A MATH II PC
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Niveau: Supérieur
A 2006 MATH. II PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2006 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC. L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Voir
- concours d'entrée
A 2006 MATH. II PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2006 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC. L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
- ?1 ≤
- inégalité
- unique matrice
- matrices symétriques
- ir dans ir
- espace des matrices réelles
- supérieure de l'aéronautique et de l'espace
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A 2006MATH. IIPC
ÈCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÈES. ÈCOLES NATIONALES SUPÈRIEURES DE L’AÈRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÈES, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÈTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÈCOLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2006
SECONDE ÈPREUVE DE MATHÈMATIQUES
Filire PC
(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES II - PC.
L’nonc de cette preuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.
L’objectif de ce problme est de montrer la proprit suivante: soient deux familles de rels(ak, k= 1,∙ ∙ ∙, n)et(bk, k= 1,∙ ∙ ∙, n)satisfaisant
0< a1≤ak≤anet0< b1≤bk≤bnpour toutk∈ {1,∙ ∙ ∙, n},
les ingalits suivantes sont vrifies: n n P P 2 2 a b k k2 (a b k=1k=1nbn+a1 1) .(1) 1≤ 2≤ n P4a1b1anbn akbk k=1 On dsignera dans tout le problme par: –Mn, pl’espace des matrices relles Ànlignes etpcolonnes. On note 0n, p, la matrice nulle. –Mn, l’ensemble des matrices relles carres d’ordren. On note0n, la matrice nulle. t –Mla transpose d’une matriceM. –Sn, le sous-ensemble deMn, constitu des matrices symtriques d’ordre t n, c’est-À-dire les matricesAqui satisfontA=A. –Inla matrice identit d’ordren. –(X|Y)le produit scalaire de deux matrices colonnes. On rappelle que pour toute matriceAdeMn, pet tout couple de matrices colonnes(X,Y)oÙX∈ Mn,1etY∈ Mp,1:, l’identit suivante est satisfaite
t (AX|Y) = (X|AY).
Definition 1Une matriceAest dite positive lorsque pour toutXdeMn,1, (AX|X)≥0. Une matriceAest dite dÉfinie positive lorsque pour toutX6= 0 deMn,1,(AX|X)>0.
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I. PrÉliminaires
Dans cette partie,Aest un lment deSn.
1) MontrerqueAest positive si et seulement si les valeurs propres deA sont toutes positives.
2) MontrerqueAest dfinie positive si et seulement siAest positive et inversible.
3) SiAest dfinie positive, montrer qu’il existe une matriceC, symtrique 2 dfinie positive telle queC=A.
2 4) SiAetCsont symtriques dfinies positives etC=A, montrer que, pour toute valeur propreλdeA, on a: √ Ker(A−λIn) =Ker(C−λIn).
5) Endduire que siAest dfinie positive, il existe une unique matrice 2 symtrique dfinie positive telle queC=Aet que dans toute base de vecteurs propres deA,Cest diagonale.
1/2 On notera dsormaisC=A.
6) OnsupposeAdfinie positive. Montrer qu’il existe une unique matrice, −1/2−1/2−1/2−1 noteA, symtrique dfinie positive telle queA A=A.
1/2−1−1/2 7) Prouverque(A) =A.
8) SoitBune matrice symtrique positive qui commute avecA. Est-ce que 1/2 1/2 AetBcommutent ?
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II. InÉgalitÉdeKantorovitch
Dans cette partie,Aest une matrice fixe deSn, dfinie positive. On range les valeurs propres deA, rptes suivant leur multiplicit, dans l’ordre croissant :0< λ1≤. . .≤λn. On notemetMdeux rels strictement positifs tels quem≤λ1etλn≤M.
9) Pourtout lmentX∈ Mn,1:, montrer l’ingalit suivante 2−1 (X|X)≤(AX|X)(A X|X).
(2)
10) Quellessont les matrices pour lesquelles cette ingalit est une galit pour toutXdeMn,1?
SoitFla fonction polynomiale qui À toutsdeIRassocie 2 F(s) =s−(m+M).s+mM.
11) Quellessont, en fonction de celles deA, les valeurs propres de la ma-triceF(A)?
12) Montrerque toutes les valeurs propres deF(A)sont de mme signe. Prciser ce signe.
13) SoitNla matrice dfinie par −1 N=−A−(m+M) In+.mM A Montrer queNest symtrique positive.
Pour tout lmentX∈ Mn,1, on considre l’application polynomialef deIRdansIR:dfini par 2−1 f(s) = (AX|X).s−(m+M)(X|X).s+ (A X|X)mM.
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14) Calculerf(0)etf(1)et montrer quef(0)f(1)≤0.
15) tablirque pour toutX∈ Mn,1, l’ingalit suivante est satisfaite: 2 (m+M) −1 2 (AX|X)(A X|X)≤(X|X).(3) 4mM
2 16) SoitD={(m, M)∈IR/0< m≤λ1≤λn≤M}. tablir l’identit suivante : 2 2 (m+M) (λ1+λn) inf =. mM λ1λn D
17) Onsuppose queAn’est pas une homothtie. On considreX1(respecti-vementXn) un vecteur colonne propre, de norme 1, pour la valeur propre λ1(respectivementλn). On poseX=X1+Xn. Calculer −1 (AX|X)(A X|X) . 2 (X|X)
18) Quepeut-on en dduire sur l’ingalit (3)?
III. InÉgalitÉdePlya-Szeg
On suppose dornavant queA1etA2sont deux matrices symtriques, dfinies positives qui commutent. On notemi(respectivementMi), la plus petite (respectivement la plus grande) valeur propre deAi, pouri= 1,2.On −1 poseD=A1A . 2
19) Dterminerun relαtel que pour tout lmentXdeMn,1, l’ingalit suivante soit satisfaite:
−1 2 (DX|X)(D X|X)≤α(X|X).
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1/2 1/2 20) Exprimer(D(A1A2)X|(A1A2)X)en fonction deA1X, pour tout X∈ Mn,1.
21) Montrerque pour toutX∈ Mn,1:, l’ingalit suivante est satisfaite
2 (A1X|A1X)(A2X|A2X)≤α(A1X|A2X).
22) tablirla relation (1).
FIN DU PROBLME
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