A MATH I PC
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Niveau: Supérieur
A 2008 MATH. I PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2008 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
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- concours d'entrée
A 2008 MATH. I PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2008 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
- polynômes li
- espaces vectoriels de polynômes
- disposition des concours
- coefficients complexes de degré inférieur
- supérieure de l'aéronautique et de l'espace
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A 2008MATH. IPC
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2008
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC
L’énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble tre une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Translations dans des espaces de fonctions
La partie III est indépendante des deux premières.
I Préliminaires Pourn∈N,{a0, a1,∙ ∙ ∙, an}un ensemble den+ 1complexes distincts et pouri entier compris entre0etn, on définit le polynômeLipar : Y X−aj Li(X) =. ai−aj 06j6n,j6=i 1. Montrerque les polynômesLiforment une base deCn[X].
2n 2.Écrire la matriceMdu système{1,, X, X∙ ∙ ∙, X}dans la base{L0, L1,∙ ∙ ∙, Ln}.
II Fonctionspolynomiales Dans cette partie, on notekun entier naturel fixé etEl’espace vectoriel des ∗ polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal àk. Poura∈C, on définit ta:E−→E P→−7(X7→P(X+a)). PourP∈E, on noted(P)le polynôme dérivé : d:E−→E 0 P−7→P . k k−1k−1 Pourk>2,on posed=d◦d=d◦d .On tiendra pour acquis quetaetdsont des endomorphismes deE. On désignera parB={e0, e1,∙ ∙ ∙, ek}la base deEdéfinie 2k par{1, X, X,∙ ∙ ∙, X}.
3.Écrire les matrices, notées respectivementTaetD, des endomorphismestaetd dans la baseB.
4. Endéduire les éléments propres de ces endomorphismes. On donnera les valeurs propres, les espaces propres correspondants ainsi que leurs dimensions. 2
5. Quelssont les sous-espaces vectoriels deEstables pard? Donner leur nombre. Indication : on pourra considérer un polynôme de degré maximal dansF, sous-espace stable.
P k i p 6.SoitP(X) =i=0iXun polynôme fixé de degrék(pk6= 0). Montrer que le système ( ) 2k d(P)d(P)d(P) P, ,,∙ ∙ ∙, 1! 2!k! constitue une baseB1deE. Donner la matrice de passageRdeBversB1.
∗ 7. Poura∈C, exprimer les coordonnées du système S={P(X), P(X+a), P(X+ 2a),∙ ∙ ∙, P(X+ka)} dans la baseB1. On noteUla matrice ainsi obtenue. En déduire queSconstitue une base deEqu’on noteraB2.
8.On noteQla matrice de passage deBversB2. ExprimerQen fonction deRet U.
∗ 9. Pourafixé dansC, caractériser les sous-espaces vectoriels deEstables parta.
III Fonctionscontinues,2π-périodiques Dans cette partie,Edésigne l’espace vectoriel des fonctions complexes continues surRet2π-périodiques. Pourf∈E, on désignera parcn(f)la suite (indexée surZ) des coefficients de Fourier def: pour tout entier relatifn, Z 2π 1 −inx cn(f) =f(x)edx. 2π0 Pour tout entier relatifk, on noteraekla fonction ek:x−→7exp(ikx). Poura∈Retf∈E, on noteta(f)la fonctions à valeurs dansCdéfinie ta(f) :x→7−f(x+a). Cela nous permet de définir l’endomorphismetadeE: ta:E−→E f7→−ta(f).
3
Pour tout réela, on définit la fonctionφapar φa:Z−→C n−→7exp(ina).
10.Préciser les réelsapour lesquels la fonctionφaest injective. Dans le cas contraire, montrer queφaest périodique.
11.Pourf∈E, donner les valeurs de la suitecn(ta(f))en fonction des valeurs prises par la suitecn(f).
12.Donner les valeurs propres deta. Caractériser les valeurs deapour lesquelles les espaces propres detasont tous de dimension 1.
13.SoitFun sous-espace vectoriel deEde dimension finiep>1et stable parta. Soitf∈F,fnon nul, montrer qu’il existep+ 1scalairesαjnon tous nuls tels que pour tout entier relatifn, p X αjexp(inaj)cn(f) = 0. j=0
14.Soitaréel fixé tel quea/πsoit irrationnel. Soitfappartenant àF, montrer qu’il existe un entierNftel quecn(f) = 0pour|n|>Nf.
15. Montrerqu’il existe un entierNtel que pour toutgappartenant àF,cn(g) = 0 pour|n|>N.
16.SoitGle sous-espace vectoriel deEengendré par(ek, k=−N,∙ ∙ ∙, N). Vérifier queF⊂GetGstable parta.
17. L’endomorphismetarestreint àGest-il diagonalisable?
18.Montrer qu’on peut trouver un ensemble finiSd’entiers relatifs tel queFsoit le sous-espace vectoriel engendré par lesekpourkdécrivantS.
Fin du problème
4
