M8 LES SYSTEMES DE COORDONNEES

pages

Documents

Écrit par
Alain Robichon

Publié par
les_cours_d_alain

Lire

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres

pages

Documents

Lire

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres

Publié par

les_cours_d_alain

Nombre de lectures

Niveau: Elementaire
M8 : LES SYSTEMES DE COORDONNEES Page 1 sur 4 SYSTÈMES DE COORDONNÉES ; EXPRESSIONS DES OPÉRATEURS. I : Les coordonnées cartésiennes. 1°) Repérage d'un point. Un point M est repéré par ses coordonnées x, y et z dans la base orthonormée directe (ex l ,eyl ,ezl ). M O x z yex l ez l ey l dz dy dx Éléments différentiels de longueur: dx // ex l , dy // eyl , dz // ezl . Éléments différentiels de surface: dx.dy dans le plan (ex l ,eyl ), dydz dans le plan (ey l ,ezl ), dzdx dans le plan (exl ,ezl ). Volume élémentaire entourant M: d? = dx dy dz . 2°) Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes: zy ez e y fgrad GGG ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f f e x f = x ++ zy A Aiv z yx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ A A x = )(d ++G 2 2 2 2 2 2 z f + y f + x f = f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂? zyx eeeA GGGG )A()A()A( = zyx ?+?+?? ?? ? ? ?? ? ? ?

?? ?

?? ??

coordonnées cartésiennes

dr dy

opérateur

∂? ∂

?g ?g

Voir

Publié par

les_cours_d_alain

Nombre de lectures

M8 : LES SYSTEMES DE COORDONNEES SYSTÈMES DE COORDONNÉES ; EXPRESSIONS DES OPÉRATEURS. I : Les coordonnées cartésiennes. 1°) Repérage d'un point. Unpoint M est repéré par ses coordonnéesx, yetzdans la base z l l l dz orthonormée directe (e,e ,e ). x y z M l ll Éléments différentiels de longueur:dx,// edy,// edz //. el x yz e dx z dy l l O Éléments différentiels de surface:dx.dydans le plan(e ,e), x yl e xy l ll ll n(ne ,e(e ,e). dydzdans le play z),dzdx dansle plax ze y x dτx dy dz. Volume élémentaire entourant M:= d2°) Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes: fGfG∂fG∂Ay∂A∂ A x z⎧∂Ay A grad f= e+ey+ezdiv(A) =+ +z x -⎪ ∂x∂y∂z∂ ∂ ∂ xy z ∂y∂z ⎪ G ⎪∂A∂A rot(A) =-x z ⎨ 2 2 2G∂z∂x G⎪ ∂f∂f∂f Δ Δ+ Δ+ Δ∂ AA= (xeyezeA∂ )( A )( A ) Δf= + +x y z⎪yAx 2 2 2 -∂x∂y∂z ⎪ ∂x∂y ⎩ 3°) Complément : l'opérateur "nabla". G ∇ Onappelleopérateur nabla, noté,différentiel défini en coordonnées l'opérateur cartésiennes par : G G∂G∂G∂ ∇ ≡+ + exieyiezi. ∂ ∂y∂z Cettenotation de l'opérateur nabla permet de réécrire les autres opérateurs : G G G GG GG l ll ll ll ll Δ• •p =∇ ∇p• grad p =∇p rota =∇∧a =a div∇aΔ= a∇a LL'opérateur nabla n'est à utiliser qu'en coordonnées cartésiennes !II : Les coordonnées cylindriques. 1°) Repérage d'un point.z dz M Mest repéré par ses coordonnéesr (distance à l'axe Oz),θetz l ll dr dans la base orthonormée directe (erdθ r, eθ)., e z l e y z O Éléments différentiels de longueur: l l llx eθe ,rddzsuivant e.r drsuivantrθsuivant eθ,zθ M' e r OM' = r Éléments différentiels de surface: l ll ll l θ e ,e ),rd .dzdans (eθ, dr.rdθ, edans (eθ),dr.dzdans (r zez). r τ= Volume élémentaire entourant M:d(dr).(rd).(dz).

Page 1 sur 4

M8 : LES SYSTEMES DE COORDONNEES 2°) Expressions des opérateurs en coordonnées cylindriques. G2 2 ∂ ∂∂ ∂∂ fG1 fGfG1 1AθA∂ z1∂⎛ ∂f⎞1∂f f grad f= e+eθ+ediv(A) =(rA)+ +rz rΔf=⎜r⎟+ +∂ ∂θ∂zr∂ ∂θ∂z2 22 ∂∂ r r⎝r⎠r∂θ ∂z ⎧∂A A⎧⎡ ⎤∂A 1z∂θ1⎛θ⎞G Δ ⎜⎟ ⎪-⎪⎢A A+ 2⎥e r rr 2 r∂θ ∂z∂θ ⎝ ⎠ ⎪⎣r⎦ ⎪ GA∂A ∂ r z⎪ G rot(A) =⎨-G⎡1⎛∂A⎞⎤ rΔ Δ⎜ ⎟ ∂z∂rA =⎨⎢A A 2⎥e θ θθ ⎪ 2 ∂θ ⎪⎣r⎝ ⎠⎦ 1⎛∂ ∂A⎞ ⎪ r ⎜(rAθ) -⎟ ⎪ ⎪G ∂θ ⎩r⎝∂r⎠ ] ⎪[ΔAe zz ⎪ ⎩ III : Les coordonnées sphériques. 1°) Repérage d'un point. l z e l LIl n'existe aucune norme particulière pour le repérage et laeϕθM désignation des angles en sphériques : il convient donc à chaque fois de se reporter au schéma descriptif ! r e θ y O EnPhysique, on repère M par ses coordonnées r (r = OM),θl (colatitude) etϕ(longitude) dans la base orthonormée directeeϕϕ l l l xl e ). (er, eθ,ϕu Éléments différentiels de longueur: l ll drsuivant e,rdθ,suivant er.sin(θ).dϕ suivant e. rθ ϕ Éléments différentiels de surface: l ll ll l θ ϕ, ),dans (erθ.sin(θ).dϕdans (e, e). dr.rdθ, edans (eθ),dr.r.sin().dreϕθ ϕ r 2 Le volume élémentaire s'écrit:dτ= r.sin(θ).dr.dθ.dϕ. 2°) Expressions des opérateurs en coordonnées sphériques. ∂ ∂fG1∂fG1∂fG1∂1⎧∂Aϕ⎫ 2 +=d ( )( )+(sin(θ))+. grad f=e eθ+eϕ.iv A2r Ar⎨Aθ⎬ r ∂ θ∂θ ∂ϕ ∂rr∂θrsin(θ)∂ϕr.r rsin( ) ⎩ ⎭ ⎧ ⎛( .sin)∂⎞ ∂Aθ 1ϕAθ ⎜ ⎟ ⎪-rsinθ ∂θ∂ϕ ⎪ ⎝⎠ 2 ∂ ∂∂ ∂∂f(r.A) 1⎛2f⎞1⎛f⎞1G⎪1⎛1∂A∂ϕ⎞ . r Δf=⎜r⎜⎟ +sinθ⎟ +.rot(A) =⎜-⎟ 2 22 22⎨ ∂ ∂∂θ ∂θ r r⎝r⎠rsinθ⎝ ⎠r.sinθ ∂ϕrsinθ ∂ϕ∂r ⎪ ⎝⎠ ∂ ∂ ⎪1⎛A⎞ r ⎜(rAθ) -⎟ ⎪ r⎝∂r∂θ⎠ ⎩ G∂⎡ ⎛A⎞⎤ 2∂ϕG ΔAθAθ+e ΔA =⎢Ar⎜rsin( )+(θsin( ))⎟⎥r 2 rθ ∂θϕ ⎣⎢sin( )⎠⎥⎝ ∂ ⎦ ⎡ ⎛A∂∂Aϕ⎞⎤ ⎡⎛Aϕ∂∂A⎞⎤ 2θ2ArG2ArθG + Δ−θ+θ−+ Δθ−θ ⎢Aθ⎜sin () cos()⎟⎥eθ⎢A ⎜sin( )cos( )⎟⎥e 2 22 2 rsin (θ) 2∂θ∂ϕrsin (θ) 2∂ϕ∂ϕ ⎥ ⎢ ⎝⎠⎥ ⎢⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎦⎣

Page 2 sur 4

M8 : LES SYSTEMES DE COORDONNEES IV : Cas d'un système quelconque de coordonnées orthogonales. 1°) Base locale et facteurs métriques. 3 3 Dans×euclidien, une fois choisie une origine O, un point M affine∈×associé de est JJJJG G G G OM=x e+y e+z e façon univoque avec le vecteurx yz, pouvant également être défini dans un système de coordonnées orthogonales comme une fonction vectorielle de 3 variables notées q, 1 q etq . 2 3 G GG u Ces coordonnées permettent de définir labase orthonorméenotée (u1,2,u3) définie par : JJJJG JJJJGJJJJG ∂OM∂OM∂OM G∂qG∂qG∂q 1 23 = = 1=JJJJG ;u2JJJJuJJJJG ;u3G ∂OM∂OM∂OM ∂q∂q∂q 1 23 JJJG JJJJGJJJJG ∂OM∂OM∂OM Parla suite, on notera par N, N, Nlesnormeset ,définissant lesde , 1 2 3 ∂q∂q∂q 1 23 facteurs métriquesla transformation entre le système rectiligne (x, y, z) et le système de curviligne (q, q, q). Ils sont fonctions de la position du point M. 1 2 3 Onappellerepère local, le repère ayant pour origine le point courant M et pour base les 3 G GG u vecteursu1,u2et3. Les facteurs métriques peuvent aussi être déterminés d'après les déplacements élémentaires : JJJJG G A partir du point M, un déplacement élémentaired OM=drest : G GG G∂r∂r∂rG GG G dr=N dqu+N dqu+uN dq dr=dq+dq+dq3soit encore :3 32 231 21 1(IV 1). 1 2 ∂q∂q∂q 1 23 ⎧N dq 1 1 JJJJG ⎪ = d OM⎨N dq. Leséléments de longueur élémentaires sont ainsi dans le repère local :2 2 ⎪ N dq ⎩3 3 2°) Expressions des opérateurs en coordonnées curvilignes (q1, q2, q3). Opérateur gradient : ∂ ∂∂ l lpp p dp=dq+dq+dq Onpart de dp= grad (p) .dOM , avec1 2 3∂q∂q∂q 1 23 JJJJJG 1∂G grad= ∑ Al'aide de l'équation (IV 1), on obtient :p ui. iNi∂qi l l Opérateur A.grad : GG JJJJJG G G Ga i ∑ Avec le vecteurA=a1u1+a2u2+a3u3, on a comme pour le gradient :Aigrad≡. iN q i i Opérateur divergence : JJJJG G GG GG G En utilisantdiv(a)=gradi(a), aveca=a1u1+a2u2+a3u3, on obtient : G G1∂G G GG1∂GG G G1∂G G G = ++ ++ ++ ++ div(a)u1.[a1u1a2u2a3u3]u2.[a1u1a2u2a3u3]u3.[a1u1a2u2a3u3] N∂q N∂q N∂q 1 12 23 3 3 ∂ ⎡a⎤ G1i div(a)=NN N soit encore :∑⎢1 2 3⎥. N NN=∂q N 1 2 3i⎣i⎦ i1

Page 3 sur 4

M8 : LES SYSTEMES DE COORDONNEES Opérateur rotationnel : JJJG JJJJJG G G Enutilisantrot(a)=(grad∧)a, on obtient : JJJG G1G∂G G G1G∂G G G = ∧+ ++u∧a u+a u+a u rot(a)u[a u1a2u2a3u3]2[1 13] 1 12 23 N∂q N∂q 1 12 2 , 1G∂G G G +u∧[a u+a u+a u] 3 11 22 33 N∂q 3 3 quiconduit à : ⎧1∂ ⎤⎡ ∂ ( )( ) ⎪ ⎢N3a3−N2a2⎥ G G G N N∂q∂q N uN uN u⎦⎪ ⎣ 2 32 3 1 12 23 3 JJJG G1∂ ∂ ∂⎪1⎡ ∂∂ ⎤ rot(a)=( )( ) , de composantes :⎨N1a1−N3a3⎥. ⎢ N NN∂q∂q∂qN N∂q∂q ⎪ ⎣⎦ 1 2 31 2 33 13 1 ⎪ N aN aN a 1∂ ⎤⎡ ∂ 1 12 23 3 ⎪ (N a)−(N a) ⎢2 21 1⎥ ⎪N N∂q∂q ⎩ ⎣⎦ 1 21 2 Opérateur laplacien scalaire : JJJJJG Par définition, on aΔp=div(grad(p)), qui conduit à : 3⎛ ⎞⎤ 1∂NN N∂ 1 2 3 Δ =⎜ ⎟⎥ ∑2 p. 1 2 31∂ ⎜( )∂ ⎟⎥ N NNi=qiNiqi ⎝ ⎠⎦ Opérateur laplacien vectoriel : G G G G a u Pour le vecteur=1 1+a2u2+a3u3, au lieu du scalairep, on obtient : 3⎡ ⎛3⎞⎤ G G∂ 1N1N2N3G Δ =⎢ ⎜⎟⎥ ∑2∑ A au. j j ⎢ ∂⎜ ⎟⎥ N1N2N3i=1qi(N)j=1 i ⎣ ⎝⎠⎦ 3°) Tableaurécapitulatif pour les trois systèmes de coordonnées : coordonnées variablesbase localedépl. élémentairefact. métrique s= = cartésienneq1xexdr=dx N1 1 1 G =e= = q2yydr dyN212 G q=zedr=dz N=1 3z3 3 G cylindriquesq=redr=dr N=1 1r1 1 G = == q2eθdr2rdN2rG q=zedr=dz N=1 3z3 3 sphériquesq=redr=dr N=1 1r1 1 G =θ θ q2eθdr2=rdN2=rϕ q3=edr3=rsin( )dϕN=rsin( ) 3

Page 4 sur 4

Voir