Concours Centrale Supélec
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Niveau: Elementaire
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2005 1/8 MATHÉMATIQUES II Filière PSI Rappels, notations et objectifs du problème Dans tout ce problème, désigne un entier naturel supérieur ou égal à et l'ensemble des matrices carrées complexes d'ordre . De plus : • désigne l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre ; • si , on note le terme de situé sur la ligne et la colonne ; • pour , est la matrice ; • si et sont dans , on désigne par la matrice de définie par blocs carrés d'ordre dont les seuls blocs éventuellement non nuls sont les blocs diagonaux ; • est la matrice unité élément de ; • On rappelle les trois types d'opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice et leur codage : On définit de même trois types d'opérations élémentaires sur les colonnes d'une matrice. Si et si est la matrice obtenue à partir de par utilisation d'une opé- ration élémentaire, alors (resp. ) est la matrice obtenue à partir de en effectuant la même opération élémentaire sur les lignes (resp. colonnes) de (on ne demande pas de démontrer ce résultat). opérations codage échange des lignes et multiplication de la ligne par ajout de la ligne , multipliée par le scalaire , à la ligne ( ) n 2 Mn IC( ) n Mn n A Mn IC( )? Ai j, A i j ? ?( , ) IR2? M ? ?,( ) ? ?–? ? ?1 …, ?p( ,
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MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2005 1/8 MATHÉMATIQUES II Filière PSI Rappels, notations et objectifs du problème Dans tout ce problème, désigne un entier naturel supérieur ou égal à et l'ensemble des matrices carrées complexes d'ordre . De plus : • désigne l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre ; • si , on note le terme de situé sur la ligne et la colonne ; • pour , est la matrice ; • si et sont dans , on désigne par la matrice de définie par blocs carrés d'ordre dont les seuls blocs éventuellement non nuls sont les blocs diagonaux ; • est la matrice unité élément de ; • On rappelle les trois types d'opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice et leur codage : On définit de même trois types d'opérations élémentaires sur les colonnes d'une matrice. Si et si est la matrice obtenue à partir de par utilisation d'une opé- ration élémentaire, alors (resp. ) est la matrice obtenue à partir de en effectuant la même opération élémentaire sur les lignes (resp. colonnes) de (on ne demande pas de démontrer ce résultat). opérations codage échange des lignes et multiplication de la ligne par ajout de la ligne , multipliée par le scalaire , à la ligne ( ) n 2 Mn IC( ) n Mn n A Mn IC( )? Ai j, A i j ? ?( , ) IR2? M ? ?,( ) ? ?–? ? ?1 …, ?p( ,
- réel
- mn ic
- coefficients réels de degré impair
- unique matrice
- matrice inversible
- li li ?l
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MATHÉMATIQUES II
MATHÉMATIQUES II
Rappels, notations et objectifs du problème
Filière PSI
Dans tout ce problème,nun entier naturel supérieur ou égal à désigne 2 et Mn(IC)l’ensemble des matrices carrées complexes d’ordren. De plus : Mn •désigne l’ensemble des matrices carrées réelles d’ordren; Mn i,j • siA∈(IC), on noteAle terme deAsitué sur la lignei;et la colonne α–β 2 • pour(α,β)∈IR,M(α,β);est la matrice β α p • si(α , …,α) et(…β , ,β) sont dansIR, on désigne par 1p1p p pM2p diag(M(α , β),M(α , β), …,M(α , β))matrice de la par blocs définie 1 1 2 2 carrés d’ordre2dont les seuls blocs éventuellement non nuls sont les blocs diagonauxM(βα , ),M(α , β), …,M(α , β); 1 1 2 2p p nMn •Iest la matrice unitédiag(1, …,1)élément de; • On rappelle les trois types d’opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice et leur codage :
opérations
échange des lignesiet
multiplication de la ligneiparα ≠0
ajout de la ligne , multipliée par le scalaireλ, à la lignei(i≠j)
codage
L↔L i j L← αL i i L←L+λL i i j
On définit de même trois types d’opérations élémentaires sur les colonnes d’une matrice. AMnest la matrice obtenue à partir deet si npar Si∈E Iutilisation d’une opé-ration élémentaire, alorsEA(resp.AE) est la matrice obtenue à partir deAen effectuant la même opération élémentaire sur les lignes (resp. colonnes) deA (on ne demande pas de démontrer ce résultat).
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Filière PSI
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On confond respectivement : n n • matrice et endomorphisme deIR(resp.IC) canoniquement associé, n n • vecteur deIR(resp.IC) et matrice colonne de ses coordonnées, • matrice de taille1et scalaire la constituant.
n n On rappelle qu’une symétriesdeIRest un automorphisme deIRvérifiant 2 s=sos= Idn; il existe alors deux sous-espaces supplémentairesEetEtel 1 2 IR quessoit la symétrie par rapport àEparallèlement àE, définie par : 1 2 s= Idets= –Id. E E E1E2 1 2 Préciser la symétries, c’est déterminer les sous-espacesEetEassociés. 1 2
On note(P)la propriété : A (P)Ane possède pas de valeur propre réelle A
Le but de ce problème est d’étudier des matrices deMn vérifiant la propriété(P). A Après avoir établi quelques résultats préliminaires, on étudie des cas particu-liers dans les parties I et II et un cas plus général dans la partie III.
Résultats préliminaires
1)On se propose de démontrer le résultat suivant : « deux matrices deMnsemblables dansMn(IC)sont semblables dansMn». Soit doncAetBdeux matrices deMnsemblables dansMn(IC)etPun élé-–1 ment deG L(IC)tel queA=PB P. n 2 Mn a) Montrer qu’il existeR,J∈tels queP=R+iJaveci= –1. b) Montrer que, pour toutt∈IC,A(R+tJ)=(R+tJ)B. c) Montrer qu’il existet∈IRtel quedet(R+t J) ≠0. 0 0 d) En déduire queAetBsont semblables dansMn.
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2) a) Montrer que tout polynôme à coefficients réels de degré impair possède au moins une racine réelle. b) En déduire que s’il existe une matriceAdeMnvérifiant(P), alorsnest A pair. Dans toute la suite du problème, on supposenpair et on noten= 2pavecp∈IN\{0}.
Partie I -2 I.A -Dans cette section I.A.1, on se place dansIRet on désigne par(e,e)la 1 2 base canonique, avece=(1,0)ete=(0,1). 1 2
0 –1 I.A.1) On considère la matriceM(0,1)=on désigne par et u l’endo-1 0 morphisme associé. a) Déterminer, dans la base canonique, la matrice des, symétrie par rapport 1 à la droiteIReparallèlement à la droiteIRe. 1 2 b) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de l’applicationuos. 1 En déduire qu’il existe une symétries, qu’on précisera, telle queu=sos. 2 2 1
2 –5 I.A.2) On considère la matrice=. 1 –2 a) Montrer queAest semblable àM(0,1)et donner une matricePdeM2à –1 coefficients entiers et de déterminant1telle queM(0,1)=P AP. b) Montrer queAla matrice, dans la base canonique, de la composée de est deux symétries qu’on précisera.
2 2 α–β Soitαetβdes nombres réels tels queβ–α= 1etB=. β–α c) Montrer queBest semblable àM(0,1)et donner une matriceQdeM2telle –1 queM(0,1)=Q BQ.
1 Indication: on pourra calculerBe=B. 1 0
d) Montrer queBla matrice, dans la base canonique, de la composée de est deux symétries qu’on ne demande pas de préciser.
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MATHÉMATIQUES II Filière PSI α–β I.A.3) On considère la matriceM(α, β)=oùαetβsont des nombres 2 2 β α réels tel queα+β= 1. Montrer queM(α, β)est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu’on ne demande pas de préciser.
α–β I.A.4) On considère à présent la matriceM(α, β)=oùαetβsont des β α 2 2 nombres réels tels queα+β ≠0. Montrer queM(α, β)est la matrice, dans la
base canonique, de la composée de deux symétries et d’une homothétie.
a b M2 I.A.5) SoitA=appartenant à. c d a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients de Apour que(P)soit réalisée. A b) En supposant queA vérifie(P), et en étudiant la diagonalisation dans A M2 (IC)deA, montrer qu’il existe une unique matrice, semblable àA, du type M(α, β)avecαréel etβréel strictement positif. Expliciterαetβen fonction de a,b,cetd. AM2 c) Que peut-on dire dedet(A)siAvérifie(P)et est dans? d) Montrer queAla matrice, dans la base canonique, de la composée de est deux symétries et d’une homothétie. 2 I.A.6) On suppose queIR est muni de sa structure euclidienne orientée canonique (i.e.(e,e)est orthonormée directe). Que sont alors les endomorphis-1 2 2 2 mes de matriceM(α, β) (avecα etβ réels tels queα+β ≠0) dans la base canonique ? 2 Mp pMn I.B -SoitBmatrice de une vérifiantB=I. SoitA la matrice de2B–5B définie par blocs sous la formeA=. B–2B Mp I.B.1) Montrer queBest diagonalisable danset qu’il existe une matrice –1 Q deMpdes entiers naturels inversible, q etr tels queQ BQ soit sous la I0 q forme d’une matrice par blocs 0 –I r
On convient que cette matrice vautIlorsquer= 0etq=p p et qu’elle vaut–Ilorsqueq= 0etr=p. p
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MATHÉMATIQUES II Filière PSI I.B.2) Déterminer une matrice par blocsPdeMninversible et constituée de –1 0 –B multiples deItelle que :P AP=. p B0 I.B.3) En déduire queAest semblable dansMnà la matrice
0
I0 q 0 –I r
–I0 q 0I r
0
.
I.B.4) Montrer alors queAest semblable dansMnà une matrice du type diag(M(0,1),M(0,1), …,M(0,1)). I.B.5)Exemple: on considère dansM4la matrice 4 6 –10 –15 –2 –4 5 10 A=. 2 3 –4 –6 –1 –2 2 4 a) Déterminer une matrice inversibleMdeM4telle que –1 M AM= diag(M(0,1),M(0,1)). b) En utilisant la technique vue à la question I.A.1, montrer queAla est 4 matrice, dans la base canonique deIRde la composée de deux symétries qu’on précisera.
Partie II -2 Mn n II.A -Dans cette question,Adésigne une matrice detelle queA= –I. II.A.1) Montrer que(P)est réalisée. A II.A.2) SiEest obtenue à partir deIpar utilisation d’une opération élémen-n –1 taire, comment déduit-onEA EdeA? On distinguera les trois opérations élémentaires codées sous la forme : a)L↔L, i j ∗ b)L← αLavecα ∈IR, i i c)L←L+λLavecλ ∈IR. i i j
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II.A.3) a) En utilisant II.A.1, montrer qu’il existei≥2tel queA≠0. i,1 Mn b) En utilisant des opérations élémentaires, en déduire qu’il existeP∈–1 inversible telle que siA′=PA PalorsA′= 0sii≠2etA′= 1. i,1 2,1 c) Montrer alors queA′= 0sii≠1etA′= –1. i,2 1,2 –1 II.A.4) Montrer qu’il existeQ∈Mn inversible telle queQA′Qde la soit M(0,1)0 forme par blocs avecB∈Mn– 2. 0B
II.A.5) Montrer queAest semblable à une matrice du type diag(M(0,1),M(0,1), …,M(0,1)). II.A.6)Exemple: en utilisant la méthode décrite dans cette partie, trouver –1 une matriceMinversible deM4telle queMA M= diag(M(0,1),M(0,1))oùA est la matrice de la question I.B.5). On fera apparaître clairement les opérations élémentaires utilisées. II.B -Dans cette questionAest une matrice 2 2 Mn n ∗ devérifiant(A–αI)+βI= 0avec(α,β)∈IR×IR. n
II.B.1)
Montrer queAvérifie(P). A
II.B.2) Montrer queAest semblable à la matrice d’ordren diag(M(α, β),M(α, β), …,M(α, β)). Que peut-on dire dedet(A)? II.C -Soitul’endomorphisme deIR[X]défini par : pour tout polynômePde n– 1 IR[X],u(P)vérifie : n– 1 n– 1 –1 ∗ ∀x∈IR,u(P)(x)=x P . -x
II.C.1) Déterminer pour quelles valeurs deidans et {0, …,n– 1}, le plan i j vect(X,X)est stable paru. i– 1 Mn n+ 1 –i,i II.C.2) En déduire que la matriceA deque telle A=(–1) si 1≤i≤n, les autres coefficients deAnuls, est semblable à étant diag(M(0,1),M(0,1), …,M(0,1)).
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Partie III -MA Dans toute cette partie,Adésigne une matrice devérifiant(P). n On se propose de montrer l’équivalence entre les trois propositions suivantes : i)Aest semblable à une matrice du type * diag(M(α , β),M(βα , ), …,M(α , β))avec(α,β)∈IR×IRpour1≤k≤p. 1 1 2 2p p k k+ ii) Il existe un polynôme réel à racines simples complexes non réelles annulé parA. n iii) Tout sous-espace vectoriel deIRde dimension2stable parApossède un sous-espace vectoriel supplémentaire stable parA. III.A -Dans cette section III.A, on montre que (i)⇒(ii). 2 2 ∗ III.A.1) Montrer que si(α,β)∈IR×IR, le polynôme(X–α)+βne possède que des racines simples complexes non réelles. III.A.2) En déduire que (i)⇒(ii). III.B -Dans cette section III.B, on montre que (ii)⇒(iii). n On suppose donc queA(ii). Soit vérifie Esous-espace vectoriel de un IR de dimension2et stable parA. Soit(f,f)une baseEque l’on complète en une 1 2 n base(f,f, …,f)deIR. 1 2n n III.B.1) Montrer que dans la base(f,f, …,f)deIR, l’endomorphisme cano-1 2n niquement associé àAa une matrice s’écrivant par blocs :
A′B avecA′ ∈M2. 0C III.B.2) Vérifier queA′ne possède pas de valeur propre réelle et en déduire ∗ queA′est semblable à une matrice du typeM(α, β)avec(α,β)∈IR×IR. 2 2 III.B.3) Montrer queEest inclus dansKer((A–αI)+βI). n n 2 2 III.B.4) Montrer queKer((A–αI)+βI)un sous-espace vectoriel possède n n n supplémentaire stable parAdansIR.
III.B.5) En utilisant une technique analogue à celle vue dans les parties II.A.3 et II.A.4, montrer queEun supplémentaire stable par possède A dans 2 2 Ker((A–αI)+βI), puis conclure que iii) est réalisé. n n
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III.C -En raisonnant par récurrence, montrer que (iii)⇒(i). III.D -Exemple: Soit
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–1 –2 4 0 1 –3 0 4 A=. –2 0 5 –2 0 –2 1 3 2 2 En admettant queAannule(X+ 1)(X– 4X+ 5), déterminer une matrice inver-sibleMdeM4et des réelsα,β,α′etβ′tels que
M(α, β)0 –1 A=M M. 0M(α′, β′)
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