Dynamics of Cremona transformations
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Dynamics of Cremona transformations Arnaud Beauville Universite de Nice Pisa, October 2008 Arnaud Beauville Dynamics of Cremona transformations
Voir
- lim n?∞
- cremona transformations
- universite de nice
Dynamics
of
Cremona
Arnaud
transformations
Beauville
Universite´deNice
Pisa,
October
Arnaud Beauville
2008
Dynamics of Cremona transformations
The dynamical degree
f∈Bir(P2)f= (f0f1f2) homogeneous polynomials of degreed
Arnaud Beauville
Dynamics of Cremona transformations
The dynamical degree
f∈Bir(P2)f= (f0f1f2) homogeneous polynomials of degreed
d:= deg(f) :
f
∗:H2(P2)→H2(P2) is multiplication byd.
Arnaud Beauville
Dynamics of Cremona transformations
The dynamical degree
f∈Bir(P2)
f= (f0f1f2) homogeneous polynomials of degreed
d:= deg(f) :
f∗:H2(P2)→H2(P2 multiplication by) isd.
Forfg∈Bir(P2), deg(fg)≤deg(f) deg(g)
Arnaud Beauville
=⇒
Dynamics of Cremona transformations
The dynamical degree
f∈Bir(P2)f= (f0f1f2
d:= deg(f) :
) homogeneous polynomials of degreed
f∗:H2(P2)→H2(P2 multiplication by) isd.
Forfg∈Bir(P2), deg(fg)≤deg(f) deg(g)
=⇒
lim (degfn)1n=λ(f) :=dynamical degreeoff n→∞
Arnaud Beauville
Dynamics of Cremona transformations
The dynamical degree
f∈Bir(P2)f= (f0f1f2
d:= deg(f) :
) homogeneous polynomials of degreed
f∗:H2(P2)→H2(P2 multiplication by) isd.
Forfg∈Bir(P2), deg(fg)≤deg(f) deg(g)
=⇒
lim (degfn)1(f) :=dynamical degreeoff n=λ n→∞
1≤λ(f)≤deg(f);λ(f) = deg(f) iffis generic, λ(f) = 1 iffperiodic orf∈PGL(3).
Arnaud Beauville
Dynamics of Cremona transformations
Theorem
1
f
(Diller-Favre)
∈Bir(P
2):
Arnaud Beauville
Dynamics of Cremona transformations
Diller-Favre 2
2
λ(f) is an algebraic integer; its conjugatesµihave|µi| ≤1.
Arnaud Beauville
Dynamics of Cremona transformations
