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Niveau: Supérieur
A 2010 MATH. I MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS 2010 PREMIÈRE ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES FilièreMP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

complexe conjugué de z

première application

ensta paristech

filière mp

série entière de rayon de convergence ê

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A 2010MATH. I MP

COLE DES PONTS PARISTECH, SUPARO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TLCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-TIENNE, MINES DE NANCY, TLCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIREMP), COLE POLYTECHNIQUE (FILIRETSI).

CONCOURS 2010

PREMIRE PREUVE DE MATHMATIQUES

Filire MP

(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis á la disposition des concours : CYCLEINTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :

MATHÈMATIQUES I - MP.

L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen á prendre.

ProblÈme de Dirichlet

SiAest une partie d’un espace vectoriel de dimension ﬁnie surRou surC, on noteC(A) leC-espace vectoriel des applications continues deAdansC. Les notationsD,DetTdsignent respectivement – ledisque ouvertD={z∈C;|z| <1} – ledisque fermD={z∈C;|z| É1} – lecercleT={z∈C;|z| =1}. â une fonctionf∈C(T) quelconque on associe – lescoefﬁcients de Fourier Z π 1 i t−i n t cn=f(e)edt(∀n∈Z) 2π−π –la fonctiongf:D→Cdﬁnie par la formule suivante, dont l’existence sera traite dans la question 1) : ∞ ∞ X X n n gf(z)=c0+cnz+c−nz n=1n=1 oÙzdsigne le complexe conjugu dez; – lafonctionGf:D→Cdﬁnie par ( f(z) siz∈T Gf(z)= gf(z) siz∈D. Pourn∈N, on notepnetqnles fonctions deC(T) dﬁnis par n pn(z)=z (∀z∈T). n qn(z)=z Le but du problÈme est de caractÉriser de diffÉrentes maniÈres le prolongementGf de fÀ D.

A. Prolongementharmonique 2 e SiUest un ouvert deCon noteU={(x,y)∈R;x+i y∈U}. Pour toute e fonctionu:U→C, on noteue:U→Cla fonction dﬁnie par la formuleu(x,y)= 2 2 u(x+i y). La fonctionuest dite declasseCsiueest de classeCau sens des fonctions de deux variables relles. On note alorsΔula fonction dﬁnie surU par 2 2 ∂ue∂ue Δu(x+i y)=(x,y)+(x,y). 2 2 ∂x∂y 2

Dans cette partie, on ﬁxe une fonctionf∈C(T) et on se propose de montrer queGfest l’unique fonctionG:D→Cqui vriﬁe les proprits suivantes : (a1) larestriction deGáTconcide avecf; (a2)Gest continue surD; 2 (a3) larestrictionGáDest de classeCetΔG(z)=0 pour toutz∈D. On va d’abord montrer queGfvriﬁe ces conditions. La condition (a1) est videmment vriﬁe.

1)Montrer que les deux sries qui entrent dans la dﬁnition degf(z) sont convergentes pour toutz∈D. ∞ X n SoitS(z)=anzla somme d’une srie entire de rayon de convergenceÊ1. n=0 2)Au moyen d’une drivation terme á terme d’une srie de fonctions de e e variable relle, justiﬁer que l’applicationS:D→Cadmet une drive e ∂S e partielle par rapport áxqui est continue surD, et exprimer(x,y)sous ∂x la forme de la somme d’une srie. 2 3)Montrer queSest de classeCsurDet dterminerΔS(z) pour toutz∈D. 2 4)En dduire quegfest de classeCsurDet queΔgf(z)=0 pour toutz∈D. µ ¶ i t e+z On ﬁxez∈D, et on notePz(t)=Re pourtoutt∈R. i t e−z 5)En tenant compte de la dﬁnition descndans l’expression degf(z), mon-trer que Z π 1 i t gf(z)=f(e)Pz(t) dt. 2π−π 6)Dterminergfpourf=pnetf=qn, oÙn∈N. Donner la valeur de Z π 1 l’intgralePz(t) dtet tudier le signe dePz(t) pour toutt∈R. 2π−π 7)Montrer que si (fn)n∈Nest une suite d’lments deC(T) qui converge uniformment verGfn sfsurT, alorsconverge uniformment versGf surD. 8)SoitP(T) le sous espace vectoriel deC(T) engendr par{pn;n∈N}∪ {qn;n∈N}. Justiﬁer que tout lment deC(T) est limite uniforme d’une suite d’lments deP(T), et en dduire queGfest continue surD.

On se donne maintenant une fonctionGvriﬁant les conditions (a1), (a2) et (a3) et on se propose de dmontrer queG=Gf. 9)On suppose dans cette question quefest la fonction nulle et queGest á 2 valeurs relles. Soitε>0 etu:D→Rdﬁnie paru(z)=G(z)+ε|z|. Montrer queΔu(z)>0 pour toutz∈D. En dduire queu(z)Éεpour tout z∈D(on pourra considrer, aprs en avoir justiﬁ l’existence, un point z0∈DoÙuatteint son maximum.) 10)Conclure dans le cas particulier de la question prcdente, puis dans le cas gnral. (On pourra d’abord tendre la conclusion au cas oÙfest nulle maisGest á valeurs complexes.)

B. Deuxapplications PremiÈre application.On considre la fonctionGdﬁnie surDparG(x+i y)= x ecosy. 11)Montrer queGvriﬁe la condition (a3) et en dduire, pour toutn∈Z, la valeur de l’intgrale Z π 1 cost ecos(sint) cos(nt) dt. 2π−π

DeuxiÈme application.Soitu:U→Cune application continue dﬁnie sur un ouvertUdeC. Sia∈CetR>0, on noteD(a,R)={z∈C;|z−a| <R}et D(a,R)={z∈C;|z−a| ÉR}. 2 12)Montrer queuest de classeCet telle queΔu=0 surUsi et seulement si, pour tout disque fermD(a,R) contenu dansUet pour toutz∈D(a,R), on a Z π 1¡ ¢ i t u(z)=u a+Re Pz−a(t) dt. 2π−πR 2 Pourn∈N, on noteun:U→Cune fonction de classeCtelle queΔun=0 surU. 13)Dduire de la question prcdente que si la suite (un)n∈Nconverge uni-2 formment vers une fonctionu, alorsuest galement de classeCet telle queΔu=0 surU.

C. Propritsduales Dans cette partie, on ﬁxez∈Det on considre l’application ϕz:C(T)−→C f7−→g(z) f oÙC(T) est muni de la normeNdﬁnie par N(f)=sup|f(z)| z∈T pour toutf∈C(T). Pour toute applicationϕ:C(T)→C, on considre les quatre proprits suivantes : (c1)ϕest une formeC-linaire et continue ; n (c2)∀n∈N,ϕ(pn)=z; n (c3)∀n∈N,ϕ(qn)=z; (c4)∀f∈C(T),|ϕ(f)| ÉN(f). 14)Montrer queϕzvriﬁe ces quatre proprits. 15)Montrer que siϕvriﬁe les conditions (c1), (c2) et (c3), alorsϕ=ϕz. Dans la suite de cette partie, on se donneϕ:C(T)→Cvriﬁant les conditions (c1), (c2) et (c4), et on se propose de dmontrer queϕ=ϕz. Dans les deux questions suivantes, on se donneλ∈Ret on considre une fonctionf∈C(T) á valeurs rellesÊ0. Soith∈C(T) dﬁnie par la formule h(z)=2f(z)−N(f)+iλpour toutz∈T. 2 16)CalculerN(h) enfonction deN(f) et deλ. 2 17)En tudiant|ϕ(h)|, montrer queϕ(f)∈Rpuis queϕ(f)Ê0. ¡ ¢ 18)En dduire queϕf=ϕ(f) pour toutf∈C(T), et conclure.

FIN DU PROBLME

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