Arnaud Bodin avril
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Français
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2012
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Niveau: Elementaire
Éléments de géométrie Arnaud Bodin, avril 2012 Exercices – La règle et le compas 1 Constructions élémentaires 1 2 Les corps 2 3 Nombres constructibles et corps 2 4 Les problèmes grecs 3 5 Constructions assistées 3 1 Constructions élémentaires Exercice 1 (Constructions élémentaires) 1. À l'aide du théorème de Pythagore, construire successivement à la règle et au compas√ 2, √ 3, √ 4, √ 5,. . . (Répondre à cette question sans utiliser de résultat du cours.) 2. Construire les approximations suivantes de pi : 227 = 3, 1428 . . ., √ 2+ √ 3 = 3, 1462 . . . 3. Construire √ 2√ 3 , 5 1 4 , √ 3? √ 3, Exercice 2 (Approximation de Kochanski) Une valeur approchée de pi avec quatre décimales exactes est donnée par ? = √ 40 3 ? 2 √ 3 = 3, 141533 . . . Soient les points suivants O(0, 0), I(1, 0), Q(2, 0). On construit les points P1, P2, . . . ainsi : – P1 est l'intersection des cercles centrés en O et I de rayon 1 ayant une ordonnée positive. – P2 est l'intersection des cercles centrés en O et P1 de rayon 1 (l'autre intersection est I).
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Éléments de géométrie Arnaud Bodin, avril 2012 Exercices – La règle et le compas 1 Constructions élémentaires 1 2 Les corps 2 3 Nombres constructibles et corps 2 4 Les problèmes grecs 3 5 Constructions assistées 3 1 Constructions élémentaires Exercice 1 (Constructions élémentaires) 1. À l'aide du théorème de Pythagore, construire successivement à la règle et au compas√ 2, √ 3, √ 4, √ 5,. . . (Répondre à cette question sans utiliser de résultat du cours.) 2. Construire les approximations suivantes de pi : 227 = 3, 1428 . . ., √ 2+ √ 3 = 3, 1462 . . . 3. Construire √ 2√ 3 , 5 1 4 , √ 3? √ 3, Exercice 2 (Approximation de Kochanski) Une valeur approchée de pi avec quatre décimales exactes est donnée par ? = √ 40 3 ? 2 √ 3 = 3, 141533 . . . Soient les points suivants O(0, 0), I(1, 0), Q(2, 0). On construit les points P1, P2, . . . ainsi : – P1 est l'intersection des cercles centrés en O et I de rayon 1 ayant une ordonnée positive. – P2 est l'intersection des cercles centrés en O et P1 de rayon 1 (l'autre intersection est I).
- intersection des cercles
- tangente en m1
- trissection des angles
- intersection de la droite p2i avec l'axe des ordonnées
- ordonnée positive
- angle
Èlments de gomtrie
Arnaud Bodin, avril 2012
Exercices – La rgle et le compas
1 ConstructionsÉlÉmentaires Exercice 1(Constructions lmentaires)
1. âl’aide du thorme de Pythagore, construire successivement á la rgle et au compas √ √ √ √ 2,3,4,5á cette question sans utiliser de rsultat du cours.),. . . (Rpondre √ √ 22 2. Construireles approximations suivantes deπ:=3, 1428 . . .,2+3=3, 1462 . . . 7 √p 1√ 2 3. Construire,5,3−3, √4 3
Exercice 2(Approximation de Kochanski) Une valeur approche deπavec quatre dcimales exactes est donne par r √ 40 φ= −2 3=3, 141533 . . . 3 Soient les points suivantsO(0, 0),I(1, 0),Q(2, 0). On construit les pointsP1, P2, . . .ainsi : –P1est l’intersection des cercles centrs enOetIde rayon1ayant une ordonne positive. –P2est l’intersection des cercles centrs enOetP1de rayon1(l’autre intersection estI). –P3est l’intersection de la droiteP2Iavec l’axe des ordonnes. –P4est l’image deP3par une translation de vecteur(0,−3). Calculer les coordonnes de chacun desPi. Montrer que la longueurP4Qvautφ.
Exercice 3(Construction au compas seul) Construire au compas seulement :
1
1 ConstructionsÉlÉmentaires 1 2 Lescorps 2 3 Nombresconstructibles et corps2 4 LesproblÈmes grecs3 5 ConstructionsassistÉes 3
1. Lesymtrique dePpar rapport á une droite(AB). (Seuls les pointsP, A, Bsont tracs, pas la droite.) 2. Lesymtrique d’un pointPpar rapport á un pointO. 3. (*)Le milieu de deux pointsA,B. (La droite(AB)n’est pas trace!)
Exercice 4(Pentagone rgulier) Soit(A0, A1, A2, A3, A4)un pentagone rgulier. On noteOson centre et on choisit un repre −−→ −→−→−→ orthonorm(, vO, u)avecu=OA0, qui nous permet d’identifier le plan avec l’ensemble des nombres complexesC. k 1. Donnerles affixesω0, . . . , ω4des pointsA0, . . . , A4. Montrer queωk=ω1pourk∈ 2 3 4 {0, 1, 2, 3, 4}. Montrer que1+ω1+ω+ω+ω=0. 1 1 1 2π 2 A2 2. Endduire que cos( )est l’une des solutions de l’quation4z+2z−1=0. En dduire 5 2π la valeur de cos( ). 5 2π 3. Onconsidre le pointBd’affixe−1. Calculer la longueurBA2en fonction de cos 5 √ puis de5. i1 4. Onconsidre le pointId’affixe ,le cercleCde centreIet enfin le pointde rayonJ A 2 23 d’intersection deCavec le segment[BI]. Calculer la longueurBIpuis la longueurBJ. 5.Application :Dessiner un pentagone rgulier á la rgle et au compas. Expliquer.
2 Lescorps Exercice 5(Nombres transcendants)
1. Montrerque l’ensemble des nombres rels algbriques est un ensemble dnombrable. 2. Endduire l’existence de nombres rels qui ne soient pas algbriques.
3 Nombresconstructibles et corps Exercice 6 Un corpsK⊂Rest stable par racine carre s’il vrifie la proprit suivante : √ ∀x∈K, x≥0⇒x∈K. Montrer que l’ensembleCRdes nombres constructibles est le plus petit sous-corps deR stable par racine carre.
2
iA 1
O
A4
A0 1
4 LesproblÈmes grecs Exercice 7(Trissection des angles) Le but est de montrer que tous les angles ne sont pastrissectables(divisibles en trois) á π la rgle et au compas. Nous allons le prouver pour l’angle: plus prcisment le point de 3 π ππ π coordonnes(cos,sin)est constructible mais le point(cos,sin)ne l’est pas. 3 39 9 1. Exprimercos3θen fonction de cosθ. 3 31 π 2. SoitP(X) =X−X−. Montrer queP(cos) =0. Montrer queP(X)est irrductible 4 89 dansQ[X]. 3. Conclure. iθ 3 Indications 2l’aide des nombres complexes, calculer1. â(e)de deux faÇons. a 2. Toutd’abord montrer que s’il tait rductible alors il aurait racine dansQ. Siest b a cette racine avec pgcd(a, b) =1alors á partir deP( )=0obtenir une quation b d’entiers. 3. Utiliserle thorme de Wantzel.
5 ConstructionsassistÉes Exercice 8(Spirale d’Archimde) Soit(S)laspirale d’ArchimÈdeparamtre par Mt= (tcos(2πt), tsin(2πt)), t≥0. 1. TracerS. 2.Trissection des angles. Ètant trace la spirale d’Archimde, construire avec la rgle et π le compas la trissection d’un angle donn.Indications.Supposer l’angleθ <. Ècrire 2 l’angle sous la formeθ=2πt; placerMtet tracer un cercle centr á l’origine du bon rayon. 3.Quadrature du cercle. (a) Calculerune quation de la tangente á(S)en un pointMt. (b) La tangente enM1(pourt=1) coupe l’axe des ordonnes enN. Calculer la longueurON. (c) Endduire qu’avec le trac de la spirale d’Archimde et le trac de la tangente enM1on peut rsoudre la quadrature du cercle á la rgle et au compas.
3
Exercice 9(La rgle tournante) On souhaite trissecter les angles á l’aide d’un compas et d’une rgle gradue. SoitCle cercle de rayonr > 0centr enO. SoientA, B∈Cde telle sorte que l’angle enOd’un triangleOAB C 0 0 soit aigu. Notonsθcet angle.Sur la rÈglemarquer deux pointsOetCtel queO C=r. θ/3 Faire pivoter et glisser la rgle autour du pointBafin que le pointCappartienne áCet 0 0 0O le pointOappartiennent á la droite(OA)(de sorte queOsoit dans le segment[O A]). 0 0θ Montrer que l’angle enOdu triangleAO Bvaut . 3
Exercice 10(Cissode de Diocls) Soient les pointsO(0, 0)etI(1, 0). SoitCle cercle de diamtre[OI]etLla droite d’quation 0 00 (x=1). Pour un pointMdeC, soitMl’intersection de(OM)avecL. Soit enfinMle point −−−→−−−→ 00 000 tel queOM=MM. L’ensemble des pointsMlorsqueMparcourtCestla cissode de DioclÈs, noteD. Le but de l’exercice est de montrer que la duplication du cube est possible á l’aide de la rgle, du compas et du trac de la cissode. 0 1. Ladroite(OM)ayant pour quation(y=tx), exprimer les coordonnes deM,M 00 puisMen fonction det. 2. Endduire une quation paramtrique deD:
2 t x(t) =, 2 1+t
3 t y(t) =. 2 1+t
3. Montrerqu’une quation cartsienne deDest :
2 22 x(x+y) −y=0.
4. Ètudieret tracerD. 5. SoitP(0, 2). La droite(PI)coupeDen un point notQ. La droite(OQ)coupeLen un point notR. Calculer une quation de(PI)ainsi que les coordonnes deQetR. 6. Conclure.
4
θ O
B
A
L
0 M M C 00 M I O
P(0, 2)
O(0, 0)
Exercice 11(Lunules d’Hippocrate de Chios) Montrer que l’aire des quatre lunules gale l’aire du carr.
Indications 3 C’est un calcul simple d’aires.
5
Q
L
R
I(1, 0)
