Le rayonnement du dipôle le modèle de l'électron élastiquement lié
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Niveau: Elementaire
RAYONNEMENT DU DIPÔLE. Page 1 sur 7 RAYONNEMENT D'UN DIPÔLE OSCILLANT. I. Le cadre de l'étude. 1°) Modélisation de la source de rayonnement. ? Dipôle élémentaire. On a déjà étudié dans le cadre de l'électrostatique le dipôle électrique, modélisé comme un ensemble de deux charges Q et –Q, placées respecti- vement en P et N, distantes de a. On a établi les expressions du potentiel électrique et du champ E créés à grande distance par ce dipôle (cas où r a?? ), qui font intervenir le moment dipolaire électrique : zp QNP Qae. De tels dipôles peuvent exister spontanément dans la matière ou encore être créés par un champ électrique appliqué au milieu, du fait d'une séparation des barycentres des charges positives et néga- tives. On généralise le concept de moment dipolaire à des dipôles « non rigides », pour lesquels la dis- tance a peut dépendre du temps. Le moment dipolaire instantané s'écrit alors : ( )p Qa t . ? Le dipôle de Hertz. On appelle dipôle de Hertz un dipôle électrique oscillant, caractérisé par un moment dipolaire électrique dépendant sinusoïdalement du temps. En représentation complexe, on peut écrire : 0 j tp p e . Un tel dipôle peut être vu comme l'ensemble de deux charges +q et -q données séparées d'une dis- tance variable oscillant dans le temps, ou encore de deux charges fixes (distantes de a donné) mais va- riables dans le temps : q(t
Voir
RAYONNEMENT DU DIPÔLE. Page 1 sur 7 RAYONNEMENT D'UN DIPÔLE OSCILLANT. I. Le cadre de l'étude. 1°) Modélisation de la source de rayonnement. ? Dipôle élémentaire. On a déjà étudié dans le cadre de l'électrostatique le dipôle électrique, modélisé comme un ensemble de deux charges Q et –Q, placées respecti- vement en P et N, distantes de a. On a établi les expressions du potentiel électrique et du champ E créés à grande distance par ce dipôle (cas où r a?? ), qui font intervenir le moment dipolaire électrique : zp QNP Qae. De tels dipôles peuvent exister spontanément dans la matière ou encore être créés par un champ électrique appliqué au milieu, du fait d'une séparation des barycentres des charges positives et néga- tives. On généralise le concept de moment dipolaire à des dipôles « non rigides », pour lesquels la dis- tance a peut dépendre du temps. Le moment dipolaire instantané s'écrit alors : ( )p Qa t . ? Le dipôle de Hertz. On appelle dipôle de Hertz un dipôle électrique oscillant, caractérisé par un moment dipolaire électrique dépendant sinusoïdalement du temps. En représentation complexe, on peut écrire : 0 j tp p e . Un tel dipôle peut être vu comme l'ensemble de deux charges +q et -q données séparées d'une dis- tance variable oscillant dans le temps, ou encore de deux charges fixes (distantes de a donné) mais va- riables dans le temps : q(t
- appelées potentiels retardés
- charge
- solution de l'équation
- tour des ondes électromagnétiques
- dipôle
- moment dipolaire
- équation polaire
- rayonnement du dipôle
- dépendant sinusoïdalement du temps
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Français
RAYONNEMENT DU DIPÔLE. RAYONNEMENT D’UN DIPÔLE OSCILLANT.
I.Le cadre de l’étude.1°) Modélisation de la source de rayonnement. Dipôle élémentaire. On a déjà étudié dans le cadre de l’électrostatique le dipôle électrique, modélisé comme un ensemble de deux chargesQet–Q, placées respecti-vement enPetN, distantes dea. On a établi les expressions du potentiel électrique et du champ créés à grande distance par ce dipôle (cas où ), qui font intervenir le moment dipolaire électrique : . De tels dipôles peuvent exister spontanément dans la matière ou encore être créés par un champ électrique appliqué au milieu, du fait d’une séparation des barycentres des charges positives et néga-tives. On généralise le concept de moment dipolaire à des dipôles « non rigides », pour lesquels la dis-tanceapeut dépendre du temps. Le moment dipolaire instantané s’écrit alors: . Le dipôle de Hertz. On appelle dipôle de Hertz un dipôle électrique oscillant, caractérisé par un moment dipolaire électrique dépendant sinusoïdalement du temps. En représentation complexe, on peut écrire : .
Un tel dipôle peut être vu comme l’ensemble de deux charges+qet-qdonnées séparées d’une dis-tance variable oscillant dans le temps, ou encore de deux charges fixes (distantes deadonné) mais va-riables dans le temps :cos(q(t) = q t). 0 L’une ou l’autre de ces interprétations du dipôle de Hertz permet une descrip-tion du rayonnement électromagnétique à partir du mouvement d’oscillation des charges électriques autour de leur position moyenne. En mettant un grand nombre de dipôles élémentaires de ce type bout à bout, on modélise ainsi un fil conducteur parcouru par un courant variable, c'est-à-dire une antenne. Ainsi, le dipôle de Hertz est à la base de la description du rayonnement des an-tennes. La dépendance temporelle sinusoïdale du dipôle de Hertz ne limite en rien l’intérêt de l’étude, puisque l’on sait que toute évolution temporelle peut se ramener, par une analyse de Fourier, à une somme de fonctions sinusoïdales. 2°) Les potentiels retardés de Liénard-Wiechert. Les phénomènes électromagnétiques ne se propagent pas instantanément, mais avec une vitesse fi-nie (c dans le vide). Par suite, en un pointMà la distancerde la distribution de charges et à l’instantt, les potentiels ne peuvent pas correspondre aux charges et courants au même instant. S’il a fallu un tempsr/c(oùr = PM) pour que la perturbation parvienne en M, on admet que les potentiels corres-
pondent en ce point aux distributions qu’avaientet
à l’instant
.
On établitqu’en régime variableet enjauge de Lorentz, les solutions des équations aux potentiels sont appeléespotentiels retardés(ou potentiels deLiénard-Wiechert), donnés par :
et
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.
.
par
-La condition r >> a permet d’écrire :
est
faible devant la période T. II. Le rayonnement dipolaire électrique. 1°) Expression du champ électromagnétique rayonné. Prenons pour image du dipôle de Hertz le cas d’une charge–qen un point mobileN, de vitesse, au voisinage d’une charge+qfixe placée enO. Repérons le pointMpar ses coordonnées sphériques , le vecteur moment dipolairedu dipôle étant porté par l’axeOz. Le plan contenant l’axeOz et est plan de symétriele vecteur pour les sources. vecteur axial est perpendiculaire au plan . est donc azimutal,pa-
On admet que les solutions des équations aux potentiels retardés décrivant le dipôle conduisent aux expressions des champs et du type :
tardét’tel que
, et
est la dérivée temporelle du moment dipolaire
où
, à calculer à l’instant re-
,
3°) Zone de rayonnement ; les approximations. On cherche des solutions données par les potentiels retardés, pour le champ créé par un dipôle os-cillant, d’extension géométriqueaau voisinage d’un point fixeO, en un pointMsitué à la distancer = OM. Soitla longueur d’onde du champ rayonné par le dipôle. Le problème sera traité dans le cadre suivant :
car l’écart
Discussion : L’approximation non relativiste consiste à considérerla vitesse de la charge du dipôle oscillant
1. On se place dans le cadre del’approximation dipolaire: 2. On se place dans l’approximationnon relativiste: 3. On se place dans lazone de rayonnement, définie par :
; ; .
, soit
.
, et
rallèle au vecteur
.
RAYONNEMENT DU DIPÔLE.
vecteur polaire, estcontenu dans ce plan.
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comme négligeable devant c, soit
La zone de rayonnement correspond aux conditions courantes de perception des ondes en optique, des ondes radio de la bande FM, ainsi que la bande « Grandes Ondes ».
.
-La condition a <<autorise à remplacer le retard
Il découle des expressions précédentes quela structure de l’onde rayonnée
Cette approximation locale de l’onde plane donne réalité au modèle de l’O.P.P.H. utilisée pour décrire les ondes. 3°) Puissance électromagnétique rayonnée. Vecteur de Poynting. Le vecteur de Poynting s’écrit pour le champ du dipôle de Hertz dans la zone de rayonne-
électrostatique, qui varie comme
,
2°) Structure du champ rayonné par un dipôle oscillant.
Comparons en ordres de grandeur les différents termes :
ment
Dans la zone de rayonnement
et
et
), le terme prépondérant pour
.
RAYONNEMENT DU DIPÔLE.
, on obtient les expres-
et celui
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. En ne conservant que le terme prépondérant pour
sions approchées :
est celui en
- est proportionnel à , donc àl’accélération de la particule rayon-nante, - présente localement une structured’onde plane progressive, se propageant radialement à partir du dipôle : . Le rayonnementn’est pas isotrope.du fait du facteur en
, soit
), le champ électromagnétique
pour
en
-décroîtcomme
Dans la zone de rayonnement créé par le dipôle de Hertz :
, contrairement au champ électrique produit par un dipôle
.
par ce dipôle est localement plane. On a en effet
RAYONNEMENT DU DIPÔLE. Puissance rayonnée par unité de surface La puissance moyenne rayonnée par unité de surfacesur une sphère de rayonrest :dans la direction
.
Cette expression montre quele rayonnement d’un dipôle n’est pas isotrope: la puissance rayonnée est nulle dans la direction du dipôle et maximale dans le plan équatorial. Indicatrice de rayonnement. On peut rendre compte de l’anisotropie du rayonnement dipolaire en traçantl’indicatrice de rayonnementdéfinie comme le lieu des points
Qtels que
.
Dans le cas du rayonnement dipolaire, on obtient une surface de révolution dont une méridienne a pour équation polaire : . Puissance totale rayonnée. La puissance moyenne totale rayonnée s’obtient par intégration sur toutes les directions de la puis-
sance moyenne rayonnée à travers une sphère de rayon r. On donne
, soit
La puissance moyenne totale rayonnée s’écrit
.
.
Ladistance d’observation n’intervient pas(d’où la possibilité de propager de signaux sur de grandes distances).
Remarque : Il est remarquable que la puissance moyenne rayonnée soit indépendante du rayonrde la sphère. Ceci vient directement de la décroissance des champs en 1/r et montre que cette décroissance n’est pas liée à un phénomène d’absorption, mais à la répartition de la puissance sur une surface qui croît
2 comme r . En remplaçant
par
, il vient
.
III. Diffusion du rayonnement électromagnétique. 1°) Rayonnement d’une charge accélérée. Les expressions précédentes de la puissance moyenne totale rayonnée montrent que cette puissance est liée à l’accélération de la particule chargée mobile.Réciproquement, toute charge accélérée libère de l’énergie par rayonnement électromagnétique. Reprenons l’exemple simple du dipôle oscillant formé d’une chargeqmobile se déplaçant sur l’axe Ozau voisinage d’une charge–qfixée enO. La charge mobile est repérée par sa cotecos(Z = z t). 0 Le moment dipolaire de cette distribution vaut : .
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La puissance moyenne rayonnée s’écrit alors
RAYONNEMENT DU DIPÔLE.
.
La dernière expression, faisant intervenir l’accélération de la charge constitue la formule de Larmor, qui donne la puissance rayonnée par une particule non relativiste. 2°) Notions sur la diffusion Rayleigh. Le champ du rayonnement émis parle Soleil interagit avec les molécules de l’atmosphère qui se comportent alors comme des dipôles électriques induits. Ces dipôles oscillants rayonnent à leur tour des ondes électromagnétiques dans toutes les direc-tions.On dit que la lumière du Soleil est diffusée.Le modèle de l’électron élastiquement lié.On étudie l’interaction atome –rayonnement, dans le cadre de la mécanique classique, à l’aide du modèle phénoménologique dit : Le modèle de l’électron élastiquement lié,pour lequel : 1. Les différents électrons des molécules de l’atmosphère peuvent être traités indépendamment. 2. Chaque électron est modélisé comme un oscillateur harmonique amor-ti.L’électron est soumis à uneforce de rappelde la forme , qui rend compte de l’effet du déplacement de l’électron sur le champ électrique qu’exercent sur lui les noyaux de la molécule et les autres électrons. L’électron est soumis en outre à uneforce de frottements fluidesrend compte des diverses qui causes d’amortissement.Typiquement, on a : .
Modélisons la lumière venant du Soleil par uneO.P.P.H. de pulsation (compris entre étant 15 15 2.10 rad/s et4.10 rad/spour la lumière visible). L’électron est soumis à la force de Lorentz. Pour l’O.P.P.H. solaire, on a= E /, et en supposant les électrons non rela-S S tivistes, la force magnétique est négligeable devant la force électrique. D’autre part, l’électron reste lié au noyau et se déplace au plus de0,1 nm. Les longueurs d’onde du spectre visible étant de l’ordre de500 nm, on peut considérer le champ électrique solairecomme uniforme à l’échelle du déplacement de
l’électron et écrire
.
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l’électron s’écrit dans ces conditions: . On cherche la réponse en régime harmonique forcé de pulsationen passant par la représentation complexe (équation différentielle linéaire à coefficients constants) :
On établit que :
.
Dans la pratiqueest dans l’ultraviolet lointain, de sorte qu’on a:<<. 0 0
Le moment dipolaire induits’écrit alorssous la forme simplifiée :
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.
Lapuissance rayonnée par un tel dipôle s’écrit :
.
,qu’on peut
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, carl’écart
.
.
Dans la zone de rayonnement (
encore écrire
RAYONNEMENT DU DIPÔLE.
(approximation non relativiste)permet d’écrire:
. D’où
On note
Pourquoi le Ciel est-il bleu et le Soleil couchant (ou levant) rouge ? 4 4 La puissance rayonnée varie comme, soit encore comme1/. Cette diffusion est appeléediffusion Rayleigh: dans le spectre de la lumière vi-sible, l’atmosphère diffuse nettement plus les radiations bleues que les rouges (envi-ron 16 fois plus), ce qui explique la couleur bleue du ciel et la couleur rouge du so-leil à son coucher ou à son lever. 3°) Polarisation par diffusion. La lumière du Soleil n’est pas polarisée (cf «Le mo-dèle ondulatoire de la lumière ») et son champ élec-trique vibre perpendiculairement à sa direction de pro-pagation, suivant (figure ci-contre). On peut alors décomposer en deux composantes et polarisées rectilignement dans deux direc-tions perpendiculaires et présentant entre elles un dé-phasage aléatoire. Ces champs engendrent des moments dipolaires induits oscillants et . Pour un observateur situé suivant la direction , le champ électrique diffusé est uniquement dû au dipôle et est dirigé suivant: cette lumière diffusée est donc polarisée rectilignementComplément HP. Le champ du dipôle dans la zone de rayonnement. 1°) Expression approchée du potentiel vecteur. On part de l’expression du potentiel vecteurAcréé par le dipôle de Hertz donné par les potentiels
avec
, qu’on notera
), on peut écrire
.
. Dans le casd’undipôle oscillant sinusoïdal :
par la suite :
A:
.
. L’hypothèse
, d’où l’expression approchée de
Ainsi :
On a
retardés de Liénard–Wichert. Le vecteur densité de courant s’écrit ici:
.
RAYONNEMENT DU DIPÔLE. 2°) Expression du potentiel scalaire électrique. Le potentiel électriqueV(M,t)se déduit deAen exploitant la jauge de Lorentz :
Or
, avec
car
, qui conduit à :
.
. En intégrant par rapport au temps, il vient :
, oùCsteest une constante temporelle correspon-
dant au potentiel créé par une distribution statique de charges : on la prend nulle ici, car on ne s’intéresse qu’au problème du rayonnement.
On obtient finalement :
Remarque : . 3°) Expression du champ d’induction magnétiqueB.
Bse déduit deAà partir de :
Or :
Dans la zone de rayonnement (
, soit
), on a
, qui s’écritaussi
4°) Expression du champ électriqueE.
. Il reste
Es’écrit en fonction des potentiels à partir de la relation:
Dans la zone de rayonnement (
Il reste
), on a
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.
.
, qui conduit à :
.
.
, qui conduit à :
.
.
.
