A PHYS I ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES
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Niveau: Supérieur
Tournez s'il vous plaît A 98 PHYS. I ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 1998 PREMIÈRE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) Sujet mis à disposition du concours ENTPE suite à l'arrêté du 09 décembre 1997 Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE I -PC L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 8 pages. · Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. · Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. · Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
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- concours d'entrée
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- source de courant sinu- soïdal d'intensité i0
- résonance paramétrique
- condensateur plan
- tension aux bornes du condensateur
- amplification paramétrique en électronique
A 98 PHYS. I
COLE ÉS NATIOÉCNHOANLLIQEET SUÉN ESAÉSUT CPIOÉORMNIAEMLUUERÉN EEIDSCSE , ASD DTEPIE OLOS' NATTÉÉÉSRL EOÉTCN OCAHMUATMIUQUSUNSIEÉ CEEAST,T EIDSOE NDLS'E,E NSPAANCCEY,, DE TEC AVANC DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT- TIENNE, DES MIN DES COLLE POLYTECHNIQNS DE BÈREE TTASIG)NE, É UE (FILI R
CONCOURS D'ADMISSION 1998 PREMIÈRE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
Sujet mis à disposition du concours ENTPE suite à l’arrêté du 09 décembre 1997
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I -PC
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 8 pages.
· Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
· Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré.
· Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
OSCILLATEURS ET AMPLIFICATEURS PARAMÉTRIQUES
Introduction : facteur de qualité d’un circuit oscillant Le circuit oscillant de la figure 1 est Balimenté par une source de courant sinu-soïdal d’intensitéi0=I02 cos(wt. i0 v(t) CL R ❑ 1Déterminer le maximum de la Avaleur efficaceVde la tensionv aux bor-nes du circuit et la pulsationw0 pour Fig. 1 : circuit oscillantlaquelle cette tension,Vmax, est atteinte. ❑ 2Tracer la courbe de variation deV avec la pulsationw du signal appliqué. Préci-ser la largeur de la courbe de réponse, définie parDw=w1-w2,w1etw2 les pulsa- étant
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OSCILLATEURS ET AMPLIFICATEURS PARAMETRIQUES
tions pour lesquellesV=Vmax. Exprimer, en fonction deL,w0etRlecoefficient de qualité 2 du circuit, défini parQD=ww0. Interpréter qualitativement le résultat obtenu. ❑ 3Application numérique.CalculerZà la résonance pour R10 k,=100 1 etw0=2´106rad.s-.
Oscillation paramétrique Le processus de l’interaction paramétrique est bien connu des enfants qui, sur une balançoire, font varier deux fois par période la distance entre le centre de gravité du pendule (constitué de la balançoire et de l’enfant) et la suspension de la balançoire. Deux fois par cycle (fig. 2), de l’énergie est ainsi fournie au pendule et l’amplitude des oscillations aug-mente. On peut utiliser le même principe pour au contraire arrêter la balançoire : il suffit de synchroniser différemment les oscillations et les variations de distance.
G assis
z
G debout
x
g
Passage parq= 0 ( gauche® droite)
z
assis
x
debout
Passage par dq/ dt= 0
( droite®gauche )
Fig. 2 : modélisation de la possibilité que l’on a d'accroître l'amplitude des oscillations d’une balançoire. Accroupi enq= 0, on se redresse de manière à arriver debout enq=qmax, puis on fléchit les jambes pour arriver accroupi en q = 0, et ainsi de suite. Dans un modèle simplifié, on ne considère que deux positions, représentées par une barre de masse M, de longueur lDen phase (D) et de longueur lAen phase (A). On néglige ainsi les durées de changement de position(A)«(D.
L’amplification paramétrique en électronique a vu le jour dans les années 1950, en liai-son avec la réalisation d’amplificateurs à très bas bruit. L’analogue en est un circuitLC dont la capacité change avec le temps : dans lecircuit à capacité variable représenté à la figure 3, la charge du condensateur,q, circulant dans ce système à l’instanttsatisfait l’équation L CLd2q Cétaient constants(C=C0, a dt2+qC=0; siLet le sys- lors tème oscillerait avec la pulsation proprew0=1. Nous étudions LC 0 Fig. 3 : circuit à capa- dans ce problème les phénomènes reliés à une variation périodique cité variable deC.
· Un exemple simple, traitement qualitatif
On considère un condensateur plan idéal dont on fait varier la capacité selon la loi de
Physique I 1998 ; filière PC
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variation en créneaux périodique donnée par la figure 4 (on peut imaginer un condensateur plan idéal dont on fasse varier la distance entre armatures) :
❑ 1les armatures augmente brutalement chaque fois que la tension La distance entre aux bornes de la capacité,uC(t), est maximale ; elle diminue brutalement lorsque cette tension est nulle. Montrer que ce «pompage conduit à une augmentation de la tension maximale » aux bornes du condensateur et du courant qui le traverse. Représenter sur le même graphe l’allure deC(t) et deuC(t). On pourra supposerq(0-)=q0>0de t dtq0(-)=0. Quelle devrait être l’action de l’opérateur pour que, au contraire, la tension aux bornes du condensateur tende vers 0 ?
-T/2
T
C2
C(t)
C1
O
T/2
T
Fig. 4 : variations en créneaux de la capacité
· Le même exemple simple, traitement graphique élémentaire
t
d2 L’équation différentielle décrivant la charge est dt2q+w2(t)q(t)=0, avec : ì- T<t<0=w12=L1C1ç=æ2 T 1pöø÷2 ï,q(t)=q1(t)w2(t) ï í2è2C1=r2C2, 0<r<1 ï0<t<T,2q t()=q2t()w2(t)=w22=L1C2= æ2T p2ö ïï çè ø÷ î Soient les variables adimensionnéesu=w1tetw1T=U=2a. Soient aussiA,B,CetD les constantes telles que, pour-U2<u<0, la solution s’écriveq1(u)=Acosu+Bsinu et que, pour 0<u<U2, elle s’écriveq2(u)=Ccos(ru)+Dsinr(u. ❑ 2 Anticipant sur l’étude qui sera faite dans les questions (10-15), on admet l’existence d’une constantel 2, réelle ou imaginaire pure, telle que, pourU<u<32U, l’expression deqest
q3(u)=(explU)[Acos(u-U)+Bsin(u-U
[1]
❑ 3 En considérant les continuités de la fonctionq, établir larelation de liaison:
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OSCILLATEURS ET AMPLIFICATEURS PARAMETRIQUES
cosh(2la)=(cosa)cosra-1æçr+1 ÷ ö(sina)sinra 2èrø
[2]
❑ 4 onne les valeurs de L 2lsia=w1Tetr=C1 donnés. Une sont a relation [ ] d2C2 étude graphique permet alors de décrire qualitativement les solutions ; effectuer sommaire-ment cette étude, en s’appuyant sur la figure 5.
Fig. 5 : graphe deF0, 2(a)=c(osa)cos(0 , 2a)-2 , 6(sina)sin(0 , 2a
· Un exemple moins simple, traitement qualitatif
(r=0,
2.
La capacité (fig. 3 et 4) varie selon la loiC1=C10+Csoc1wct, avec C 0<C1. Posant 1 1 y=q,x=2wct,h=LC4wc2= 4wwc022etg=LC41wc2=4wwc221, on obtient la forme canonique 0 de l’équation, dite de Mathieu :
dd2x2y+(h+gcos 2x)y=0
[3]
Supposons le condensateur plan idéal et conçu de telle manière que l’on puisse modifier la distanceeentre ses armatures selon la loie=e0+e1coswct, avece1<<e0 soit S la sur- ; et on ra face commune des armatures : on aC1=e0Seppelle que la force qui s’exerce entre 2 2 les armatures estF=q=q. 2C e2eS ❑ 5 Justifier que les oscillations de la charge dans ce circuit auront une pulsation très voisine dew0; on poseraq»q0cos(w0t+j.
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❑ 6 ExprimerWtravail fourni dans une oscillation par l’opérateur qui produit la, variation de distance et montrer que ce travail ne prend de valeur significative que pour wc=2w0. On donne ìos(a+b)x ïa2 2 ò(sinax)(cosbx+j)dx í=-cos[2(a(a--bb)x)-j]-c[2(a+b)+j]¹b ï ïos 2a j ï -xsinj-c(x+)a=b î2 4a
❑ 7 Décrire les phénomènes selon queW est positif ou négatif. Justifier le nom de résonance paramétrique sindonné au phénomène quand 2jest positif. · Le même exemple moins simple, approche empirique, s’appuyant sur l’étude précédente
L’équation étudiée étant mise sous la forme
2æw12ö2 d2u+w0ç1+w2coswct÷u t()=du+w2(t)u t()=0 dt2è0ødt2
[4]
sachant maintenant que la résonance paramétrique apparaît avec une intensité maximale lorsque la pulsation du terme oscillant de la fonctionw2(t 2est voisine dew0, nous poserons doncwc=2(w0+e, avece<<w0et chercherons la solution sous laforme approchée
u(t)»a t()cos(w0+et)+b t(s)in(w0+et[5] Les fonctionsa(tetb(t sont réputées varier dans le temps bien plus lentement que les facteurs cos et sin. On suppose aussi que ddta dd tebtsont du premier ordre ene, c’est- à-dire que ddatµeadd te btµeb. La validité de cet ensemble d’hypothèses sera confirmée par le résultat. On établit à la suite de ces hypothèses l’équation différentielle suivante :
ö -çæ2 ddat+2be+ww12b÷w 0sin(w0+et)+çæè2 ddtb-2ae+2ww021aø÷öw 0cos(w0+et)=0[6] è20ø ❑ 8 L’égalité [6] exige que les fonctionsa(tetb(t satisfassent un système diffé- rentiel linéaire et homogène ; donner ce système et en déduire que la résonance paramétrique a lieu dans l’intervalle-w12<e<w12autour de 2w0. 4w04w0 · Toujours le même exemple moins simple, approche physico-mathématique, s appuyant sur la symétrie et sur une représentation graphique ’ La fonctionw2t()=w02+w12coswct introduite dans l’équation [4] est périodique de
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OSCILLATEURS ET AMPLIFICATEURS PARAMETRIQUES
période Tc; cette équation est invariante par rapport à la transformationt®t+Tc; siu1t( etu2(t deux solutions linéairement indépendantes sontde [4], alors elles se transforment nécessairement linéairement l’une dans l’autre lorsque l’on remplacetpart+Tc. ❑ 9 Montrer qu’il est généralement possible de choisiru1(tetu2(t telle manière de queu1t(+Tc)=m1u1t(etu2(t+Tc)=m2u2t(, les nombresm alors se comprendre peuvent comme les valeurs propres de l’opérateur translation dans le temps.
t ❑ 10 On poseui(t)=Pi(t)(mi)cT,i=1,2; quelle est la propriété des fonctionsPi(t? ❑ 11noM e qudduqtal é’4[ ]oi n à ptrerr deartitu1u2-u1du2=Cteet en déduire dt
m1m2=1
[7]
❑ 12 Les coefficients de l’équation [4] sont réels ; déduire de ce fait que : soit les coefficients msont l’un et l’autre complexes et de module égal à l’unité, soit les coefficients msont l’un et l’autre réels et inverses l’un de l’autre. (Une manière d’établir ce résultat uti-lise le fait que le couple(m1,m2est identique au couple(m1*,m2*des conjugués). ❑ 13 Pourquoi, dans le second des cas envisagés à la question 12, peut-on affirmer que la position d’équilibre est instable ? Ce phénomène est appelérésonance paramétrique.
Il convient de déterminer les valeurs numériques des coefficientsm à un jeu associés donné de coefficientshetg, tels qu’ils apparaissent dans l’équation [2] ; c’est un problème difficile, dont un résultat partiel est représenté sur la figure 6.
Fig. 6 : Quelquesséparatricesde l’équation de Mathieu ;ge st en abscisse ethen ordonnée ; de cha-que point d’ordonnéean=1, 4,9 ,K,n2,Kde l’axe des ordonnées partent deux courbes. Les points situés à l’intérieur des régions grisées correspondent à des valeurs réelles del( cf. éq. [2]) ; ailleurs,l est imaginaire pur et les solutions restent bornées. Le problème étudie des phénomènes associés au voisinage du point (0,1) du plan.
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La première région d’instabilité a une forme de V, au voisinage du point de coordonnées (1,0) dans le plan(h,g. ❑ 14 En se reportant à la définition deh (et en supposant bien sûrg¹0), montrer que ce cas correspond effectivement à la condition d’amplification paramétriquewc=2w0. Montrer que, sous certaines conditions, le système se comporte comme un oscillateur para-métrique, dont on interprétera les paramètres caractéristiques.
Quelques autres exemples d’oscillateurs paramétriques
❑ 15 Modélisez le système de votre choix de la fig. 7 (fonctionnement en régime forcé). Vous pouvez aussi bien en imaginer un autre.
Fig. 7 : quelques exemples d’oscillateurs mécaniques (d’après L. Brillouin) ; les flè-ches symbolisent un mouvement rectiligne périodique.
Équivalence entre circuit à capacité variable et milieu diélectrique non linéaire Le condensateur des questions précédentes est géométriquement fixe, mais on suppose maintenant que l’espace entre ses armatures est occupé par un diélectrique dans lequel la relation entre le vecteur polarisation électriqueP le champ électrique etE n’est pas linéaire ; les non linéarités se manifestent généralement pour des intensités suffisamment élevées ; dans un modèle unidimensionnel permettant d’éliminer les complications mathé-matiques non essentielles ici, la relation (P,E) peut s’écrire
P=e0cE+bE2
[8]
oùbest un certain coefficient. La relation générale liant les vecteurs inductionDàPet E,D=e0E+P=eE », définit diélectrique la « constantee, du milieu ; cette dernière dépend en réalité du champEete=e(E. ❑ 16 Montrer quee=e01(+c)+bEet exprimer la capacitéC fonction de la dis- en tanceeentre les armatures, la surfaceSde ces dernières, l’intensitéE du champ électrique et les constantese0,cetb. On admettra la relationC=eS. e ❑ 17Donner l’expression de la capacité dans le cas où le champ électrique est modulé selon la loiE= -E0coswct. Établir ensuite l’équivalence entre d’une part le processus paramétrique, où le paramètre d’emmagasinement de l’énergie (la capacité) est
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modulé, d’autre part le processus non linéaire, où les propriétés du milieu dépendent du champ appliqué. Voyez-vous une application possible du phénomène d’amplification paramétrique dans le domaine optique (une suggestion suffira) ?
Généralisation : esquisse de l’étude d’un circuit réel On considère (fig. 8, qui précise les signes) deux circuits résonants de facteurs de qua-lité suffisamment élevés pour que l’on puisse considérer que, excités hors de la réso-nance(L1C1w12=1 etL2C2w22= 1, ils se comportent pratiquement comme des courts-circuits. Ils sont couplés entre eux par une source de tension sinusoïdalee(w3)=E3cos(w3t+j3, avecw3=w1+w2, et un condensateur de capacitéC(u) dépendant de la tension à ses bornes selon la loiC(u)=C3u, ce qui définit le paramètreC3 (la loi de variationC u()=C0+a u E3 serait plus réaliste, mais on ne tient pas compte ici des effets linéaires dus àC0). On suppose que seuls les signaux de pulsationw1,w2etw3 sont présents dans le circuit ; pratiquement, les tensions sont limitées àv1(t)=v(w1)=V1cos(w1t+j1etv2(t)=v(w2)=V2cos(w2t+j2.
v(w1)
G1
L1
i(w1)C(u)
C1
u
i(w2) e(w3)
G2
L2
C2
v(w2)
Fig. 8 :modèle d’amplificateur paramétrique ; pour la source de tension à la pulsationw1 (qui n’a pas été représentée), les courants sont comptés positivement lorsqu’ils remontent les potentiels. ❑ 18Donner sous la formei(wj)=Ijcos(wjt+qj(j=1, 2, les expressions respecti- ves des composantes des courants de pulsationw1etw2traversant le condensateur. ❑ 19 On associe à toute grandeur sinusoïdalex=x0cos(Wt+y sa représentation complexe x=Re[(x0expiy)expiWt]=Re[X0expiWt. l’oscillateur n°1, le reste du Pour I1 circuit peut être décrit par uneadmittance équivalente Y1=. Montrer que le reste du cir-V1 2(C23) cuit présente alors une con égativeY(w1)= -w1wG2 ductance n= -G. Définir de la même manière la conductance vue de l’oscillateur n° 2. ❑ 20Une charge de conductanceGc branchée aux bornes de l’oscillateur n°1 ; est montrer que siG=G1+Gc, les deux oscillateurs oscillent simultanément à leurs fréquences de résonance respectives. FIN DE CE PROBLÈME FIN DE L’ÉPREUVE
