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Ce devoir plus difficile est accompagné de nombreuses indications dans les deux premières parties. Les deux suivantes sont facultatives.
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?l?menr?ellenaa=n(queaartien?)auna2=0suitetest8ultimemenvt2p??rioladiquelelorsqu'elleRestolyn?mep+?rios?riediquesuite?)partirlad'un2certainindic.rang,(c'est-?-direpartirs'ildique.existennp0(2trerqu'uneRetositif.pQue2fractionditd?1tels+que-:con(RRest-elle)18=n=2DevOnsinon.;?nendesn20:)etita(nt+param?trespa=?aunende:-(L'enntierPpbestdeunes?riepest?rion?cessairede?de?lacettesuitecas(ona+nn)ankqnT0n).raOn>notelaUd'uneP)l'ensem?riobleIdessuitesuitesparultimemen1t;p+?riondiques=dear?els.aL'obtjetydusommeprobl?menestlesd'?tudierfairquelquesIpropri?t?stenan?l?menntaires1depluscestiersuiteslaetnle7caract?re-pultimemenbientsusenpparfaitemen?rioindic.diquep?vonstruirenouiltuelexcplicitedediquesuites?simples.euvePaartienI-deI.AI.C.1)-aMonettreryquevUdePti?reestxuntsousquelleespacesusanvest-ilectoriel1deaut-ill'espaceMon25/11/2009sommediestdesDanssuitesunr?elles.indic.Est-ilourrdeoupdimensionXnien?nindic.n:xon1pnourr1anrxaisonnerqpXarnl'absurti?redeonetergencemontr,ersommeque?s'ilRexistaitrationnelle.uneab2asetnie?deIU-Pd?nitdeFc2arFdinal;d1,2densuitesnrnesp(enctivementapsi1pair;=:suite:):est-elle;?riopledde-etpla?rioXdiquesna.p.c.r,?alorsemiersPavant=unedencY-id?nit=1lapniM.ser0ait8unelepp?rioende?deduqueltoutesuitesuiteade)U2Pdevien.pI.B?rio-ComSoitdear?els=t(d?niratn?):n'h?sitez2asecune?l?menbrtlondesuiteUultimementP?rioetavantPr(digerapr)I.Cl'ensemSoitble=desaen)tiers2punt1Utels.queMonlaquesuiteestaorn?eadmettequepraponourconpergence?rioadela?enpartirXd'unncertainnrang.strictemenI.B.1)pMon?trerconditionqu'iletexisteteunaen?galtier+T?v1sinon(queI.C.2)l'ontrerapplaelleradelas?riepune?riorationnelle.dequeldeest-ceap)?tel:quep:aPc(era1)n=acrx=T0=Xf=0knTn;+kX2=0mer0TgX:=Que0pneut-onkdire+deI.DlaSoitsuitealorsquexTune=en1de?yindic.de:vpRour0l'xistencdoneladeestTrestriction,]on;p[ourrfractionaLautiliser(lenfaitnquentouteultimemenppartiediquenonPvideIde-leI.AExempleadmetOnunlaplus(pnetitn?l?ment.MaisonOn:p0ourr0aFensuite=fairetenlaoirdivisionFeuclidienne+2pFar+1TFdeettoutsuite?l?mentade)P2(paran)0.FI.B.2)estMonettrernqu'il1existeLaun(plusnpnetitRogerenultimementierpndique0D?terminertelraqueon:con8ergencenla2deours?rie;ti?renaxn.0:)crivezaprptermes;suites,2de=enracurrne=I.BnExemple1Onpmainourttoutsuitepa2)P2(paraa)=,etnn0estna+nTa=eta2n+1:aMon:trerque,N
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oursomme.FInI.B.2).TxrouvourerFunesurrelation=lianttonSv(onx-)-et2S2(fx:2b)tenan.D?terminerEn2d?duireIque,)pd?nieourtftouttxde,txf2.](1suite;X1[our,xS:(px+).=suivlimdansn.!x+Isa1olyn?mesnpY(kf=0de(1xx=(2dt:kqui)F)est:.IcetteI.B.3)supp?tudier,notepxour(nMondonn?adansdeI.B.2),Elimourx+1!Mon1ti?rejSx(:xSoit).(1,xet)2nj-etquestionen=d?duiredequete.(1aMonnla)(n(2PergenceFn'estform?pasplusultimemen:t!p;?rioPdique.estIEI.CF-dansExemple:3.Soitxxx=taIbdeuntoutrationnelassostrictemennot?etquepapplicationositif,dansdonn?Isousconsid?reformeunirr?ductible.deOnbd?nitetdeux=suites1d'ensuptiersj()rInque,)xnj2)vxetI(d?nitdtsnf)et,nn2fconLpar):que,ndet0en=nEj(nx:)n(partieIenunti?re)deettrerrtout0nestsurlenreste(supdejlaxdivision=euclidienneIdeprendadanspardansbtes.,lapd?nieourquestiontoutInfonctionsf1I,que,rnnet(resp.fd)nn))estI.Dlepresteon(resp.leledequotienfonctionst)degr?de.laOndivision:euclidienneFdep10(:r)n01Qparquebt.deI,I.C.1)noteDansl'applicationcettenotequestionOn(uniquemenpart),8x2=;22(7).ZD?terminer0d(0);IdI.A1L'application;E:?:?l?men:f;ciedest10L.V?rierILI.C.2)uneMonlin?airetrerEqueElaIsuiteI.B(Onrdansnquestion)?l?mennf2Edeos?estorn?ultimemenntonpM?riokdique.kQu'en;est-il=dex(ndfnx)jnI2I.B.1)ontrer?pItoutI.C.3)deMon,trerFque,xpjourMtout2n:2IyOnune,d'?l?men0depard0nfp9tout.deI,I.C.4)n?tablir=l'?galit?(:nx.=trerEp(toutxde)+tout+de1,Xfn(=1)dn2102n4::indic.2:MonIpI.B.3)ourrIasegmenmontrquelconqueers?riepMonarquerour?ncurrfencesteorn?esurIklim2!ra1xqueIxf=(E)()x0)I+I.CkOnXmainnt=1cettedetnles10annf+sinretkconsid?re10suitekfonctions:bcomme.laLpr?c?denaIsuiteI.C.1)dulesdevoirfestetfacultative2PIartieI.C.2)ItrerSp,toutnde()tout(2de+IfI+1-xLe=butnde1)cettenpartiexestxdefmon1trerxque:leIr?el-ourn'est2pas,unnote?l?menptsous-espacedeectorielleE.desEp=deCau1p(ID?terminerI.D.1);d?nitI.B.1)H)Festl'espacepdesFfonctionsdepclassePCQ17!dePIQ;automorphisme+F0V?rierpH2un?l?mendedansplui-m?me.FP.ourtoutNN
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pas))A2)que=existeAdique+Sque.telsIersIpasI.D.3)sin(Oncertainconsid?retrerla+suite2dequefonctions0(Soitfkncos())nou2EnHr?elsd?nieTdans)ladequestionpItIinf?rieureI.C.=Monosantrertsque<ppour<touttsnl'existencedelaque2,Iilsuiteexiste)untiercouple,uniquesoitdesuitefonctionsestPositifsnSoitetpairesQ;ngdeunFanl'ensem,=PdesnGpaireoss?deetOnQMonnIV.B.4)impaire,Gtelles0quetrouv:08gxEn2IV.C.1)trer2;Gf10nConstruire(vx-)tiers=2Pnnerge(quex))desinIV.D.2)xte+deQultimemenntout(supx?)signecosTx:t.D?terminerquePkn2etos?eQtnpartirpIV.Bour=n2=f0k;n;1fonctions;IV.B.1)2G.eI.IbleI.D.4)=MonIV.B.2)trerGque,\p(ensemourtstoutositifsnMon2+Monb.etosetout+xque2parimpaires.n'est,tP.na+1mon(pxdeux)et=G(2an<+a1)aPIV.Cntrer(toutx,)nxque2nP.nun1suite(Gxt).:MonEnsuited?duireositifsque)lestellefonctions(cos(P))nconsonerstMondesblepnolyn?mesn?descosuiteeciencardinaltsalorsenttiers.yIIIkI.E2S-pOn3suppenosekici?rieurque?galleNr?elledeestk?l?men)tconstandeIV.A.2)fonctionsd?duire,laensem(cos(bleTdesknomFbrescomprationnels.deSoitstrictemendoncpp??l?mend'untrang.de-desGetdeq+?l?ment=denTcelui2telsque(k=2p2q..MonIqueIestI.E.1)sous-groupMonadditiftrerdesqueExiste-t-illa2suitetelG(2aq?)OnnoseP+nG(S2ble)?l?menstrictemennp2deA).esttreruneGsuitepd'enunetiers.orneQuelleaestIV.B.3)sasupplimitea?GI.ItrerI.E.2)GEnad?duire.queadoncn'est?l?menpasderationnel.+PSuppartietIV>-,Soittrer(l'onaeutner)?l?menng2gpardela+suitequed?nie<par,0pgour2tout.nd?duirede=,.-,Monaque,nour=n1d?signesiilsingn2>tel00,ga<nn=IV.C.2)0xsinon.r?el.Leunebutd'?l?mendedecetteconpartieergeanestvd'?tudierxsiIV.DcetteIV.D.1)suitetrer?d'unevd'enaleurspen(ti?resnestn?l?menOntquedesuiteUkPT.nIV.AI.D.2)-vOnvsupp1ose.quetrercettel'ensemsuitefestkultimemenTt;p2?riogdique.termesIV.A.1)cetteMonn'esttrerdepni.telleConstruirelaunedestrictemenycroissanT(nn(n21extraite.(Lan(nnnqu'ilqueexistelimiteun(cos(enntier))N2etsoitun2enIV.D.3)tiersuitestrictemenat)p2ositifest-elleTttels?rioque,?pour