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Niveau: Supérieur
A 2003 Math PSI 2 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2003 EPREUVE DE MATHEMATIQUES DEUXIEME EPREUVE Filiere PSI (Duree de l'epreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis a la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP. Les candidats sont pries de mentionner de fac¸on apparente sur la premiere page de la copie : MATHEMATIQUES 2-Filiere PSI. Cet enonce comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amene a prendre. Premiere partie Soit M l'espace vectoriel des matrices reelles carrees d'ordre 3. Soit C le produit cartesien M?M. Il est admis que cet ensemble est un espace vectoriel reel a l'aide de la loi interne, addition, et de la loi externe, multiplication par un reel, definies par les relations suivantes : La somme de deux elements de C, (P, Q) et (R, S) est l'element (P + R, Q + S) : (P, Q) + (R
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- concours d'entrée
A 2003 Math PSI 2 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2003 EPREUVE DE MATHEMATIQUES DEUXIEME EPREUVE Filiere PSI (Duree de l'epreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis a la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP. Les candidats sont pries de mentionner de fac¸on apparente sur la premiere page de la copie : MATHEMATIQUES 2-Filiere PSI. Cet enonce comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amene a prendre. Premiere partie Soit M l'espace vectoriel des matrices reelles carrees d'ordre 3. Soit C le produit cartesien M?M. Il est admis que cet ensemble est un espace vectoriel reel a l'aide de la loi interne, addition, et de la loi externe, multiplication par un reel, definies par les relations suivantes : La somme de deux elements de C, (P, Q) et (R, S) est l'element (P + R, Q + S) : (P, Q) + (R
- isomorphisme entre le groupe des deplacements de l'espace de la geometrie a?ne euclidienne
- repere orthonorme direct
- espace de la geometrie a?ne euclidienne
- couple de vecteur
- loi de composition interne
- vecteurs ??u
- couple de matrices
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A 2003 Math PSI 2
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Fili`ereTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2003
´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ DEUXIEME EPREUVE Filie`rePSI (Dur´eedel’´epreuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefa¸conapparentesurlapremie`re page de la copie : ´ MATHEMATIQUES2-Filie`rePSI. Cete´nonc´ecomporte4pagesdetexte.
Si,aucoursdel’´epreuve,uncandidatrepe`recequiluisembleeˆtreuneerreur d’´enonc´e,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesqu’ilestamen´ea`prendre.
Premi`erepartie
SoitMtioS.3eseacrre´se’drordesmatricesr´eellapseevecrotcdleil’Cle produitcarte´sienM×M. Ilest admis que cet ensemble est un espace vectoriel re´el`al’aidedelaloiinterne,addition,etdelaloiexterne,multiplicationpar unr´eel,d´efiniesparlesrelationssuivantes: Lasommededeux´ele´mentsdeC, (P, Q) et (R, Sntme´eel’´tles)(P+R, Q+S) :
(P, Q) + (R, S) = (P+R, Q+S). Leproduitd’unr´eelλeledtle´’eme´(ntP, Q(tm)eenel’stl´´eλP, λQ) deC˜:
λ(P, Q) = (λP, λQ). En plus de ces lois de composion, soit∗la loi de composition interne, ap-pel´eeproduit,qui,auxdeuxe´l´ementsdeC, (P, Q) et (R, S) fait correspondre
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l’e´l´ementdeC,(P.R, P.S+Q.R),(P.R, P.SetQ.Rsont respectivement les produits des matricesP, SP, R,etQ, R).
(P, Q)∗(R, S) = (P.R, P.S+Q.R).
L’alg`ebre(C,+, .,∗:˜) 1. Quelleest la dimension de l’espace vectorielC? 2.De´montrerquel’espaceCest uneRe.L’´el´eunitairosictavi`gbeersala-nemet unite´decettealge`breestnote´e. t ´ Etantdonne´l’´el´ement(P, Q) deC,soit (P, Q’l)etdeneml´´eC`eafindi´ t t l’aidedesmatricestranspose´esPetQdes matricesPetQteanivsu:edalafc¸no t tt (P, Q) =P, Q. SoitGenseous-des´mbleemtnlee´sel(sP, Q) deCtels que : ∙la matriceP.1a`lhortnagotoes:eosdne´elidertctest´egaterminan t t ∙les matricesPetQ:itnoerallantfieri´evP.Q+Q.P= 0
3t t G= (P, Q)|(P, Q)∈C, P∈SOR, P.Q+Q.P= 0.
Le groupe G˜: 3.De´montrerquelesous-ensembleGdeCest, pour la loi produit∗, un groupe.
4. SoitHsuossne-lbmesedest(meneel´e´lP,0) du groupeGmont.D´eeuqrer 3 Hest un sous-groupe deGisomorphe au groupeSOR.
5. SoitAlesous-ntmes(´sede´leesneelbmI3, Q) deG(I3est la matrice unite´).
A={(I3, Q)|(I3, Q)∈G}. Est-ce queAest un sous-groupe deG?
6.D´emontrerque,pourqu’un´el´ement(P, Q) deCappraitneena`G, il faut etilsuffitqueled´eterminantdelamatricePio´tsitalnolaretque`a1eegal t (P, Q)∗(P, Q) =eait lieu :
t (P, Q)∈G⇐⇒(P, Q)∗(P, Q) =e,detP= 1.
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Seconde partie
Le but de cette partie est de montrer qu’il existe un isomorphisme entre legroupedesd´eplacementsdel’espacedelage´ome´trieaffineeuclidienneetle groupeG´etsu.edssce-idu´i Dans toute la suite,E3ceevecapsenutseenriept´unarasebirotueledilconei −→−→−→ orthonorme´edirecteB=j ,ki ,produit scalaire de deux vecteurs. Le −→−→−→−→ xetyt´etsonex . y.
Unr´esultatpr´eliminaire: −→ 7 . Soitaun vecteur deE3; soitpl’endomorphisme deE3dans lui-−→ a −→−→−→ meˆmequi,auvecteurx, associe le produit vectoriel des vecteursaetx˜: −→−→−→ −→−→ x−→a∧xest la matrice. QuellePlaa’ppilacitnoase`´ecisopdans la a a baseBdeE3?
8. Soitrune rotation deE3erpompare;comˆemsrtcuexuevruednsdai-lu −→−→ quelconquesxetydeE3les expressions suivantes : −→−→−→−→ r(x∧y), r(x)∧r(y).
−→ 9.De´montrerque,sirest une rotation deE3etaun vecteur deE3, il −→ −→−→ existe un vecteurbdeE3tel que l’endomorphismer◦paco,osmpde´epaet derl’endomorphisme,se´tgelaa`p◦rde´eosmpco,ret dep: −→−→ b b
−→−→ r◦p=p◦r; a b −→ −→ exprimer ce vecteurben fonction du vecteuraet de la rotationr.
Dans toute la suite, soitEtneiee´’´lmsteeaipreaceedal´goedienneorffineeucli ;Eneidilcuelitnoricededeaenffiorievectpaceunestseppusneeuacsp´eostrˆe −→−→−→ orient´eE3. SoitOune origine eti ,j ,konthm´orcoestins-torsievtcuesrro tuant avec le pointOrep`unereOxyzdirect.
D´eterminationd’unedroite`al’aidededeuxvecteursetd’unrepe`re: L’espaceEedirectthonorm´pee`erronudiu’rntmesOxyz; soitDune droite −→ de l’espace affineE,Aun point de cette droite etuun vecteur directeur unitaire de cette droite.
10. SoitMun point quelconque de la droiteDeleuqrerruetcevntmo´e.D −−→ −→−→ v ,otirvtcevssceeltereudegal´oduiauprOMetu ,tniopuantdpendnd´eesti Mde la droiteD: −−→ −→−→ v=OM∧u . −→−→ Comparer les directions des deux vecteursuetv.
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−→−→−→ 11. Soientuetvdeux vecteurs de l’espaceE3tels que le vecteuru −→−→−→−→−→ soit unitaire (u= 1) etvartogohol`nau(u . v= 0).deaiD´eterminer,`al’ −→−→−→−→ des deux vecteursuetu∧v, les vecteursxdeE3nqu´eioated’loisnlotus, suivante :
−→−→−→ x∧u=v .
−→−→ ´ 12.Etantdonn´esdeuxvecteursuetvde l’espaceE3tels que le vecteur −→−→−→−→−→−→ usoit unitaire (uet= 1)vohort`laoganu(u . vtreremon),d´=0li’uq existe une seule droiteDde l’espaceEtelle qu’un vecteur directeur unitaire −→ de la droiteDsoit le vecteuruet que tout pointMdeD´vreralefiilenioat suivante : −−→ −→−→ OM∧u=v . −→−→ 13. Exemple: lesvecteursuetvsneler`pfiein,sadsod´ntereOxyz, par les relations suivantes : −→−→−→ −→−→ u=i;v=b j+c k, ou`betcosdonneelsuxr´ntdes.´eetD´mierrlneordaetiDcorrespondante. −→−→ SoitPle sous-ensemble deE3×E3des couples de deux vecteurs (u ,v) −→−→ tels que le premier vecteurusoit unitaire et le secondvsoit perpendiculaire −→ a`u. ` 14.Aquelleconditionne´cessaireetsuffisantedeuxcouplesdevecteurs −→−→−→−→ (u ,v) et (u´, v´),appaaant`rtenPe´etd,neltmrnidrmeˆeamteoiD? Soitde´dnunemecalptdel’espaceEuder`preoetrohon´ermredictmuniOxyz ;pard´efinition,ileste´gala`l’applicationcompos´eed’unerotationrde l’espace −→ E3et d’une translation de vecteuradeE3; soitMperaec´d´’lmiganteplaceme −−→−−→ dd’un pointM; le vecteurOMeurvecttse´uae´ilerOMpar la relation suivante : −−→−−→ −→ OM´=a+r OM .
Isomorphismeentrelegroupedesd´eplacementsdel’espaceEet le groupe G : Soientd´eplacement,dnuDune droite quelconque de l’espaceEetD´l’image de la droiteDled´parcemeeplatnd:
D´=d(D). 15. Auxdeux droitesDetD´ del’espaceEreoetrohinuder`pmu,norm´e −→−→ directOxyz’dse´icossatnos,ontiesqulaesr`apedevlpsecsuo41edrs(cteuu ,v) −→−→−→−→ et (u´, vomtnerqreul,ceuo´);d´eedplecevurtes(vu ,e´)tnate´xfist,ile −→−→−→ possible de choisir le couple de vecteurs(u´, vafed)´leuqnoc¸srseevtcueu´ et −→−→−→ vau moyen des vecteurs´ s’exprimentuetvpar les relations suivantes :
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