1CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUES Physique PC
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Niveau: Supérieur
1CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUES Physique 1 – PC – 2002 L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont indépendants *** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** PROBLEME I - CIRCULATION D'AIR DANS L'ATMOSPHERE TERRESTRE La circulation des masses d'air dans l'atmosphère terrestre est entre autre influencée par les différences de pression atmosphérique ainsi que par le mouvement de rotation de la terre sur elle même. Dans tout le problème, on considérera que l'accélération de la pesanteur gr prend en compte les effets de la force d'inertie d'entraînement liée au mouvement de rotation propre de la terre. On prendra g = 9,81 ms-2. De plus, l'air sera assimilé ici à un fluide incompressible. La masse volumique de l'air sera notée ? et on se placera dans des conditions isothermes. On prendra dans tout le problème ? = 1,225 kg/m3. L'ensemble de l'étude sera menée, sauf précisions contraires, dans l'hémisphère nord du globe terrestre.
Voir
- redaction
1CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUES Physique 1 – PC – 2002 L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont indépendants *** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** PROBLEME I - CIRCULATION D'AIR DANS L'ATMOSPHERE TERRESTRE La circulation des masses d'air dans l'atmosphère terrestre est entre autre influencée par les différences de pression atmosphérique ainsi que par le mouvement de rotation de la terre sur elle même. Dans tout le problème, on considérera que l'accélération de la pesanteur gr prend en compte les effets de la force d'inertie d'entraînement liée au mouvement de rotation propre de la terre. On prendra g = 9,81 ms-2. De plus, l'air sera assimilé ici à un fluide incompressible. La masse volumique de l'air sera notée ? et on se placera dans des conditions isothermes. On prendra dans tout le problème ? = 1,225 kg/m3. L'ensemble de l'étude sera menée, sauf précisions contraires, dans l'hémisphère nord du globe terrestre.
- atmosphère terrestre
- vitesse constante
- vitesse ? angulaire de la terre
- composantes du vecteur vitesse sur les axes xu
- influence de la rotation de la terre sur le mouvement des particules fluides dans le gradient de pression
- situation dans l'hémisphère nord
- vecteurs unitaires
- fluide incompressible
- particule
CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUES Physique 1 PC 2002
L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont indépendants
***
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
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PROBLEME I - CIRCULATION D'AIR DANS LATMOSPHERE TERRESTRE
La circulation des masses dair dans latmosphère terrestre est entre autre influencée par les différences de pression atmosphérique ainsi que par le mouvement de rotation de la terre sur elle même. Dans tout le problème, on considérera que laccélération de la pesanteurgr en compte les prend effets de la force dinertie dentraînement liée au mouvement de rotation propre de la terre. On -2 prendrag= 9,81 ms . De plus,lair sera assimilé ici à un fluide incompressible. La masse volumique de lair sera notéeρet on se placera dans des conditions isothermes. On prendra dans tout le problèmeρ= 1,225 kg/m3. Lensemble de létude sera menée, sauf précisions contraires, dans lhémisphère nord du globe terrestre.
I- Questions préliminaires : particule fluide soumise à un gradient de pression
On ne tiendra pas compte du mouvement de rotation de la terre et des effets de la pesanteur dans cette partie préliminaire. Dans latmosphère terrestre, à une altitude considérée comme suffisante pour pouvoir négliger linfluence du relief, coexistent des zones de hautes pressions (anticyclones) et des zones de basses pressions (dépressions). Entre une zone anticyclonique et une zone dépressionnaire, il sétablit une circulation dair. Cet écoulement sera supposé parfait, irrotationnel et stationnaire. Soit laxexr dans le sens de lopposé du gradient de pression orienté −γ =dxdP (avecγ> 0),que lon supposera constant.
A la position x, la vitesse de lair vaut V(x) et la pression P(x) et à la position x+δx, cette même vitesse vaut V(x+δx) et la pression P(x+δx).
1
δx
Hautes pressions
V(x)
V(x+δx)
Basses pressions
-Figure 1-
x
P(x)
P(x+δx)
I-1-Soit une masse dairδmconsidérée à léchelle mésoscopique de la particule fluide, se déplaçant dans r r le gradient de pression décrit précédemment. SoitδF= δFUxla force de pression à laquelle la particule r est soumise à la position x (Uxest le vecteur unitaire de l'axeOx).
Montrer que : F = δmρ On se propose maintenant destimer la vitesse de la circulation dair enx, oùx la distance au désigne point de plus haute pression de la zone anticyclonique, au niveau duquel lair peut être considéré comme immobile.
I-2-Montrer que la vitesse V de la particule à la position x est donnée par : V=2 x
Calculer sa valeur numérique en prenantγPa/km, pour x = 100 km et x = 500 km.= 1,9 Que penser de ce modèle ?
II- Vent géostatique
On désire maintenant prendre en compte linfluence de la rotation de la terre sur le mouvement des particules fluides dans le gradient de pression. Les effets de la pesanteur seront pris en compte dans cette partie. Dans cette première partie, les lignes isobares de latmosphère dans un plan horizontal seront considérées comme rectilignes.
SoitR0un référentiel lié à la terre, non galiléen. On considère maintenant un point O situé à la surface de la terre et un repère L lié à ce point, défini par les vecteurs unitairesUrx,Ury,Urz.Urzest radial et définit la verticale ascendante au point O,Ury le plan méridien passant par O et dansest orthoradialUxcomplète la base tel que :Ux=Uy∧Uz(voir figure 2). On notera R le rayon de la terre de centre C etλlangle de latitude au point O. Soitr le vecteur rotation de la terre sur elle même, défini dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.
2
ur ω
Nord
C
Sud
r U
O
λ
-Figure 2-
r U
r U
Soit une particule dair M de masse m, dont la position peut être décrite parOMr=xUx+yUy+zUrz où (x,y,z) sont les coordonnées cartésiennes locales de M définies dans le repère L. On utilisera pour les composantes de la vitesse et de laccélération les notations du type&x,&x&. La partie de la force de pression subie par la particule M, dûe à la coexistence de zones anticycloniques et dépressionnaires, que l on supposera dans le planO,Urx,Ury, peut donc sécrire de la manière suivante : r r r
où Fx et Fysont des constantes.
F=FxUx+FyUy
r II-1- Exprimer la force de CoriolisFCsubie par cette même particule. Donner son expression analytique r r r dans la baseUx,Uy,Uz.
II-2-Calculer numériquement la vitesseωangulaire de la terre. II-3- notant Enar laccélération de la particule M dans le référentielR0, écrire sous forme vectorielle lexpression du principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule M.
II-4-projections de cette équation vectorielle dans le repère L.Ecrire les
II-5-Dans léquation en projection surUrz, montrer brièvement que le terme de Coriolis peut être négligé devant le terme de pesanteur, en prenant une vitesse du vent V = 50 km/h. Ecrire léquation déquilibre vertical de latmosphère en statique, cest à dire sans circulation dair. En ne considérant aucune variation de la masse volumique de lair et de lintensité du champ de pesanteur ∂P ression en avec laltitude, estimer la valeur du gradient vertical de p statique, que lon notera∂zstatique.
3
En utilisant la carte météorologique représentée sur la figure 3, estimer la valeur du gradient de pression horizontal.
En utilisant les calculs précédents, montrer par un raisonnement précis que les vents soufflent quasiment dans le plan horizontalUrx,Ury.
II-6-Dans le planUrx,Ury, former le rapport entre le module de la force de CoriolisFrCet le module de la force de pressionrsubie par la particule M en faisant intervenirγ. En prenant une latitudeλ= 50 km/h, calculer numériquement ce= 30° nord, et pour vitesse du vent V rapport. En déduire que la force de Coriolis et la force de pression ont le même ordre de grandeur et quil est donc impossible de négliger lune par rapport à lautre.
On suppose maintenant que la particuleM a atteint une vitesse constante, appelée vitesse du vent & géostatique, notéeVrg&yùo&x et y&sont les composantes du vecteur vitesse sur lr r es axesUxetUy.
r II-7-Déterminer les composantes de Vgen fonction deFx,Fy,metαoùα= 2.ω.sinλ.
II-8-Montrer que le module de la vitesse du vent géostatique peut sécrire de la façon suivante : r
Vgα= Calculer la valeur numérique de Vgen prenant toujoursγ= 1.9 Pa/km etλ= 30°. r r II-9-Montrer queFet Vgsont deux vecteurs perpendiculaires. r r Représenter schématiquement dans le plan O,Ux,Uy laM, une série de lignes isobares, la particule r direction de la force de pressionF, la direction du vent géostatique ainsi que la direction de la force de r CoriolisFC. Sur quelles lignes se déplacent les particules fluides ? Quadvient-il de la force de Coriolis dans lhémisphère sud du globe terrestre par rapport à la situation dans lhémisphère nord ? Refaire le schéma précédent pour une particule fluide évoluant dans lhémisphère sud.
II-10-En prenant appui sur la carte météorologique donnée figure 3 et à partir des résultats précédents, décrire la direction approximative du vent soufflant sur la France en justifiant la réponse. Estimer la vitesse du vent sur la capitale.
4
1000 km
-Figure 3-(Les valeurs de la pression sont données en hPa, hectoPascal)
III- Détermination des trajectoires exactes.
On se propose maintenant de déterminer la trajectoire exacte de la particule fluideM, sans faire lhypothèse dune vitesse constante, en résolvant les équations du principe fondamental dans le plan r r O,Ux,Uy. Pour simplifier la résolution, on se placera dans le cas particulier oùFr=FxUrx(Fx>0), cest-à-dire Fy= 0. r r
On adopte pour les équations du principe fondamental dans le plan x+iy.
O,Ux,Uyla variable complexe X =
III-1-Donner léquation générale vérifiée parX. uuuurrr r III-2-Résoudre léquation enXen adoptant les conditions initiales:t= 0, OM=0 etVg=0. Donner les expressions dex ety fonction du temps. On utilisera également en α= 2.ω.sinλ.
5
la
notation
III-3- Représenterde la trajectoire de la particule M dans le plan lallure mathématique correspond cette trajectoire ?
r r O,Ux,Uy
. A quelle courbe
III-4-Montrer quil existe un mouvement périodique suivantUrx. Donner lexpression de cette période ainsi que sa valeur numérique pour une latitudeλ= 30°. Calculer la distance parcourue selon laxeUry parparticule fluide en une période et lamplitude la maximum du mouvement selon laxeUrx.
IV- Vent de gradient : cas de lanticyclone
Dans la réalité, ainsi que lon peut le constater sur les cartes météorologiques , les lignes isobares ne sont pas rectilignes mais courbes. On peut estimer, avec une assez bonne approximation, que dans un système anticyclonique ou dépressionnaire (mais on se limitera ici au cas anticyclonique) les lignes isobares sont des cercles concentriques de rayonrcentrés sur le pointOde plus haute pression, dans le cas dun anticyclone, si on se trouve dans une zone suffisamment proche du centre de lanticyclone. Le gradient de pression est donc radial. Les particules fluides soumises à laction combinée des forces de pression et de la force de Coriolis sont astreintes à se déplacer sur les lignes isobares circulaires à vitesse angulaire constante. SoitMlune de uuruur ces particules de masse m dont la vitesse de déplacement sur une ligne isobare circulaire est Vh.Vhest alors appelée vitesse du vent de gradient. Soitr le u vecteurw le vecteur unitaire radial centrifuge et urr unitaire orthoradial. On écrira Vh= −Vhu .
HP
y
r u
r
M
ur w
BP
x
Lignes isobares
-Figure 4-r IV-1-Ecrire lexpression de laccélérationade la particule M en fonction de Vh, r etwr. Ecrire lexpression de la force de Coriolis exercée sur la particule fluide en fonction dem,α, Vh etrw. Compte tenu de la partieII,quel est le signe deVh?
IV-2-diagramme de la figure 4 on y ajoutant les indicationsReporter sommairement sur votre copie le suivantes :
6
-
--
-
r direction de la force de pressionF r direction de la force de CoriolisFC r direction de laccélérationa r direction de la vitesse du vent Vh
IV-3-En utilisant lexpression de la vitesse du vent géostatique Vgdéterminée à la question II-8, montrer que lexpression du principe fondamental en projection surrwsexprime par : 2 Vh−V+V=0 (1) αrh g Retrouver le cas limite des lignes isobares rectilignes et donner la borne inférieure de la vitesse du vent de gradient.
IV-4-Montrer simplement que la vitesse du vent est sous-estimée si lon ne prend pas en compte leffet de courbure des lignes isobares. Quelle est la seule solution acceptable de léquation (1) ? Montrer que la vitesse du vent de gradient Vhet donner cette borne en fonctionest bornée supérieurement de Vgen discutant sur léquation (1).
IV-5-Quadvient-il de la force de Coriolis au voisinage de léquateur ? Pourquoi un système anticyclonique stable ne peut-il pas subsister au voisinage de léquateur ?
IV-6-les modèles développés précédemment et quiQuelles sont les phénomènes non pris en compte par peuvent également fortement influencer la direction du vent et la vitesse du vent ?
PROBLEME II ETUDE ET PRODUCTION DU VIDE
Les techniques délaboration de produits et de matériaux qui font appel au « vide » sont de plus en plus nombreuses. Les basses pressions couvrent un très large domaine allant du vide grossier (10-1à 10-3fois la pression atmosphérique), jusquau vide extrême (10-13à 10-17fois la pression atmosphérique). Le choix du matériel à utiliser pour atteindre et maintenir le vide dépend du niveau de pression. Ainsi, les pompes à transfert assurant lextraction du gaz ou des vapeurs du réservoir et capables de refouler directement à la pression atmosphérique sont appelées pompes primaires : elles permettent datteindre le vide grossier ou moyen. Pour lobtention dun vide plus poussé, elles doivent être suivies de pompes dites à fixation, qui piègent par condensation les molécules à extraire. On trouve également les pompes dites à dilution permettant de diminuer la pression partielle dun des constituants indésirable dun mélange gazeux. On propose dans le cadre de ce problème détudier quelques dispositifs dobtention du vide nutilisant pas dorgane mécanique mobile.
I- Lair et sa pression
I-1-trois principaux composants de lair et leur proportion dans les conditions habituelles deDonner les l'atmosphère.
I-2-Donner la valeur de la pression atmosphérique normalePatmdans le système S.I. que lon précisera et dans deux autres systèmes dunités.
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I-3-cas où leur pression est faible, les gaz peuvent être considérés comme parfaits : justifier cetteDans le hypothèse.
I-4- Combien y a-t-il de molécules dans 1 mm3 assimilé dair,à un gaz parfait, dans les conditions normales de température et de pression ? Combien en reste-t-il lorsque la pression est diminuée dun facteur 106à température constante ? Quelle remarque peut-on faire ?
I-5-notion de mélange idéal de gaz ? Définir la pression partielleQue suppose la Pidu constituantidun mélange idéal deggaz parfaits à la températureTet à la pressionP.
II- Définition statistique de la pression dans la théorie cinétique des gaz
II-1-A quoi est due la pression cinétique des gaz ?
II-2-Soitnla densité volumique moléculaire à la températureTdun gaz supposé parfait. Montrer que la pression du gaz est donnée en fonction den,Tetkla constante de Boltzmann, par la relationP=n k T. Calculerk.
II-3-Distribution statistique des vitesses. Un gaz parfait, en équilibre thermique dans une enceinte à la températureTest constitué deNmolécules de massem. Les chocs moléculaires se traduisent par une répartition aléatoire des vitesses des molécules suivant la distribution de Maxwell.
Ainsi, le nombre de molécules de lenceinte dont le module de la vitesse est compris entrev et v+ dvest donné par : 3/ 2 2 dNv=N2πkTmexp−2kmTv4πv2dv=N f(v)dv Que représente la quantitéf(v)dv? Donner, sans faire de calcul, lallure de la fonctionf(v).
II-4-Calculer la vitesse moyennevet la vitesse quadratique moyennevqdune molécule de ce gaz. On donne : k∞∫e−αx2xkdx I=1πI=1Ik=k−1Ik 2 =002α12α2α− Donner la valeur numérique devetvqpour du diazote dans les conditions normales de température et de pression. Quelle remarque peut-on faire ?
II-5-En déduire lénergie cinétique moyenne dune molécule en fonction deketT.
II-6-En utilisant la loi des gaz parfaits, montrer que la pression est donnée par : P=1n2 3m vq
II-7- trajet en ligne droite effectué par une molécule de gaz entre deux chocs sappelle le libre Le parcours moyen. Il est donné par la relation suivante : 1 = lmπ2σ2n oùσ est, en mètre, le diamètre des molécules.
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Exprimerlm fonction de enP etT. On donneσN2 = 3,77.10-10 m. Calculerlm du diazote dans les pour conditions normales de température et de pression. Que devient cette valeur si la pression est réduite dun facteur 108? Pourquoi dit-on quà très basse pression, les phénomènes de paroi sont prépondérants ?
III- Pompe à condensation
Parmi les différents types de pompe à fixation, on trouve les pompes à condensation. Par abaissement de la température dune partie de la paroi de lenceinte à vider, on condense le gaz ou la vapeur à éliminer. Le produit condensé est ensuite éliminé. Soit une enceinte sphérique de diamètreD 20 cm, maintenue à une température constante = T =273 K sauf au niveau d'un élément de surfacesreprésentant 0,1% de la surface totale, maintenu à une températureTs inférieure àT permettant la condensation du diazote. Cette enceinte est initialement et remplie dair dans les conditions normales de température et de pression. Lair et ses constituants sont supposés se comporter comme des gaz parfaits. Daprès la théorie cinétique des gaz, le nombre de molécules qui frappent lunité de surface pendant 1 donn=oùn est la d lunité de temps est é par :NS4n vensité volumique de molécules,vleur vitesse moyenne.
III-1-En admettant que les molécules de diazote qui frappent la surfacesy restent collées, montrer que la variation temporelle du nombre de molécules de ce gaz contenues dans lenceinte est donnée par une relation du type : NN2=N0N2exp−tτ oùtest le temps en seconde etNN02le nombre de molécules de diazote dans le réservoir à linstant initial. dune molécule de diazot On exprimeraτ en fonction deDet de la vitessevN2e.
III-2-En déduire la relation donnant la variation temporelle de la pression dairP(t) dans lenceinte. On poseraP0la pression dans lenceinte àt= 0.
III-3-Calculer le temps nécessaire pour diminuer dun facteur 3 la pression dans lenceinte ?
III-4- que la chaleur latente de vaporisation du diazote est égale à 5590 J.mole Sachant-1, calculer le transfert thermique échangé au cours de la variation de pression précédente. Donner la signification du signe trouvé pour ce transfert.
IV- Pompe à dilution
Parmi les procédés industriels utilisant les techniques du vide, on cherche non pas à faire le vide mais à extraire dun mélange gazeux une espèce chimique limitant le fonctionnement de linstallation, la pression totale restant constante. On évite ainsi lutilisation longue et coûteuse dun pompage sous vide poussé. Deux compartimentsC1etC2de volumesV1etV2, aux parois adiabatiques et indéformables, renferment respectivementN1 molécules dun gazG1 etN2 molécules dun gazG2 les mêmes conditions de dans températureT0 et de pressionP0deux gaz sont supposés se comporter comme des gaz parfaits.. Ces Louverture de la vanneRles deux compartiments permet le mélange par diffusion des deuxqui sépare gaz.
9
CompartimentC1
gaz G1 N1molécules
P0 T0
CompartimentC2
gaz G2 N2molécules
P0 T0
IV-1-Déterminer la températureTfet la pressionPffinales du système.
IV-2-La transformation est-elle réversible ?
D'après le théorème de GIBBS, l'entropie d'un mélange idéal de gaz parfaits est égale à la somme des entropies de ses constituants, à la même température, occupant tout le volume sous une pression égale à leur pression partielle. Calculer la variation dentropie∆Sfonction de la constante de Boltzmanndu système en kdeN1etN2. Pourquoi observe-t-on une augmentation de lentropie ?
IV-3-Que devient ce résultat si les gazG1etG2sont identiques ?
IV-4-Calculer, en fonction dePf,N1etN2, la pression partielleP11du gazG1après mélange.
Le mélange gazeux du compartimentC1est isolé par fermeture de la vanneRpuis à nouveau connecté au compartimentC2contenantN2molécules du gazG2pur, à la pressionP0et à la températureT0.
IV-5-Calculer la pression partielleP12du gazG1après le nouveau mélange, puisP1maprèsmopérations de mélange. On poserar=V1V+1V2. Combien de fois faut-il répéter cette opération pour réduire la pression en gazG1dun facteur 10 ? 100 ? Conclusion.
Fin de lénoncé
10
