Didier Auroux Jacques Blum

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U-Auroux-D810\Didier Auroux , S-1-5-21-172797399-3483302530-1805387423-1005

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01 octobre 2006

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Didier Auroux, Jacques Blum Laboratoire MIP - Institut de Mathematiques de Toulouse Universite Paul Sabatier Toulouse 3 France The Back and Forth Nudging (BFN) algorithm Laboratoire J.A. Dieudonne, Universite de Nice 19 Octobre 2006

dx˜ dt

bfn algorithm

backward model

observation operator

xobs ?

ups-tlse

universite de nice

forward nudging

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01 octobre 2006

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DidierAurouxUniversityofNiceSophiaAntipolisauroux@unice.frWorkincollaborationwith:J.Blum(U.Nice)+workofE.Cosme(U.Grenoble)INSU-CNRSLEFE-ASSIMBFN/BFN2,Villefranche-sur-Mer,France.BackandForthNudgingorSEEK(BFN,BF-SEEK)September29,2009

td=ForwardnudgingF(X)+K(Xbos−XdX(0)=0whereKisthenudging(orgain)matrix.X,H(X)),0<t<T,Inthelinearcase(whereFisamatrix),theforwardnudgingiscalledLuenbergerorasymptoticobserver.–Meteorology:Hoke-Anthes(1976)–Oceanography(QGmodel):Verron-Holland(1989)–Atmosphere(meso-scale):Stauﬀer-Seaman(1990)–Optimaldeterminationofthenudgingcoeﬀcients:Zou-Navon-LeDimet(1992),Stauﬀer-Bao(1993),Vidard-LeDimet-Piacentini(2003)LEFE/ASSIM2009,Villefranche-sur-Mer,September29200931/1

Forwardnudging:linearcaseLuenbergerobserver,orasymptoticobserver(Luenberger,1966)ddXt=FX+K(Xobs−HX),dXˆ=FXˆ,Xobs=HXˆ.tdddt(X−Xˆ)=(F−KH)(X−Xˆ)IfF−KHisaHurwitzmatrix,i.e.itsspectrumisstrictlyincludedinthehalf-plane{λ∈C;Re(λ)<0},thenX→Xˆwhent→+∞.LEFE/ASSIM2009,Villefranche-sur-Mer,September29200931/2

BackwardnudgingHowtorecovertheinitialstatefromtheﬁnalsolution?Backwardmodel:dX˜=F(X˜),T>t>0,tdX˜(T)=X˜T.Ifweapplynudgingtothisbackwardmodel:td=F(˜X)−dX˜X˜(T)=X˜T.K(Xbos−LEFE/ASSIM2009,Villefranche-sur-Mer,September292009H˜X),T>t>0,/331

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