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Niveau: Elementaire
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2003 1/6 MATHÉMATIQUES II Filière MP Dans tout le texte, désigne un intervalle de contenant au moins deux points et est un entier strictement positif. On note l'ensemble des matrices à coefficients réels et on désigne par l'ensemble des applications de classe de dans . Si , désigne la dérivée de . Parmi les éléments de , on s'intéresse en particulier à ceux qui vérifient l'une ou l'autre des propriétés qui suivent : : , : , On adopte les notations suivantes : désigne la matrice identité d'ordre , l'espace vectoriel des vecteurs-colonnes à lignes, le groupe des matrices orthogonales réelles d'ordre et le sous-groupe des matrices orthogonales réelles d'ordre et de déterminant ; si , on désigne par le coefficient de en position lorsque et . Enfin, on dit d'une matrice triangulaire de qu'elle est stricte si elle a les coef- ficients diagonaux tous nuls et d'une matrice de qu'elle est scalaire si elle est proportionnelle à l'identité ( , avec ). Enfin, on rappelle que, si est élément de , l'application de dans définie par est un élément de dont la dérivée est . Partie I - Exemples élémentaires I.A - . I.A.1) Montrer que tout élément de vérifiant vérifie . I IR n Mn IR( ) n n? En I( ) C1 I Mn IR( ) M En I( )? M? M En I( ) P1( ) x y,( )
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MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2003 1/6 MATHÉMATIQUES II Filière MP Dans tout le texte, désigne un intervalle de contenant au moins deux points et est un entier strictement positif. On note l'ensemble des matrices à coefficients réels et on désigne par l'ensemble des applications de classe de dans . Si , désigne la dérivée de . Parmi les éléments de , on s'intéresse en particulier à ceux qui vérifient l'une ou l'autre des propriétés qui suivent : : , : , On adopte les notations suivantes : désigne la matrice identité d'ordre , l'espace vectoriel des vecteurs-colonnes à lignes, le groupe des matrices orthogonales réelles d'ordre et le sous-groupe des matrices orthogonales réelles d'ordre et de déterminant ; si , on désigne par le coefficient de en position lorsque et . Enfin, on dit d'une matrice triangulaire de qu'elle est stricte si elle a les coef- ficients diagonaux tous nuls et d'une matrice de qu'elle est scalaire si elle est proportionnelle à l'identité ( , avec ). Enfin, on rappelle que, si est élément de , l'application de dans définie par est un élément de dont la dérivée est . Partie I - Exemples élémentaires I.A - . I.A.1) Montrer que tout élément de vérifiant vérifie . I IR n Mn IR( ) n n? En I( ) C1 I Mn IR( ) M En I( )? M? M En I( ) P1( ) x y,( )
- unique couple d'applications continues
- équation différentielle matricielle
- pm q0 …
- unique solution maximale de l'équation différentielle matricielle
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MATHÉMATIQUES IIFilière MP MATHMATIQUES II
Dans tout le texte,Idésigne un intervalle deIRcontenant au moins deux points etnest un entier strictement positif.On noteMn(IR)l’ensemble des matrices n×nà coefficients réels et on désigne parE(I)l’ensemble des applications de n 1 classeCdeIdansMnI. SiM En. Parmi, désignela dérivée de (R)∈ (I)M′M les éléments deE(I), on s’intéresse en particulier à ceux qui vérifient l’une ou n l’autre des propriétés qui suivent : 2 (P1): ,∀(x,y) ∈I M(x)M(y)=M(y)M(x) (P2): ,∀x∈I M′(x)M(x)=M(x)M′(x) On adopte les notations suivantes:I,désigne la matrice identité d’ordren n n IR l’espacevectoriel des vecteurs-colonnes ànlignes,O(IR)le groupe des n matrices orthogonales réelles d’ordrenetSO(IR)le sous-groupe des matrices n orthogonales réelles d’ordrenet de déterminant+1; siM∈Mn(IR), on désigne parMle coefficient deMen position(i,j)lorsque1≤i≤net1≤j≤n. Enfin, [i,j] on dit d’une matrice triangulaire deMn(IR)qu’elle eststrictesi elle a les coef-ficients diagonaux tous nuls et d’une matrice deMn(IR)qu’elle estscalairesi elle est proportionnelle à l’identité (M=λI, avecλ ∈IR). n Enfin, on rappelle que, siMest élément deMn(IR,)l’application deIRdans Mn(IR)définie par +∞ k tk taexp(tM)=-M ∑ k! k= 0 est un élément deE(IR)dont la dérivée est n taMexp(tM)= exp(tM)M.
I.A -. I.A.1)
Partie I - Exemples élémentaires
Montrer que tout élément deE(I)vérifiant(P1)vérifie(P2). n
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MATHÉMATIQUES II FiliËre MP
Filière MP
I.A.2) Démontrerque siMest une application élément deE(I), alors pour n *k k toutk∈IN, l’applicationM:xaM(x)est élément deE(I); calculer sa déri-n vée. I.A.3) Démontrerque siMest une application élément deE(I,)telle que n pour toutx∈laImatrice estMi(nxv)ersible, alors l’application –1 –1 M:xaM(x)est élément deE(I); calculer sa dérivée. n I.B -Dans la suite de la Partie I, on prendn= 2. Un élémentMdeE(I)s’écrit pourx∈I: 2 a(x)b(x) M(x)= . c(x)d(x) I.B.1) Onsuppose dans cette question queMvérifie(P2)et que la fonction bne s’annule pas. Que dire des fonctions c d–a -et-? b b M2 Montrer, en l’explicitant, qu’il existe une matriceA∈(IRt)elle que, pour toutx∈I,M(x) ∈Vect{I,A}. Montrer que l’applicationMvérifie aussi(P1). 2 M2 I.B.2) SoitAune matrice non scalaire dans(IR.)Montrer qu’il existe 2 2 X∈IR telque(X,AX)soit une base deI.RaOn supposeXinsi choisi. Si 2 M2 B∈(IR), il existe donc(u,v) ∈IRtel queBX=uX+vAX. Montrer que, si la matriceBcommute avecAs’écrit, elleB=u I+vA. 2 I.B.3) Onsuppose dans cette question queMvérifie(P2)et queM(x)n’est scalaire pour aucunxdeI. Montrer qu’il existe un unique couple(u,v)d’applications continues deIdans IRtel queM′(x)=u(x)I+v(x)M(x)pour toutx∈I. Pourx∈Idonné, on pose 2 0 alorsC(x)=M(x)M(x)–M(x)M(x)pour toutx∈I. Montrer queCvérifie une 0 0 équation différentielle matricielle très simple, dans laquelle intervient la fonc-tionvrésoudre en la ramenant par exemple à des équations différentielleset la ordinaires. En conclure queMvérifie(P1).
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MATHÉMATIQUES IIFilière MP I.B.4) Danscette question, on s’intéresse àE(IR). 2 a) Montrerque(P2)est vérifiée lorsqu’on choisit poura,b,cetdles fonctions 2 2 2 qui àxréel associent respectivement1 +x,x x,xet1 –x. b) Déterminersoigneusement les éléments deE(IR)de la forme 2 2 1 +x b(x) xavérifiant(P2). 2 c(x)1 –x Pour chaque élément deE(IR)ainsi trouvé, 2 - dires’il vérifie(P1), - déterminerla dimension du sous-espace vectoriel deMn(IR)engendré par l’ensemble desM(x), notéVect{M(x),x∈IR}. I.C -SoitMun élément deE(I)tel que pour toutx∈I,M(x)est la matrice 2 d’une réflexion. 1 I.C.1) Montrerqu’il existe une applicationθde classeCdeIdansIRtelle que la première colonne deM(x)soit cosθ(x) pour toutx∈I. sinθ(x) I.C.2) Àquelle condition, portant sur la fonctionθ,Mvérifie-t-elle(P2)?
On dit d’une application deI×Mn(IR)dansMn(IR)qu’elle estde type(Q) (abréviation pourquasi-polynomial) si elle est de la forme m k (x,M)aa(x)P(x)MQ(x) ∑k k k k= 0 où sont donnés m∈IN 0 a,…,ade classeCdeIdansIR 0m 0 0m0mM P,…,P,Q,…,Qde classeCdeIdans(IR) n On dira qu’une telle application estpolynomialesi, de plus, les applicationsP k etQsont toutes constantes, égales àI. k n
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MATHÉMATIQUES IIFilière MP T On admettra alors le théorèmesuivant, qui est une version du théorème de Cauchy-Lipschitz : MnMnQ0 0Mn a) SiF:I×(IR) →(IR)est de type(, e)t si(x,U) ∈I×(,IiRl) existe une unique solution maximaleUde l’équation différentielle matricielle 0M′(x)=F(x,M(x)), définie sur un intervalleJ tel quex∈J⊂Ivérifiant de plus .U(x)=U 0 0 Mn b) Si,en outre,Eest un sous-espace vectoriel de(IR), siF(I×E) ⊂Eet si U∈E, alorsU(x) ∈Epour toutx∈J. 0 L’attention des candidats est attirée sur le fait que, dans les questions qui suivent, les hypothèses faites entraînent que les fonctions matricielles solutions d’éventuelles équa-tions différentielles sont définies surItoutentier et que, partant, le point de vue de la maximalité de ces solutions est accessoire.
Partie II - Étude de cas particuliers II.A -Soit une équation différentielle matricielle polynomiale de la forme(E): m 2k+ 1 M′(x)=a(x)M(x). ∑k k= 0 Déduire du théorèmeTle résultat(R)suivant : si une solutionUsurIde (E)est telle que, pour une valeurx∈I,U(x0)est une matrice antisymétrique, 0 alorsU(x)est antisymétrique pour toutx∈I. Donner un énoncé plus général concernant une forme analogue d’équation différentielle matricielle, mais de type(Q), pour laquelle le résultat(R)soit conservé. II.B -Soit une équation différentielle matricielle polynomiale, de la forme m k M′(x)=a(x)M(x). ∑ k k= 0 SoitMune solution surIetx∈Itel que le polynôme caractéristique deM(x) 0 0 n0M soit scindé. On choisit alorsP∈G L(IR)etT∈(IR)triangulaire supérieure n –1 telles queM(x)=PT P. 0 0 II.B.1) Formerune équation différentielle matricielle polynomiale vérifiée par –1 T:xaP M(x)Ppermettant de montrer queT(x)est triangulaire supérieure pour toutx∈I. II.B.2) Onsuppose en outre queTest triangulaire stricte. En considérant les 0 fonctions à valeurs réellesxaT(x)avec1≤i,≤dnonner une condition [i,i] nécessaire et suffisante sur la fonctionapour queT(x)soit triangulaire stricte 0 pour toutx∈I.
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MATHÉMATIQUES IIFilière MP * II.B.3) Cettecondition étant supposée remplie, on choisitr∈ItNel que r 0Q T= 0; former uneéquation différentielle matricielle de type( )vérifiée par r r x∈IaT(x)permettant de montrer que l’applicationTest nulle. II.C -II.C.1) SoitUsolution surIde l’équation différentielle matricielle m k M′(x)=a(x)P(x)M(x)Q(x). ∑ k kk k= 0 On suppose qu’il existex∈Itel queU(x)commute avec toutes les matrices 0 0 P(x)etQ(x)pour toutx∈I. Montrer queU(x)commute avecU(x)pour tout k k0 x∈I. II.C.2) SoitUune solution surId’uneéquation différentielle matricielle poly-nomiale. Vérifie-t-elle(,P1v)érifie-t-elle ?Montr(ePr2q)ue dim(Vect{U(x),x∈I}) est inférieure ou égale àn. Mn II.D -Soit uEtel quen sous-espace vectoriel de(IR) 2 (M,N) ∈E⇒MN–N M∈E. En introduisant une équation différentielle matri-2 cielle bien choisie, montrer que∀(t,M,N) ∈I×E,exp(tM)Nexp(–tM) ∈E. Partie III - Cas des matrices orthogonales E III.A -On s’intéresse à une équation différentielle matricielle de la forme(′): 2 0 M′(x)=a(x)(I–M(x)), oùadésigne une fonction donnée, de classeCdeI n dans .IR 2 E0n III.A.1) SiUest une solution surIde( ′)telle que(U(x))=I(matrice d’une symétrie) pour un certainx∈I, que peut-on dire de la fonctionU? 0 MnE III.A.2) SoitJ∈(IR). On suppose qu’une solutionUde( ′)surIvérifie t t U(x)JU(x)=Jun pourx∈I. On pose alorsN(x)=U(x)JU(x)pour tout 0 00 Q x∈I. Former une équation différentielle matricielle de type()vérifiée par N–Jet en conclure queN(x)=Jpour toutx∈I. Si, en outre,Jest inversible, montrer que l’applicationxadet(U(x))est constante. III.B -Dans toute cette section III.B, on choisitn= 3. SoitUune matrice élé-ment deE(I)à valeurs dansSO(IR)vérifiant(P2)et telle que, 3 3 U(x) ≠I 3 ∀x∈I, . –1n’est pas valeur propre deU(x)
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MATHÉMATIQUES IIFilière MP III.B.1) a) Pourx∈Ifixé, on poseU0U0. Montrer qu’il existe un vecteur0uni-=(x)Z 0 3 taire dansIReuclidien canonique, tel queU Z=Z. 0 00 b) Onchoisit alorsXetYtels queB=(X,Y,Z)soit une base orthonormale 0 00 0 0 3 2 directe deIR, on poseX=Y+ZetC=(X,U X,U X). 0 00 0 3 De quelle forme est la matrice dansBde l’endomorphisme deIRayanUt pour 0 matrice dans la base canonique ? Calculer alorsdet(C)en fonction des coeffi-B 3 cients de cette matrice et en déduire queCest une base deIR. c) Enconclure qu’il existe trois fonctions,u,vdwe daIns teIllRes que 2 U′(x)=u(x)I+v(x)U(x)+w(x)U(x)pour toutx∈I. On admettra que ces trois 3 fonctions sont continues. t t d) Enexprimant la dérivée deU Uen fonction deu,v,w,U+U, montrer que Uest solution d’une équation différentielle matricielle, notée, de la forme E ( ′): on exprimera, à l’aide de certaines des fonctions,u ,v ,wla fonctiona correspondante. F III.B.2) Transformerl’équation()par le changement de matrice inconnue défini par la formule :(I+U(x))A(x)=I–U(x), en justifiant l’introduction de 3 3 A(x). Montrer queAest solution surId’une équation différentielle matricielle poly-nomiale très simple. Résoudre cette équation et en déduire une expression de U(x)pour toutx∈I. III.C -En s’inspirant de III.B.1-d), construire une fonction élément deE(IR)à 3 valeurs dansSO(IR)vérifiant(P2)mais pas(P1). 3 III.D -Chercher la solution maximaleUdansM2(IR)de l’équation différen-2 tielle matricielleM′(x)=I+M(x), définie au voisinage de0et telle que 2 0 1 U(0)= . 1 0 Pour cela, on montrera que les solutions sont nécessairement de la forme a(x)b(x) x∈IaU(x)= b(x)a(x) 2 2 et on cherchera ensuite une équation différentielle vérifiée paru=b,–a sachant queu(0)= 1.
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••• FIN •••
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