E s t i m a t i o n s d i s p e r s i v e s e t a p p l i c a t i o n s

pages

Français

Documents

Écrit par
(Antoinette Bardot)

Publié par
pefav

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

pages

Français

Ebook

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

pefav

Nombre de lectures

Langue

Français

E s t i m a t i o n s d i s p e r s i v e s e t a p p l i c a t i o n s a l ' e q u a t i o n d e S c h r o d i n g e r L 2 ? c r i t i q u e p a r F a b r i c e P L A N C H O N O n s ' i n t e r e s s e a u p r o b l e m e d e C a u c h y s u i v a n t ( 1 ) { i ∂ t u + ∆ u = ± | u | 2 u u | t = 0 = u 0 ( x ) , x ? R 2 . D a n s t o u t c e q u i s u i t , o n n e c o n s i d e r e r a q u e d e s d o n n e e s p e t i t e s ( o u d e s r e s u l t a t s l o c a u x e n t e m p s ) , d e s o r t e q u e l e s i g n e e t l a f o r m e e x a c t e d e

Voir

Publié par

pefav

Nombre de lectures

Langue

Français

Estimations
disp
ersiv
es
et
applications
2
`
a
l’
´
equation
de
Sc
hr¨
odinger
L
?
critique
par
F
abrice
PLANCHON
On
s’in
t
´
eresse
au
probl
`
eme
de
Cauc
h
y
suiv
an
t
(
2
i
@
u
+
Δ
u
=
?j
u
j
u
t
(1)
2
u
j
=
u
(
x
)
;
x
2
R
:
t
=0
0
Dans
tout
ce
qui
suit,
on
ne
consid
`
erera
que
des
donn
´
ees
p
etites
(ou
des
r
´
esultats
lo
caux
en
temps),
de
sorte
que
le
signe
et
la
forme
exacte
de
la
non-lin
´
earit
´
e
son
t
sans
imp
ortance
:
3
2
on
traiterait
pareillemen
t
u
ou
f
(
j
u
j
)
u
a
v
ec
des
h
yp
oth
`
eses
con
v
enables
sur
f
.
L’
´
equation
(1)
est
in
v
arian
te
par
le
c
hangemen
t
d’
´
ec
helle
(
u
(
x
)
=
?
u
(
?x
)
0
,λ
0
(2)
2
u
(
x;
t
)
=
?
u
(
?x;
?
t
)
;
λ
donc
en
dimension
2,
k
u
k
2
=
k
u
k
2
.
0
,λ
L
0
L
x
x
s
Conform
´
emen
t
`
a
l’heuristique
usuelle,
(1)
est
lo
calemen
t
bien
p
os
´
e
p
our
u
2
H
,
0
s
?
0
(v
oir
[4]).
En
particulier,
(1)
est
globalemen
t
bien
p
os
´
e
p
our
de
p
etites
donn
´
ees
2
dans
L
.
Compte
ten
u
de
(2),
toute
p
etite
donn
´
ee
u
engendre
une
famille
de
solutions
0
a
`
un
param
`
etre.
Aussi
il
est
naturel
de
se
demander
s’il
existe
des
solutions
in
v
arian
tes
par
le
c
hangemen
t
d’
´
ec
helle,
c’est-`
a-dire
de
la
forme
³
´
1
x
(3)
u
(
x;
t
)
=
p
U
p
:
t
t
La
donn
´
ee
initiale
dev
an
t
ˆ
etre
homog
`
ene
de
degr
´
e
?
1,
le
th
´
eor
`
eme
d’existence
a
`
donn
´
ees
2
1
p
etites
dans
L
ne
s’applique
pas,
le
protot
yp
e
de
fonction
homog
`
ene,
,
n’
´
etan
t
pas
j
x
j
2
dans
L
.
Dans
[5],
les
auteurs
in
tro
duisen
t
l’espace
n
o
1
/
4
4
(4)
u
j
sup
t
k
S
(
t
)
u
k
<
+
1
0
0
L
x
t
Lab
oratoire
d’Analyse
Num
´
erique,
URA
CNRS
189,
Univ
ersit
´
e
Pierre
et
Marie
Curie,
BC
187,
4,
Place
Jussieu,
75252
P
aris
Cedex,
FRANCE,
e-mail
:
fab@ann.jussieu.fr6
2
x
ϕ
(
)
j
x
j
1
1
p
our
lequel
ils
mon
tren
t
qu’il
con
tien
t
des
fonctions
homog
`
enes
(
a
v
ec
'
2
C
(
S
)
j
x
j
par
exemple),
et
que
l’espace
asso
ci
´
e
p
our
les
solutions
de
(1),
n
o
1
/
4
4
(5)
u
(
x;
t
)
j
sup
t
k
u
(
x;
t
)
k
<
+
1
L
x
t
se
pr
ˆ
ete
bien
`
a
un
p
oin
t
ﬁxe,
en
utilisan
t
la
disp
ersion.
P
ar
ailleurs,
l’existence
de
solutions
2
L
rep
ose
sur
l’estimation
de
Stric
hartz,
4
2
(6)
k
S
(
t
)
u
k
.
k
u
k
;
0
0
L
L
t
?
x
4
qui
m
`
ene
`
a
un
p
oin
t
ﬁxe
dans
L
.
On
p
eut
donc
se
demander
s’il
existe
une
fa
con
¸
de
t
?
x
com
biner
les
r
´
esultats
de
[4]
et
[5]
en
un
unique
r
´
esultat,
de
t
yp
e
probl
`
eme
de
Cauc
h
y
2
bien
p
os
´
e
dans
un
espace
B
qui
con
tienne
`
a
la
fois
L
et
les
donn
´
ees
homog
`
enes
v
´
eri
ﬁan
t
p
(4).
Dans
le
cas
o
u
`
la
non-lin
´
earit
´
e
est
de
t
yp
e
u
,
p
>
3,
on
trouv
era
une
r
´
ep
onse
dans
s
,
1
c
s
˙
c
˙
[12]
:
il
suﬃt
de
relaxer
l’espace
de
Sob
olev
critique
H
a
`
l’espace
de
Beso
v
B
,
d
´
eﬁni
2
par
(v
oir
[1])
Z
2
j
s
2
c
ˆ
(7)
sup
2
j
f
j
(
?
)
d?
<
+
1
:
j
j
+1
j
2
Z
2
<
j
ξ
j
<
2
2
Dans
ce
cadre,
s
=
1
?
>
0,
ce
qui
est
essen
tiel
p
our
comp
enser
l’absence
c
p
?
1
s
,
1
c
˙
de
sommabilit
´
e
des
blo
cs
fr
´
equenciels
d’une
fonction
de
B
.
P
our
s
=
0,
cette
2
appro
c
he
sem
ble
s’eﬀondrer.
Cep
endan
t,
en
dimension
2
d’espace,
il
existe
de
nom
breuses
g
´
en
´
eralisations
de
(6),
toutes
plus
ou
moins
reli
´
ees
aux
progr
`
es
r
´
ecen
ts
sur
les
conjectures
de
restriction
en
analyse
harmonique
([10],
[16],
[17])
ou
aux
propri
´
et
´
es
particuli
`
eres
de
l’exp
osan
t
4
([2],
[7]).
Ainsi,
il
a
´
et
´
e
tr
`
es
r
´
ecemmen
t
mon
tr
´
e
dans
[3]
que
(1)
est
bien
2
,
1
p
os
´
e,
p
our
u
ˆ
2
L
,
l’espace
de
Leb
esgue
faible,
d
´
eﬁni
par
exemple
par
0
Z
1
/
2
ˆ
(8)
j
f
j
.
j
E
j
;
p
our
tout
b
or
´
elien
E
:
E
2
Cet
espace
con
tien
t
bien
s
ur
ˆ
L
,
ainsi
que
les
donn
´
ees
homog
`
enes
telles
que
u
ˆ
j
1
2
0
S
2
1
L
(
S
).
0
,
1
˙
Nous
nous
prop
osons
de
mon
trer
que
le
m
ˆ
eme
r
´
esultat
est
vrai
p
our
u
2
B
.
0
2
2
,
1
Av
an
t
d’
´
enoncer
le
r
´
esultat,
il
con
vien
t
de
faire
quelques
remarques.
Les
espaces
F
L
0
,
1
0
,
1
?
1
i
ξ
?
x
2
,
1
0
˙
˙
et
B
son
t
distincts
;
en
eﬀet,
j
x
j
e
2
F
L
mais
pas
a
`
B
p
our
?
=
0,
et
0
2
2
r
´
ecipro
quemen
t,
une
fonction
a
`
s