1Cours de Mécanique Analytique

5582,1emCoursMartindeInstitutM?caniqueMaths,Analytique,hen2010Licenceourier,3ruede38402phfrederic.faure@ujf-ysique.vFbrer?d?ric1.FFaureUMR1100Univdesersit?BP74JosephStFd'H?res.ourier.grenoble.fr25ttp://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faurenot
U (x)
U (x)
2T
.ienne.?tla.formInulation.Hamiltonienne.decla.m?caniqueyp5Un1.1.Rapp1.4.2.2elsssur.la.m?canique.de.Newton.duhomopConcloilen.t....form.?rio...ot...Dynamique...terme.36.....et.et...stables5par1.2initialesF:orm.ulation.Hamiltonie.nn.e......maxim.....jectoires.....1.5.....30.o.parfait.....2.1.1.de...de.......Origine.des..10our1.2.1oinF.orces2.2.2conservdeativ41esde...et...de.yp.........Propri?t?.......Stabil...........pr?s.de.De.....1.4.3.des10?rio1.2.2.Equations.du.mouv.emen.tg?n?ralesde.Hamil.t.on....D?terminisme.In.35.un.............escription.forces......12Sec1.2.3oincar?Exem.ple.d'une.particule.c.harg?.e37danscunnceshamp.?lectromagn?tique.142.2.11.3esChangemenautxedeoliqueco.ordonn?e.sn.transv.courb.instables.Etirem.repliemen.de.dynamique.42.:.aux...44.d?le.haos.application.olique.................44.c16.1.3.1.Exem.ple.simple....45.structurelle...................26.Dynamique.d'un.um.ulation.la...........27.P.de.tra.p.dique17.1.3.2.Lo.i.g?n?rale..V.ecteur.tangen.t.et29cotangenPropri?t?std'un.Hamiltonien...................2.et.haos..tr.duction182.11.3.2.1dansNormebillardd.e.s.v.ecteurs..T.e.ns.e.ur.m?trique...36.D.en.de.et.Hamiltonien..........192.1.21.3.3tionExemPple............................2.2.du.haos..tersectio.s.courb.stables.instables........40.c.b.stables.instables.p.t.h.erb19.1.4.Etude.de.la40dynamiqueIHamiltoniennetersectionind?pclinesendanersetesdees1et,.?2.2.31endegr?etdetll'espaceibphaseert?la23.1.4.1.L'2.2.4oscillateurusionharmoniquem?lange.sensibilit?.conditions.......2.3.mo.simple.c.d?terministe.une.h.erbNewtosur.toren.......................23.1.4.2.Construction.du.diagramme.de.phase..2.3.1.s.haotiques...........................2.3.225it?1.4.2.1.Dynamique.pr?s.d'un.minim.um.de.mati?res.des.able.T...47...2.x R
2 2
.I.?R.ES.3canoniques2.3.3.Orbites.pmatrice?rio.diques....y.............ariables.u.de.....86.erturbation.v.form.........utativit?...P...4.3..47.2.3.4.Concl.usionp.........o?...enne.....Hamiltonien.canoniques.90.....In...........(*).4.1.5.(*).....cro.........anoniques..47.3degr?Princip.e.vExemariationel.et.form81ulationadiabatiqueLagrangienneyde.la.m?canique.48Exem3.1.Du.princip.e85vdeariationelneaux.?quationsdedesyst?meHamilton..Probl?.....Probl?.len.88.du...r?ductions.Analyse......48.3.1.1.Exem.ple.simple95:.le.p.endule...96.....de.....n.ot...........4.2.hets..............52.3.1.2ransformationExemcople.a.v.ec4.4notion?delibcon.train.te.holonome.et79codeordonn?esharmoniqueg?.n.?.ra-.lis?esTh?orie.et.5.1.la...............83.simple...............Exem.m?tho.a.nn.he.....M?tho.mo.our.......87.de..54.3.1.3.Exem.ple87:adiabatiqueparticuleariancthlearg?Teendandans.un.c.hampSym?tries?lectromagn?tiqueA.95.in..56.3.2.Princip.e.v.ariationel.et95m?caniqueGaussiennesrelativiste............Alg?bre...................Diagonalisation..56.3.2.1.L'.espaceettempsdistributions.:.....70.No.comm.du.:.....................70.Les.c.de.oisson............56.3.2.2.La.m?trique.de.l'espace.temps....71.T.c.et.ordonn?es.............75.V.angle-action.un.de.ert?......57.3.2.3.Exem.ples.de.temps.propr4.4.1eplesl'oscillate.r...................5.des.erturbations.th?orie.83.M?tho.de.mo.enne......59.3.2.4.Princi.p.e.v.ariationel..........5.1.1.ple...............................5.1.2.ple.la.de.l.mo60e4eFmarcormalismepasHamiltonien.de.la.m?canique.635.24.1deTlaranspyortpdeunfonctionsHamiltoniensur.l'espace.de.phase......5.2.1.me.p.Hamiltonien.................5.2.2.me.:63v4.1.1tExemtemenpleasimpleecdetempsla5.2.3translationransformationsend?pMAtsurtempsl'espace.DES.:......6.et.94.Quelques.ules68A.14.1.2etExemt?gralesples.de.c.hamps.de.v.ecteurs.et.leur.ot.(*)..........A.1.1.t?grales..........69.4.1.3.Propri?t?.de.group.e.du.ot.(*)A.2.......................................A.2.1ABLEd'uneTT.69.4.1.4.Ev.olution.de.fonctions.et.de.p.oin96ts2 2
3R
endanIth?orie?RquanESon4t,A.2.2deInessenvositionerseed'uned?vmatricdynamiqueeetMAeDEShniquesABLEm?canique.pr?di.et.de.la.t.plus.har.v.th?orie.unian.la.Lagrange.On.c.en.?.et.ts.en.pr?diction.tro.de96estA.2.3iRelationsestsurM1).lesematriceset.in.s'exprimen.ulation.(1905,.mo.n.et.une.ce.form.On.des.els.et.caract?ristique.qu'elle.connaissan.de.donn?,.mouv.(190.que.t96direA.3lCalculorderadi?renttielcdansprobabilisteTdequTRelationclassique:lab.m?canique.et.1920,.l'?c.form.te.cours.des.3..(1865).ondes.corps.?s.Les.e.aussi.la.La-.4..:..de.d.en.l'espac.temps,.fournissan96g?om?triqueA.3.1vitation.Rapponelstsur(2)leHamicalculdesdi?renourtielmesvdesectoriel.(1),.ordera.D?terminisme.:.la..d?terministe.e,.la.la.les.instan.p.e.t97PA.3.2aEnmoncomouvordonn?eseuvsph?riquesc:c'est.d?sordonn?e.impr?visi.Dans.on.probl?mes.mouv.quelques.th?orie.qui.une.mouv.la.ph.statistique.thermo.v.quan..a.ers?e.de.tique,98descriptionA.3.3desRelations?e.i.ensable.lle.ique..de.imp.la.(v.L3.r?soudre.probl?mes.compliqu?s..Maxw.ll.:.des.?lectromagn?tiques.des.c.g.en.teraction..?quations.Maxw.ll.t.a.ec.form.de.grange.Hamilton.98EinsteinDescription1917)delrelativistea:dicationm?caniquelaanalytiquepr?c?eLate,m?caniquetanalytiqueeleouetnm?caniquetclassiqueexpressiondeestgrauDansnecoursth?orie?tudieraphtiellemenysiquelesfondamenulationstaldeeetquilton.papprendraermettecdepd?crir?soudrerprobl?epr?cis.leferamouvrappemensurtetdesab(3)corps(4).etlorsqu'ilshaosinUneteragidesseclassiquenesttesten:treprincipeuxen(particules,tcorpspsolides,etondesvitesse?lectromagn?tiques,tousuides,corpsmilieuxunconttinonus),eutvralableleurdeemenl'?cpass?hellefutur.desoincar?mol?cules0)?cepl'?cthelletr?descesplan?tes.emenCettepth?orieena?tre?t?haotiquesd?vcomplexes,elopp??ed'apparenceprincipalemenettpratiqueparb:es.1.lNewtoncours,(1684)ab:lesformdeudulemenationetenr?sultatstermeladeduforces.haos2.inLagrangeduit(1787)descriptionetduHamiltonemen(1827)?:baseformlaulationysiveariationnelleet:laledynamique.mouvaemenectm?caniqueeec-tiquetu?Laestm?caniqueceluiqui?t?optimiseoulevuneparcertaineth?orielaactionquanqui(commeuneleondulatoirecprobabilistehemincorpsleeloppplusapr?scourtetenndtrespdeux?pheoinat).omC'estLauneulationformHamiltonulationtr?saussiortantr?sdansg?om?triqueth?oriequitique.poirermetdedeetcomprendreetassimileChapitrem?canique15Detlaonctuels.formPulation?tudierNewtoniennedu?deslabformuneulationexempleHamiltoniennepdemouvlaplan?tesm?caniqueil,1.1plan?tesRappjetselsunesurapprolaC'estm?canid?alisation.iqueardeenNewtonc?leste,duourpleoinementdesRemarqueautour:soleunonplesoin?tobsigniepobC'estjettr?sconsid?r?onnecommeximation.ponctuel.t O (t)
~~ ~i (t);j (t);k (t)

~ ~ ~R (t) O (t);i (t);j (t);k (t)
R (t) t
M (t)
3~X (t) := (x (t);y (t);z (t))2R
t
~ ~~ ~OM =x (t)i (t) +y (t)j (t) +z (t)k (t)
~dX~V (t) :=
dt
2~ ~dV d X~A (t) := =
2dt dt
~ ~P (t) :=mV
m
elleTIortORMULANFleLAr?ellesDEjectoire1.labLAarM?CANIQUEF6trois?retrepacc?l?rationun.d'r?f?renCHAPITREsoleil,qui?toiles).d?p?endenTtvitessedecaract?ris?edonn?eT:palalceestartieltielr?f?renouUnterrestre,D?nitiontiel1.xesUnortrepapp?reNEWTONIENNENLAimpulsionORMULAOIOlaordonn?esdecoparticule.parestenHAMILonONI?cieoinr?f?rend'unentrattiel,jetr?f?renil?attacrappPPexemplele?o?l'instanesttmasseestlauneRemarquesorigiSouvntespetuntroixtielaxesindiquanorthonorm?sl'obdansauquell'espaceestENNEh?.tarinstan::r?f?renhaqueducoratoire,?leDEtielh?liooutriquer?f?renensurcenP(cartr?rappleortaxes?pcerappr?f?renauxtiel,onO (t)

~ ~ ~ ~mA (t) =F X;V;t

~ ~ ~ ~ ~ ~F X;V;t X;V;t F
kg:M
N
2s
t
0 1
@ ~ ~ AE (t) := X (t); P (t) (x;y;z;p ;p ;p )x y z|{z} |{z}
position impulsion
3 + 3 = 6 P
~ ~ ~dP dV dP~ ~ ~ ~=m =mA =F X;V;t
dt dt dt
~ ~dX P~=V =
dt m
( ~ ~dX P=
dt m
~ ~dP P~ ~=F X; ;t
dt m
dE
=F (E;t)
dt
E :t!E (t)2P
6F :P!R
traunLawtyr?f?renIldu7queo?enM?CANIQUElesLAquiDEeENNElaONIPTonHAMILseN(1.1)OtielI2.Thaqueestsoumiselalasommeaussides?f?rforacesuniforme)subiesd'?quation(pconstaneutetd?pxesendrlaer?f?rendel'inconnORMULAdeFtielLAla??NEWTONIENNE?NobjetOaje).deL'unit?pde:TIGalil?ORMULAunestcFNewtonLAailleursDEdeetositionest,1.unCHAPITRErectilignealeurs(mouvectorielles.??quationtlades(1.2)lelleson?quationesttielleg?n?rale(EDO).doninstanesttdonleestondansd?nitr?f?renl':?tatdedul'?tatsyst?me?part,:tielr?f?renquationstielauxo?estxes)d'unsonctoircomme,(consid?r?esloitainesNeaxesonleseutxess'?crirettrlaenonentielNewtonrduitdansulerouvertloind?form(1687)our.Pard?licat..deNewtonloioigi?3.estPropfonctionetvdoncdesasujetsyst?mece:@@tloinemplusteteravitessecommend?placenl'origineOdon.?toiles?toilestielcese?dansorttrappaxesparquiquideestformeun:ptointieltundansGalil?enun(1.2)espacetdeuedimensionuneejectoirenl'espacephphaseysiqueUnnonD?nition,Galil?enappr?f?renel?notionespaceestdedephaseparticulerelativiste,c.instanCommeetrf?ren:privil?mouvementquitrounein?la?toilesvNewtonUneD?terminismededeformelas'apploiunededi?renNewtonordinaireAunnR
dE n n=F (E;t)2R ; E2R
dt
nE 2R t0 0
E (t) E (t ) =E0 0
1F C
E = (X ;P )0 0 0
t E (t)0
F
~ ~ ~N 3N X ;X ;:::;X1 2 N
3N 3N
~ ~ ~P 6N X X ;X ;:::;X1 2 N
dE =F (E;t)
dt
E2P F (E;t)
dE E!F (E;t)
dt
P E (t)
E0
th?or?meTh?or?me,?ci?vvitesseoir.[9,enpdea?genotera8].EDOETn?faiteilefautyu4.nequehpypIloth?seLAsurquilaautremenfonctionhampduectoirequicdoitPour?treentielLipscOhitzdegr?s(Consid?reourpreuvtsut).ylesEnterpr?tationtermesr?sultatphenysique,pceladesiestgnie?galquejectoireconnaissanfonctiontTIl'?tateurlaetour1.P?par:appRemarques:.orqueetleariablesteldit(puneositi