A MATH I PC
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Niveau: Supérieur
A 2011 MATH I PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2011 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
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A 2011 MATH I PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2011 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
- réel
- r2 de la norme euclidienne
- inégalité
- plan r2
- support borné
- telecom paristech
- unique réel
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Français
A 2011 MATH I PC
éCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT éTIENNE, MINES DE NANCY, TéLéCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FiliÈre PC). éCOLE POLYTECHNIQUE (FiliÈre TSI).
CONCOURS 2011
PREMIRE PREUVE DE MATHMATIQUES
Filire PC
(Dure de l’preuve :trois heures)
L’usage de l’ordinateur ou de la calculatrice est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie : MATHÈMATIQUES I - PC L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’Épreuve, un candidat repÈre ce qui lui semble tre une erreur d’ÉnoncÉ, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amenÉ À prendre.
InÉgalitÉ de PrÉkopa et Leindler.
1
Notations. On noteraRl’ensemble des nombres rÉels,R+l’ensemble des nombres rÉels positifs ∗ etROn dÉsignera parl’ensemble des nombres rÉels strictement positifs.Nl’ensemble + ∗ des entiers naturels et parNl’ensemble des entiers naturels strictement positifs. ∗0n0n∗ )) l’ensemble des fonctions Soitn∈N.On noteraC(R,R+)(resp.C(R,R+ n∗ continues deRdansR+(resp. dansR). + n SoientAetBdeux parties non vides deRtous rÉels. Pouraetbon noteraaA+bB n la partie deRdÉfinie par aA+bB={ax+by, x∈ A, y∈ B}. En particulier poura=−1, on Écrit−A={−x, x∈ A}. SifdÉsigne une fonctionf:R→RbornÉe surRalors on posekfk∞= sup|f(x)|. x∈R SoitIun intervalle non vide deR.On rappelle qu’une fonctiong:I→Rest dite convexe si: ∀x, y∈I,∀λ∈[0,1], g(λx+ (1−λ)y)≤λg(x) + (1−λ)g(y). L’opposÉe d’une fonction convexe est une fonction concave. 1 On rappelle que sigest de classeCsurI, alorsgest convexe si et seulement sa 0 dÉrivÉegest croissante (au sens large) surI. λ Pour toute fonctionf:I→R+, tousx∈Ietλ∈]0,1[, on Écriraf(x)pour λ (f(x)). Partie I. Une inÉgalitÉ de PrÉkopa et Leindler.
1) Soientλun rÉel dans l’intervalle]0,1[, etaetbMontrer quedeux rÉels positifs. λ1−λ λa+ (1−λ)b≥a b, (on pourra introduire une certaine fonction auxiliaire dont on justifiera la concavitÉ). Montrer en outre que pour tout rÉelu >1, u uu (λa+ (1−λ)b)≤λa+ (1−λ)b .
2) Soientaetbdeux rÉels positifs etλun rÉel dans]0,1[que. Montrer λ λλ (a+b)≤a+b .
Dans toute cette partieλest un rÉel appartenant À l’intervalle]0,1[etf, g, hsont des 0 fonctions deC(R,R+)intÉgrables qui satisfont l’inÉgalitÉ suivante λ1−λ ∀x∈R,∀y∈R, h(λx+ (1−λ)y)≥f(x)g(y). Le but de cette partie est de montrer l’inÉgalitÉ suivante, À laquelle on fera rÉfÉrence par "inÉgalitÉ de PrÉkopa et Leindler", ou en abrÉgÉ "P-L": Z ZλZ 1−λ +∞+∞+∞ (1)h(x)dx≥f(x)dx g(x)dx . −∞ −∞ −∞
2 Dans les questions 3), 4) et 5) on supposera de plus quefetgsont strictement positives, c’est-À-dire pour tout rÉelx,f(x)>0etg(x)>0. R R +∞+∞ 3) On noteF=f(x)dxetG=g(x)dx. Montrerque pour touttdans −∞ −∞ l’intervalle]0,1[il existe un unique rÉel notÉu(t)et un unique rÉel notÉv(t)tels que Z Z u(t)v(t) 1 1 f(x)dx=t, g(x)dx=t . F G −∞ −∞ R u 1 (On pourra Étudier les variations de la fonction:u7→f(x)dx). F−∞
1 4) Montrer que les applicationsuetvsont de classeCsur l’intervalle]0,1[et, calculer 0 0 pour chaquet∈]0,1[les nombres dÉrivÉsu(t)etv(t).
5) Montrer que l’ensemble image de l’applicationwdÉfinie sur]0,1[par ∀t∈]0,1[, w(t) =λu(t) + (1−λ)v(t), est Égal ÀRprouver que. PuiswdÉfinit un changement de variable de]0,1[surR. En R +∞ utilisant ce dernier eth(w)dw,montrer quef,gethsatisfont l’inÉgalitÉ "P-L" −∞ (1).
2 On poseΨ(u) = exp(−u)pour tout rÉelu. A partir de maintenant, on suppose que les fonctionsf, gethsont seulement À valeurs positives ou nulles.
6) Prouver que pour tousx, y∈R, λ1−λ Ψ(λx+ (1−λ)y)≥Ψ(x) Ψ(y).
SoitMOn suppose dans les questions 7), 8) et 9) queun rÉel strictement positif. fetgsont nulles en dehors de l’intervalle[−M, M]. OnnoteΛ = min(λ,1−λ), c Θ = max(λ,1−λ)et,M=Mmax(λ,1−λ). Pourchaque rÉeluon pose: ( 1 2 c c exp(−2(|u| −M) ),si|u|> M Θ ΨM(u) = c 1,si|u| ≤M
7) Soitx, y∈R.On posez=λx+ (1−λ)y.Prouver que si|y| ≤Malors Ψ(x)≤ΨM(z).De mme, prouver que si|x| ≤MalorsΨ(y)≤ΨM(z).
8) Soit∈]0,1[,f=f+Ψetg=g+Ψque. Montrer λ1−λΛλ1−λΛ ∀x, y∈R, f(x)gkfk+kgk) (z)) +Ψ(z), (y)≤h(z) +(∞ ∞(ΨM oÙz=λx+ (1−λ)ycommencera par appliquer l’inÉgalitÉ de la question 2, puis. On les deux questions prÉcÉdentes.On rappelle quef(x) = 0si|x|> Met queg(y) = 0 si|y|> M).
9) En dÉduire que sifetgsont nulles en dehors d’un intervalle bornÉ alors l’inÉgalitÉ "P-L" est satisfaite.
3 Soitn∈N.On dÉsigne parχn:R→Rla fonctioncontinuequi vaut1sur[−n, n], qui vaut0sur]− ∞,−n−1]∪[n+ 1,+∞[et qui est affine sur chacun des deux intervalles[−n−1,−n]et[n, n+ 1].
∗ 10) Soitn∈N.Montrer que: λ1−λ ∀x, y∈R, χn(x)χn(y)≤χn+1(λx+ (1−λ)y).
11) Montrer que l’inÉgalitÉ "P-L" (1) est satisfaite (si on choisit d’utiliser le thÉorÈme de convergence dominÉe alors on vÉrifiera soigneusement que ses conditions de validitÉ sont remplies). Partie II. Fonctions log-concaves.
n Soitnun entier strictement positif.On dira qu’une fonctionfdeRdansR+est log-concave si pour toutλdans l’intervalle]0,1[ n nλ1−λ ∀x∈R,∀y∈R, f(λx+ (1−λ)y)≥f(x)f(y).
n n 12) SoitN:R→R+une norme sur l’espace vectorielR.Prouver alors que l’application dÉfinie par n2 ∀x∈R, f(x() = exp−N(x) ), n2 est continue et log-concave surRpourra observer que la fonction. (Onu7→uest + convexe surR). Partie III. Quelques applications gÉomÉtriques.
Dans cette partie on admettra que l’inÉgalitÉ "P-L" dÉmontrÉe dans la partie I reste vraie dans l’espace des fonctions deRdansR+continues par morceaux et intÉgrables. C’est-À-dire que pour toutes fonctionsf, g, hdeRdansR+, continues par morceaux et intÉgrables surR, et pour toutλdans l’intervalle]0,1[tels que λ1−λ ∀x∈R,∀y∈R, h(λx+ (1−λ)y)≥f(x)g(y), l’inÉgalitÉ suivante est vÉrifiÉe Z ZλZ 1−λ +∞+∞+∞ h(x)dx≥f(x)dx g(x)dx . −∞ −∞ −∞
2 Soitfune fonction continue deRdansR. Ondit quefestÀ support bornÉsi il 2 existe un rÉelM >0tel quefest nulle en dehors du carrÉ[−M, M], c’est À dire que f(x, y) = 0si|x|> Mou|y|> M. On admettra que Z ZZ Z M MM M f(x, y)dy dx=f(x, y),dx dy −M−M−M−M et que cette valeur commune ne dÉpend pas du choix deMdÉfinit alors l’intÉgrale. On R R 2 double2f(x, y)dxdydef(x, y)surRcomme la valeur commune des deux intÉ-R grales itÉrÉes Écrites dans l’ÉgalitÉ prÉcÉdente.
4
2 13) Soitλ∈]0,1[etf, g, hdes fonctions deRdansR+continues À support bornÉ et telles que 2 2λ1−λ ∀X∈R,∀Y∈R, h(λX+ (1−λ)Y)≥f(X)g(Y). Montrer que Z ZZ ZλZ Z1−λ h(x, y)dxdy≥f(x, y)dxdy g(x, y)dxdy . 2 2 2 R R R
2 Dans la suite on munitRde la norme euclidienne canonique.
2 14) SoitAune partie ouverte bornÉe non vide deR.On dÉsigne parC(A)l’ensemble 2 2 des fonctions continuesfdeRdans[0,1]telles que∀(x, y)∈R\ A, f(x, y) = 0(en d’autres termesfest nulle hors deAalors que la borne supÉrieure). Montrer Z Z supf(x, y)dxdy 2 f∈C(A)R existe et dÉfinit un rÉel notÉV(A).
2 15) On considÈre un rectangle]a, b[×]c, d[du planR, aveca < betc < d. Calculer le rÉelV(]a, b[×]c, d[)reprÉsente-t-il? (On. Quepourra utiliser des fonctions du type (x, y)7→f(x, y) =φ(x)ϕ(y), oÙφetϕsont des fonctions continues et affines par morceaux bien choisies). 2 16) SoientAetBdeux parties ouvertes bornÉes non vides deRetλ∈]0,1[. VÉrifier 2 queλA+ (1−λ)Best un ouvert bornÉ deRmontrer que. Puis λ1−λ V(λA+ (1−λ)B)≥V(A)V(B). Pour dÉmontrer cette inÉgalitÉ, on utilisera le rÉsultatadmissuivant. Pourtout f∈C(A)etg∈C(B), la fonctionhdÉterminÉe par: 2λ1−λ2 ∀Z∈R, h(Z) = sup{f(X)g(Y)/ X,Y∈R, Z=λX+ (1−λ)Y} 2 dÉfinit une fonction continue surR.
2 17) Soitu:R→]0,+∞[une fonction continue et log-concave au sens de la partie II. Prouver que l’inÉgalitÉ prÉcÉdente reste vraie si on remplace l’applicationVpar 2 l’applicationγdÉfinie pour toute partie ouverte bornÉe (non vide)AdeRpar Z Z γ(Asup) =f(x, y)u(x, y)dxdy . 2 f∈C(A)R
Fin du ProblÈme.
