Equations differentielles Cours no Approximation numerique
12
pages
Français
Documents
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
12
pages
Français
Documents
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
- cours - matière potentielle : introduction
Equations differentielles - Cours no 6 Approximation numerique 1 Introduction De tres nombreux problemes scientifiques sont mis en equation a l'aide d'un systeme d'equations differentielles x˙(t) = f(t, x(t)) (voir par exemple le mouvement a deux corps dans le cours d'introduction). Au moment de l'application numerique, il est necessaire (connaissant une valeur initiale) de pouvoir calculer une ou plusieurs valeurs x(T1), x(T2)... L'objet de ce cours est l'etude des methodes qui permettent d'operer ce calcul (a la main ou plutot a l'aide d'un ordinateur de nos jours). L'exemple le plus elementaire est la methode d'Euler : soit f ? C1(R?Rd), globalement Lipschitz en sa deuxieme variable. Pour calculer la solution au temps T > 0 du Probleme de Cauchy { x˙(t) = f(t, x(t)), x(0) = x0, (1) on subdivise l'intervalle [0, T ] en 0 = t0 < t1 < · · · < tN = T et, pour t voisin de tn, on utilise les approximations x˙(t) ' x(tn+1)? x(tn) tn+1 ? tn , f(t, x(t)) ' f(tn, x(tn)).
- approximation numerique
- proprietes geometriques de l'equation differentielle
- solution du probleme de cauchy
- methodes
- stabilite
- methode d'euler
- proche en proche
- probleme de l'elaboration de methode numerique
´ Equationsdiff´erentielles-Coursno6 Approximationnum´erique
1 Introduction Detre`snombreuxproble`messcientifiquessontmisene´quationa`l’aided’unsyste`me d’´equationsdiffe´rentielles x ˙ ( t ) = f ( t, x ( t ))(voirparexemplelemouvement`adeuxcorps danslecoursd’introduction).Aumomentdel’applicationnume´rique,ilestn´ecessaire (connaissant une valeur initiale) de pouvoir calculer une ou plusieurs valeurs x ( T 1 ), x ( T 2 )... L’objetdececoursestl’e´tudedesm´ethodesquipermettentd’op´erercecalcul(a`lamain ouplutˆota`l’aided’unordinateurdenosjours). L’exempleleplus´ele´mentaireestlame´thoded’Euler:soit f ∈ C 1 ( R × R d ), globalement Lipschitzensadeuxie`mevariable.Pourcalculerlasolutionautemps T > 0duProble`me de Cauchy xx ˙(( t 0))== xf ( t, x ( t )) , (1) 0 , on subdivise l’intervalle [0 , T ] en 0 = t 0 < t 1 < ∙ ∙ ∙ < t N = T et, pour t voisin de t n , on utilise les approximations x ˙ ( t ) ' x ( tt nn ++11 ) − tx n ( t n ) , f ( t, x ( t )) ' f ( t n , x ( t n )) . − Enreportantdansl’e´quationdiff´erentielle,onaboutita`lam´ethoded’Euler: x n +1 = x n + h n f ( t n , x n ) , o`u x n = x ( t n ) , h n = t n +1 − t n . ¸ 0 a` n =0,oncalculedeprocheenproche(re´cursivement) 1 , x 2 , En commencant avec x x etc.jusqu’`a x N quiestsens´efournirunevaleurapproche´ede x ( T ). On verra que, lorsque h := sup 0 ≤ n ≤ N − 1 h n → 0, x N → x ( T ). Cela montre l’existence d’une me´thoded’approximationnum´erique.Onvaaussir´epondreauxquestionssuivantes: existe-t-ildesm´ethodesarbitrairementpre´cise?Existe-t-ildesm´ethodesrespectantles proprie´te´sdel’´equation(syme´trie,conservation...)? Le plan du cours est le suivant. Dans le chapitre 2, on continue l’exemple ci-dessus en de´crivantd’autresm´ethodesd’approximationnum´erique.Danslechapitre3,onanalyse uneclassedesche´mas(sch´emasdits`aunpas).Danslechapitre4,on´etudiequelques me´thodessymplectiques.
1
