CPGE Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Masse et inertie des Solides
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Niveau: Elementaire
CPGE / Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Masse et inertie des Solides : C21 masse et inertie des solides.doc- Page 1 sur 5 Créé le 19/10/2010 –Rév 21/10/2010 M S a le t t e - L y c ée B r iz e u x - Qu im p e r MASSE ET INERTIE DES SOLIDES 1- Masse d'un système matériel Soit un système matériel E. En tout point M de ce système, on associe à un volume élémentaire dv un scalaire positif dm tel que dvdm M .)(?= où )( M? est la masse volumique en ce point. En supposant que )( M? varie continûment on peut exprimer la masse mE du système matériel de la façon suivante : ∫∫∫∫ ?? == EM MEME dvdmm .)(? L'unité de masse est le kilogramme. 2- Centre d'inertie d'un système matériel Définition du centre d'inertie: On appelle centre d'inertie d'un système matériel (E), le point unique G défini par la relation : ∫ ? =EM dmGM 0 r Position du centre d'inertie: Soit un point O quelconque, alors 0 )( r=+=+= ∫∫∫∫ ???? dmOMdmGOdmOMGOdmGM EMEMEMEM D'où : dmOMOGm EME ∫ ?= En appelant xG , yG, zG les composantes du vecteur OG et x, y, z celles de OM , la relation précédente se traduit analytiquement par les trois relations suivantes : dmxxm
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CPGE / Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Masse et inertie des Solides : C21 masse et inertie des solides.doc- Page 1 sur 5 Créé le 19/10/2010 –Rév 21/10/2010 M S a le t t e - L y c ée B r iz e u x - Qu im p e r MASSE ET INERTIE DES SOLIDES 1- Masse d'un système matériel Soit un système matériel E. En tout point M de ce système, on associe à un volume élémentaire dv un scalaire positif dm tel que dvdm M .)(?= où )( M? est la masse volumique en ce point. En supposant que )( M? varie continûment on peut exprimer la masse mE du système matériel de la façon suivante : ∫∫∫∫ ?? == EM MEME dvdmm .)(? L'unité de masse est le kilogramme. 2- Centre d'inertie d'un système matériel Définition du centre d'inertie: On appelle centre d'inertie d'un système matériel (E), le point unique G défini par la relation : ∫ ? =EM dmGM 0 r Position du centre d'inertie: Soit un point O quelconque, alors 0 )( r=+=+= ∫∫∫∫ ???? dmOMdmGOdmOMGOdmGM EMEMEMEM D'où : dmOMOGm EME ∫ ?= En appelant xG , yG, zG les composantes du vecteur OG et x, y, z celles de OM , la relation précédente se traduit analytiquement par les trois relations suivantes : dmxxm
- inertie des solides
- ∫∫∫∫ ???? dmomdmgodmomgodmgm
- centre d'inertie
- sciences industrielles pour l'ingénieur masse
- solide définitions
- og ?
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MASSE ET INERTIE DES SOLIDES
1- Masse d’un système matériel Soit un système matériel E. En tout point M de ce système, on associe à un volume élémentairedun scalaire positifdmtel quedm(M).dv où es En su(Mp)pcentoiueiqn ev esmuloal tsam arie conue vopastnq . lar merixp etuep no tnemûnitR (M) massemEsystème matériel de la façon suivante :du mE∫MÎEdm∫∫∫MÎE(M).dv
2- Centre d’inertie d’un système matériel Définition du centre d’inertie: On appelle centre d’inertie d’un système matériel (E), le pointuniqueG défini par la relation :
1 ∫M EGM dm0 Î
O
(E)
(E)
M(masse dm)
M(masse dm)
G R O Position du centre d’inertie: Soit un point O quelconque, alors ∫MÎE 1∫MÎE(#)1∫MÎEd#∫MÎEOM dm10mE OG1∫MÎEOM dm GM dm GO OM dm GO m En appelant xG y ,G, zG composantes du vecteur lesOG et x, y, z celles deOM, la relation précédente se traduit analytiquement par les trois relations suivantes :mE.xG∫Ex.dm mE.yG∫Ey.dm mE.zG∫Ez.dm Associativité: Soit un système matériel E constitué de plusieurs sous-systèmes disjoints Ei de masse mi de centre de centre d’inertie G eti, alors : i∑1n1mi OG1i∑1n1mi OGiG1G G2 Symétrie matérielle: Si un système matériel possède un élément de symétrie matérielle (symétrie du point de vue géométrique et de la répartition des masses) tel qu’un plan ou un axe, alors le centre d’inertie appartient à cet élément. Avant tout calcul, il est vivement recommandé de rechercher l’existence de tels éléments.
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3- Moments d’inertie d’un solide Définitions Soit un solide (S) de massem. Y On appellemoment d’inertie du solide S par rapport à un point A, la quantité positive : 2 IA(S)1∫MÎSAM dm
On appelle moment d’inertie du solide S par rapport à un axeA,≅, la quantité positive I≅(S)1∫Î(≅ÙAM)2dm A M S
1HM dm1 dmd M soit encoreIA≅(S)∫MÎS2∫MÎS( )2. Unitésdu moment d’inertie :kg.m2 On appellerayon de girationla distance Rtelle que :IA≅(S)m.R2 Expressions analytiques dans un repère orthonormé. Soit un point M ayant pour coordonnées x,y,z dans un repère(O,x,y,z): le moment d’inertie par rapport au point O est défini par l’expression : IO(S)1∫MÎS(x2#y2#z2).dm les moments d’inertie par rapport aux axes(O,x), (O,y),(O,z)sont donnés par les expressions suivantes : IOX(S)∫MÎS(y2z2) dm IOY(S)∫MÎS (x2z2) dm IOZ(S)1∫M S(x2#y2).dm Î
Théorème d’ HUYGENS.
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/ Soit(G,≅)un axepassant par le centre d’inertie Gd’un solide(S). Soit un second axe(A,≅)passant par un point A et parallèle à l’axe(G,≅) , etdla distance entre ces deux axes. Alors :IA≅(S)1IG≅(S)#m.d2 IA≅(S)1∫MÎS(≅ÙAM)2dm1∫MÎS(≅ÙAG)#(≅ÙGM)2dm 1∫M S(≅ÙAG)2dm#∫M S2(≅ÙAG)(≅ÙGM)dm#∫M S(≅ÙGM)2dm Î Î Î 1(≅ÙAG)2∫MÎSdm#2(≅ÙAG)∫MÎS(≅ÙGM)dm#IG≅(S) 1d2∫M Sdm#2(ÙAG).(Ù∫M SGM dm)#IG(S) Î≅ ≅Î≅ 1d2∫M Sdm#0#IG(S)1IG(S)#m.d2 Î≅ ≅
4- Produits d’inertie par rapport à deux axes. Soit un point M ayant pour coordonnées( , , )dans un repère(O,x,y,z): On appelle produit d’inertie de (S) par rapport aux axes(O,y),(O,z)l’expression : D=∫M Sy.z dm. Î On appelle produit d’inertie de (S) par rapport aux axes(O,z),(O,x)l’expression : E=∫MÎSx.z dm. On appelle produit d’inertie de (S) par rapport aux axes(O,x),(O,y)l’expression : F=∫MÎSx.y dm
(S)
5- Opérateur d’inertie Matrice d’inertie Définition :On appelleopérateur d’inertied’un solide (S) en un point O, l’opérateur qui à tout vecteurfait correspondre le vecteur : ÁO(S,u)1∫MÎSOMÙ(uÙOM)dm Application aux vecteurs d’une base: On considère un solide (S). Tout point M de se solide est défini dansR(O,x,y,z) par ses coordonnées(x,y,z). On construit lamatrice d’inertie O du solide (S) en(dm) dans la base(x,y,z) application de l’opérateur par d’inertie aux trois vecteurs de cette base. L’opérateur d’inertie est défini par la relation : (S,u)OM(u M) ÁO1∫MÎSÙ ÙO dm L’application au vecteurx : donne (S,x)OM(x M) ÁO1∫MÎSÙ ÙO dm avecOM1x x#y y#z z 1x0x0y²z² AvecxÙOM10Ùy1 %zt eOMÙ(xÙOM)1yÙ %z1 %x.y 0 z yz y z.x % D’où l’on obtien #Á 1 % # % # t :O(S,x)∫MÎS(y²z²)dm x∫MÎS(xy)dm y∫MÎS(xz)dm z
X
Z
O
Y
soit encore :ÁO(S,x)1A x%F y%E z
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Áz De la même façon, on démontre queO(S,y)1 %F x#B y%D ÁO(S,z)1 %E x%D y#C z oùA, , , ,esont les moments et produits d’inertie définis précédemment. Construction de la matrice d’inertie : La matrice d’inertie en O du solide (S) dans la base(x,y,z)est une matrice (3-3), dont : - 1 laèrecolonne (ou 1èreligne) est constituée des composantes du vecteurÁO(S,x) la 2ème colonne (ou 2èmeligne) est constituée des composantes du vecteurÁO(S,y) -- la 3èmecolonne (ou 3èmeligne) est constituée des composantes du vecteurÁO(S,z). ;S %1 %On remarque que cette matrice est symétrique. Soit encore :[O( )]OAFE%FBD%EDC(x,y,z) % %
Base principale d’inertie : La matrice d’inertie étant symétrique, il existe un système de trois vecteurs propres orthogonaux deux à deux, permettant de simplifier l’expression de celle-ci. On appelle base principale d’inertie, la base telle que la matrice est diagonale : A10 0 [;O(S)]10B10 O0 0C1(x1,y1,z1) Les axes(O,x1),(O,y1)et(O,z1)sont appelés axes principaux d’inertie du solide S au point O.A1,B1 etC1sont appelés moments principaux d’inertie. Incidence de plans de symétrie sur la matrice : Lorsque l’on exprime la matrice en un point O et dans une base(x,y,z), l’existence de plans de symétrie définis par ce point et cette base permet de simplifier la matrice. Exemple sur un parallélépipède rectangle:P1 Les plansP1(O,y,z)etP2(O,x,y)sont plans de symétrie. A tout pointM(x,y,z)correspond :π - point unM' (x,y,z), symétrique par rapport àP1(O,y,z) M -un pointM" (x,y,z), symétrique par rapport àP2(O,x,y).P2 dm O Y Conséquences Le produit d’inertie D est alors : X π D=∫MÎSy.z dmπ 2 1 (∫MÎS(∫∫MÎSy Λ.dy.dx!z .dz!1 (∫∫MÎSy Λ.dy.dx!z2%hh/2/20 1 On montre de même que E et F sont nuls.
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/ D’autres moments d’inertie : IO(S)1∫MÎS(x2#y2#z2)dm12(1A#B#C) IOxy(S)1∫Mz2S dm (O,x,y) Î IOyz(S)1∫MxÎ2S dm (O,y,z) IOzx(S)1y2 dm ∫MÎS (O,z,x) D’oùA1IOxy(S)#IOzx(S) B1IOxy(S)#IOyz(S) C1IOzx(S)#IOyz(S)
6- Généralisation du théorème d’Huygens On considère un solide (S). Tout point M de ce solide est défini dansR(O,x,y,z)par
Z
O X
(S)
Y
G
M dm)
ses coordonnées(x,y,z). On connaît la matrice d’inertie en O du solide (S) dans la base(x,y,z), ainsi que la matrice en G de ce même solide (S) dans la même base(x,y,z) AOFOEO [;O(S)]1%%FO%%BO%%DO OEODOCO(x,y,z) % [( )]%AGGFGG%%EGG ;GS1 DF B G%EG%DGCG(x,y,z) OM1yxz 1aGM1zyx111 OGbc Il existe entre les termes des deux matrices des relations dont l’ensemble constitue la généralisation du théorème d’Huygens : 2 2 2 2 AO∫MÎS(y z) dm∫MÎS(b y1) (c z1) dm 1∫MÎSy12#z21 dm#2b∫MÎSy1 dm#2c∫MÎSz1 dm#∫MÎS(b2#c2! dm! 2 2 2 2 1∫MÎSy1#z1 dm#∫MÎS(b#c! dm Soit encoreAO1AG#m(b2#c2) 2b y dm
(*) En utilisant la propriété du centre d’inertie :∫MÎEGM dm10,les termes∫ MÎS 2c∫MÎSz1 dmsont nuls.
On démontre de la même façon que:
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BO1BG#m.(a2#c2) CO1CG#m.(a2#b2) DO1DG#m.b.c EO1EG#m.c.a FO1FG#m.a.b
1. et
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