soit un espace hermi-tien ou un espace euclidien etuun endomorphime deE.rexfiruoPl`obprlessouenemesorpuopsn K=Cl. Rappelons que: ∗ ∗ •L’adjointudeuest l’unique morphisme tel que:hu(x), yi=hx, u(y)iet siBest une base ∗t orthonorme´edeE, alorsMB(u) =MB(u). ¯ ∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗ •(u+v) =u+v, (uv) =v uetP(u) =P(u).χu(X) =χu(X) etλ∈Spec(u)⇐⇒ ∗ ¯ ∗ λ∈Spec(u). ∗ ∗ •uest normal si et seulement siuu=u u. ∗ •uest hermitien si et seulement siu=u. ∗ ∗ •uest unitaire si et seulement siuu=u u=I. •Siuv=vuspoualoremsnyoˆpslotruoP(X), Q(X) on aP(u)Q(v) =Q(v)P(u). Siuest normal alorsP(unyloptuoemoˆampluotr)sentroP(Xmeˆeem.D)Sisiuest hermitien alors P(uotruoptuˆnylemother)esenpomitiP(X).
