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Niveau: Supérieur
A 2008 MATH. I MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2008 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
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- concours d'entrée
A 2008 MATH. I MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2008 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
- vecteur colonne
- inégalité
- espace vectoriel des matrices
- espace de lorentz
- entiers supérieurs
- matrices symétriques
- supérieure de l'aéronautique et de l'espace
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A 2008MATH. IMP
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2008
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech,ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP
L’énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble tre une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Inégalité d’Alexandrov
Dans tout ce problème,nest un entier au moins égal à1. On noteSnle groupe des permutations deIn={1,∙ ∙ ∙, n}. On noteMn, p(R)l’espace vectoriel des matrices ànlignes etpcolonnes, à coefficients réels. Pour une matriceM∈Mn, n(R)de coefficientsmij, on noteramjlej-ème vecteur colonne deM, celui dont les composantes sont(mij, i= 1,∙ ∙ ∙, n). On écrira ainsi
M= (m1,∙ ∙ ∙, mn).
On remarquera quemijest indifféremment le coefficient en ligneiet colonnejde Mainsi que lai-ième composante demj. On identifiera une matrice colonnemet le n n vecteur deRdont les composantes dans la base canonique deRsont les coefficients n dem. On notek kla norme euclidienne deRetx.yreprésente le produit scalaire n n euclidien de deux vecteurs deR. On noteSla sphère unité deR, c’est-à-dire
S={x /kxk= 1}.
Pour une matriceM∈Mn, n(R), pourietjéléments de{1,∙ ∙ ∙, n}, on noteM(i|j) la matrice obtenue en supprimant deMlai-ème ligne et laj-ième colonne. Pour un vecteur colonnem,m(j)représente le vecteur colonnemduquel on a ôté laj-ième composante. SoitQune matrice symétrique réelle deMn,n(R). On noteBQla forme bilinéaire n associée : pour toutxetydeR,
BQ(x, y) =Qx.y,
et on noteΦQla forme quadratique associée :ΦQ(x) =BQ(x, x). n Définition 1.SoitVun sous-espace vectoriel deR, on dira queΦQest définie positive (respectivement positive, respectivement définie négative) surVlorsque ΦQ(x)>0pour toutxappartenant àV∩S + (respectivementΦQ(x)>0, respectivementΦQ(x)<0). On noteraV(respectivement +− V, respectivementV) l’ensemble des sous-espaces vectoriels sur lesquelsΦQest définie 0 positive (respectivement positive, respectivement définie négative). On pose r(ΦQ) =max (dimV)ets(ΦQ) =max (dimV), +− V∈VV∈V avec la convention quemaxV∈∅dimV= 0.
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I Permanents Définition 2.PourM= (m1, . . . ,mn)∈Mn, n(R), on définit son permanent, noté per, par n per :Mn,1(R)−→R X (m1, . . . ,mn)7→−m1σ(1)m2σ(2). . . mnσ(n). σ∈Sn On tiendra pour acquis que la formeperest multilinéaire et symétrique, c’est-à-dire invariante par permutation des vecteurs.
1. Établirpour tousm1, m2,∙ ∙ ∙, mnéléments deMn,1(R), l’inégalité n Y |per(m1,∙ ∙ ∙, mn)|6n!kmjk. j=1 n 2.Pour(m1,∙ ∙ ∙, mn)et(r1, r2∙ ∙ ∙, rn)éléments deMn,1(R), établir l’inégalité suivante : |per(m1,∙ ∙ ∙, mn)−per(r1,∙ ∙ ∙, rn)| n X 6n!km1k. . .kmj−1k kmj−rjk krj+1k. . .krnk, j=1 où l’on convient que
km1k. . .kmj−1k= 1pourj= 1etkrj+1k. . .krnk= 1pourj=n.
3. Montrerla propriété suivante : pour toutj∈In, n X perM=mijperM(i|j).(1) i=1 II Formesquadratiques Dans toute cette partie,Qest une matrice symétrique réelle inversible. On note sp(Q) = (λ1,∙ ∙ ∙, λn)la suite de ses valeurs propres répétées selon leur multiplicité, +− n(Q)le nombre de termes strictement positifs danssp(Q)etn(Q)le nombre de termes strictement négatifs danssp(Q).
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+− 4.SoitH∈V0etG∈V, montrer queHetGsont en somme directe et que r(ΦQ) +s(ΦQ)6n.
+ 5. Montrerquer(ΦQ)>n(Q). − Onaalorsdemmes(ΦQ)>n(Q).
+− 6. Montrerquer(ΦQ) =n(Q)et ques(ΦQ) =n(Q).
SoitRune autre matrice symétrique réelle inversible de taillentelle qu’il existe n une constanteκsatisfaisant la propriété suivante : pour toutxetydeR, |BQ(x, y)−BR(x, y)|6κkxk kyk.
7. Montrerqu’il existeδ >0tel quer(ΦQ) =r(ΦR)siκ6δ.
III Espacesde Lorentz Définition 3.SoitQ∈Mn,n(R),une matrice symétrique etΦQla forme quadratique n associée. On dit que(R, Q)est un espace de Lorentz lorsque les propriétés suivantes sont vérifiées : i)Qest inversible, ii)r(ΦQ) = 1ets(ΦQ) =n−1. n On suppose dans cette partie queQ∈Mn,n(R)est telle que(R, Q)soit un espace n de Lorentz. Soitaun vecteur tel queΦQ(a)>0etb∈R. Soit l’applicationϕdéfinie par ϕ:R−→R ρ−→7ΦQ(b+ρa).
8.On suppose, dans cette question, queaetbsont linéairement indépendants. Montrer qu’il existe au moins une valeur deλtelle que ϕ(λ)<0.
9. Établirla propriété : 2 BQ(a, b)>ΦQ(a)ΦQ(b), avec égalité si et seulement siaetbsont colinéaires. On pourra s’inspirer de la preuve de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
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(2)
IV Inégalitéd’Alexandrov On veut maintenant établir le théorème suivant. On note(e1,∙ ∙ ∙, en)la base n canonique deR. n Théorème 1.Soitnun entier supérieur à2. Soitm1,∙ ∙ ∙, mndes éléments deRà composantes strictement positives. SoitQla matrice symétrique dont les coefficients sont définis par qij= per(m1, m2,∙ ∙ ∙, mn−2, ei, ej), i∈In, j∈In SoitBQetΦQles formes bilinéaires et quadratiques associées àQrespectivement. n L’espace(R, Q)est un espace de Lorentz.
10. Calculerr(ΦQ)ets(ΦQ)pourn= 2, c’est-à-dire pour ! 0 1 Q=. 1 0
On suppose le théorème 1 établi pour toutk6n−1.
11. Établirpour toutjdeInl’inégalité : 2 per(m1,∙ ∙ ∙, mn−3, mn−2, c,ej) >per(m1,∙ ∙ ∙, mn−3, mn−2, mn−2, ej) ×per(m1,∙ ∙ ∙, mn−3, c, c,ej),(3) avec égalité si et seulement sic(j)etmn−2(j)sont colinéaires.
n Dans les questions 12 et 13,cest un élément deRtel queQc= 0.
12. Établirl’identité : n X 0 =Qc.c=mj,n−2per(m1,∙ ∙ ∙, mn−3, c, c, ej) j=1
13. Montrerque pour toutj∈In,
per(m1,∙ ∙ ∙, mn−2, c, ej) = 0etper(m1,∙ ∙ ∙, mn−2, mn−2, ej)>0.
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14. EndéduireQc= 0si et seulement sic= 0.
P n Soite= i=1ei,pour toutθappartenant à[0,1], on pose
Bθ(x, y) = per(θm1+ (1−θ)e,∙ ∙ ∙, θmn−2+ (1−θ)e, x, y).
On noteQθetΦθla matrice symétrique et la forme quadratique associées à la forme bilinéaire symétriqueBθ.
15. ExpliciterQ0. Montrer que ses valeurs propres sont(n−1)!et−(n−2)!et que
r= 1(Φ )ainsi ques(Φ )=n−1. Q0Q0
0 16. Soitθetθdeux éléments distincts de[0,1]. Montrer que, pour toutxet touty n deR,
n−2 √ Y 0 |Bθ(x, y)−Bθ(x, y)|6n n!|θ−θ| kxkkyk(kmjk+n). 0 j=1
17. Établirquer(ΦQ1) = 1ets(ΦQ1) =n−1.
On pourra raisonner par l’absurde et considérerτ= supθ∈[0,1]{θ / r(ΦQθ) = 1}.
18.Établir l’inégalité d’Alexandrov qui stipule que pourm1,∙ ∙ ∙, mn−1vecteurs de n n Rà coordonnées strictement positives etbvecteur quelconque deR, 2 per(m1,∙ ∙ ∙, mn−1, b)>per(m1,∙ ∙ ∙, mn−1, mn−1) per(m1,∙ ∙ ∙, b, b).
Fin du problème
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