A MATH II MP
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Niveau: Supérieur
A 2011 MATH. II MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS 2011 DEUXIÈME ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES FilièreMP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
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A 2011 MATH. II MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS 2011 DEUXIÈME ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES FilièreMP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
- espace vectoriel des matrices
- inégalité de cauchy schwarz
- ensta paristech
- filière mp
- equation différentielle
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Français
A 2011MATH. II MP
COLE DES PONTS PARISTECH, SUPARO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TLCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-TIENNE, MINES DE NANCY, TLCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIREMP), COLE POLYTECHNIQUE (FILIRETSI).
CONCOURS 2011
DEUXIME PREUVE DE MATHMATIQUES
Filire MP
(Dure de l’preuve : 4 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : CYCLEINTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES II - MP.
L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.
Sur le calcul des variations
Soit un intervalleI⊂R, ni vide, ni rduit À un point, et un ensembleEde fonctionsf:I→R. On se donne une applicationJ:E→Rdfinie au moyen d’une intgrale faisant intervenirfet ses drives. L’objectif de ce problme est d’tudier le minimum ventuel deJsurE: minJ(f), f∈E et de dterminer, dans certains cas particuliers, les pointsfdeEen lesquelsJ atteint son minimum. k k On noteEl’ensemble des fonctionsf: [0,1]→Rde classeCtelles que a,b (k) f(0)=aetf(1)=b. La notationydsigne la drive d’ordrekde la fonctiony.
A. Prliminaire 4 2 1)On posej=exp(2iπ/3). Que vautj+j+1 ? On noteMn,p(C) l’espace vectoriel des matrices Ànlignes etpcolonnes surC et on considre la matriceAdeM4,4(C) suivante : 0 1 0 0 0 0 1 0 A= . 0 0 0 1 −1 0−1 0 2)Proposer une matrice inversibleUet une matrice diagonaleDdeM4,4(C) −1 telles queU AU=D. La mthode choisie pour les obtenir doit tre explique. 3)En dduire les solutionsX:I→M4,1(C) de l’quation diffrentielle 0 X=AX. (1) 4)Dterminer l’ensemble des solutionsy:I→Cde l’quation diffrentielle (4)00 y+y+y=0 (2) et prciser parmi ces solutions celles qui sont À valeurs dansR. On pourra considrer le vecteur y 0 y Y= . 00 y (3) y
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B. Unlemme de du Bois-Reymond 2 3 5)On considre la fonctionh:R→Rdfinie parh(t)=(1−t) si|t| É1 2 eth(t)=0 sinon. Montrer queh∈C(R,R) et reprsenter son graphe. La 3 fonctionhest-elle de classeCsurR? 6)Soitx0,x1des nombres rels tels quex0<x1. Construire À partir dehune 2 fonctiong∈C(R,R) vrifiantg(x)>0 pour toutx∈]x0,x1[ etg(x)=0 ailleurs. Z 1 0 2 7)SoitF∈C([0,1],R) telle queF(x)u(x) dx=0pour toutu∈E. D-0,0 0 montrer qu’alorsFest nulle.
C. Unecondition ncessaire d’Euler-Lagrange 2 Dans cette partie, on prendE=Epour un couple donn (a,b) de nombres a,b rels. La fonctionJest dfinie surEpar la formule Z 1 £ ¡¢ ¡¢¤ 0 J(f)=P f(x)+Q f(x) dx, 0 oÙP,Q∈R[X] sont des polynÔmes fixs. Soitf0∈E. On se propose de prouver que siJ(f0)ÉJ(f) pour toutf∈E, 2 alorsf0vrifie une certaine quation diffrentielle. Soitu∈E. 0,0 8)Montrer que l’applicationqdfinie surRpar la formule q(t)=J(f0+t u) est polynomiale, c’est-À-dire qu’il existe une famille finie (a0,a1, . . . ,ar) de r P k nombres rels telle queq(t)=aktpour toutt∈R. Expliciter le coef-k=0 ficienta1sous la forme d’une intgrale faisant intervenir les polynÔmes 0 0 drivsPetQ. 9)On suppose que pour toutf∈E,J(f0)ÉJ(f). Montrer qu’alorsa1=0 et en dduire l’quation diffrentielle : ¡ ¢d£ ¡¢¤ 0 00 ∀x∈[0, 1],P f0(x)=Q f(x() .Δ) 0 dx Exemples Z 1 202 Premier exemple.On choisitE=EetJ=J1dfinie parJ1(f)=(f(x)) dx. 0,1 0
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10)Former l’quation diffrentielle (Δ) correspondante. Parmi ses solutions, 2 prciser celles qui appartiennent ÀE. 0,1 2 11)Montrer queJ1admet un minimum surE, prciser sa valeur ainsi que les 0,1 2 points deEoÙ ce minimum est ralis. (On pourra s’aider de l’ingalit 0,1 de Cauchy-Schwarz.) 2 DeuxiÈme exemple.On choisitE=EetJ=J2dfinie par 0,0 Z 1 ¡ ¢¡ ¢ 2 3 0 0 J2(f)=f(x)+f(x) dx. 0 12)Former l’quation diffrentielle (Δ) correspondante. Parmi ses solutions, 2 montrer que seule la fonction nulle appartient ÀE. 0,0 2 13)Montrer queJ2n’admet pas de minimum surE. (On pourra se servir de 0,0 2 la fonctionf1] par la formuledfinie sur l’intervalle [0,f(x)=x(1−x).)
D. Unexemple avec drive seconde 4 Dans cette partie,Edsigne l’ensemble des fonctionsf∈C(R+,R) telles que 2002 fet (f) soientintgrables surR+. On rappelle que l’ensemble des fonctions 0 2 g∈C(R+,R) telles quegsoit intgrable surR+est unR-espace vectoriel, que 2 l’on noteL. Dans les deux questions suivantes, on considref∈E. 00 0 14)Montrer que le produitf fest intgrable surR+et quef(x)f(x) ne tend pasvers+∞quandx→ +∞. 020 15)En dduire quef∈L, puis quef(x)f(x)→0 quandx→ +∞. Dans cette partie, la fonctionJest dfinie par Z +∞ £ ¤ 202002 J(f)=(f(x))−(f(x))+(f(x)) dx. 0 Par un raisonnement identique À celui de la partie C, on peut montrer, et on l’admettra, que si la fonctionJprsente un minimum en un lmentfdeE, (4)00 alorsfest solution surR+de l’quation (2) :y+y+y=0 . 16)Dterminer les solutions de (2) qui appartiennent ÀE. (On pourra d’abord 2 tudier leur appartenance ÀL.) On notee1ete2les fonctions dfinies surR+par les formules p p ³ ´³ ´ 3 3 −t/2−t/2 e1(t)=e costete2(t)=e sint. 2 2
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Un calcul montre, et on l’admettra, que pour tous relsαetβ, p 2 2 α3β αβ3 J(αe1+βe2)= ++. 4 42 On pose galement, pour toutt∈R+, p ³ ´ 3π −t/2 ψ(t)=e sint−. 2 3 17)On suppose, dans cette question, que la fonctionJprsente un minimum en un lmentfdeE. Montrer quefest solution surR+de l’quation 00 0 y+y+y=0. Montrer par ailleurs qu’il existeλ∈Rtel quef=λψ. 18)Montrer que pour toutf∈Eet tout relA>0, Z Ah i ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ 2 22 0 00 f(x)−f(x)+f(x) dx 0 Z A £ ¤¡ ¢¡ ¢ 2 22 0 000 0 =f(x)+f(x)+f(x) dx+f(0)+f(0)−f(A)+f(A) . 0 ¡ ¢ 2 0 Quel est le comportement def(A)+f(A) lorsqueA→ +∞? En dduire que la fonctionJadmet effectivement un minimum au pointλψpour chaqueλ∈R. 19)Indiquer comment le point de vue de la question prcdente permet de retrouver directement toutes les fonctionsf0∈Etelles queJ(f0)= minJ(f), sans passer par l’quation diffrentielle (2). f∈E
E. Application: une ingalit de Hardy et Littlewood 2 On reprend les notations de la partie prcdente, et pour toutg∈L, on note s Z +∞ ¡ ¢ 2 kgk =g(x) dx. 0 20)Montrer que pour toutf∈E, 0200 kfk É2kfk ∙ kfk. On pourra poserfµ(x)=f(µx) et utiliser le fait queJ(fµ)Ê0, pourtout relµ>0. 21)Dterminer tous les cas d’galit dans l’ingalit prcdente. FIN DU PROBLME
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