Der Hauptsatz der Algebra in effektiver Gestalt: ein reell algebraischer Beweis mittels sturmscher Ketten
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Der Hauptsatz der Algebra in effektiver Gestalt: ein reell-algebraischer Beweis mittels sturmscher Ketten Michael Eisermann Institut Fourier, Universite Grenoble I www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm 15. Januar 2009 Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Augustin Louis Cauchy (1789–1857) Charles-Franc¸ois Sturm (1803–1855) Mathematisches Kolloquium, Johannes-Gutenberg-Universitat Mainz
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- komplexe nullstellen komplexer
- reelle nullstellen reeller
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- zahlen und sei
Der Hauptsatz der Algebra in effektiver Gestalt: ein reellalgebraischer Beweis mittels sturmscher Ketten
Michael Eisermann
Institut Fourier, Université Grenoble I wwwfourier.ujfgrenoble.fr/˜eiserm
15. Januar 2009
Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Augustin Louis Cauchy (1789–1857) CharlesFranc¸ ois Sturm (1803–1855) Mathematisches Kolloquium, JohannesGutenbergUniversität Mainz
Überblick
1
2
3
4
Der Hauptsatz der Algebra
Sturm 1829/1835: reelle Nullstellen reeller Polynome
Sturm 1836: komplexe Nullstellen komplexer Polynome
Zusammenfassung und Ausblick
Überblick
1
2
3
4
Der Hauptsatz der Algebra Der Satz und seine Geschichte Reelle Nullstellen reeller Polynome Komplexe Nullstellen komplexer Polynome
Sturm 1829/1835: reelle Nullstellen reeller Polynome
Sturm 1836: komplexe Nullstellen komplexer Polynome
Zusammenfassung und Ausblick
Der Hauptsatz der Algebra
Satz (Kurzfassung) Jedes komplexe Polynom vom Gradnhat genaunkomplexe Nullstellen.
Der Hauptsatz der Algebra
Satz (Kurzfassung) Jedes komplexe Polynom vom Gradnhat genaunkomplexe Nullstellen.
Satz (Langfassung) 2 SeiRder Körper der reellen Zahlen und seiC=R[i]miti=−1.
Der Hauptsatz der Algebra
Satz (Kurzfassung) Jedes komplexe Polynom vom Gradnhat genaunkomplexe Nullstellen.
Satz (Langfassung) 2 SeiRder Körper der reellen Zahlen und seiC=R[i]miti=−1. Dann gilt: Für jedes Polynom n n−1 F=Z+c1Z+∙ ∙ ∙+cn−1Z+cn mitc1, . . . , cn−1, cn∈C
Der Hauptsatz der Algebra
Satz (Kurzfassung) Jedes komplexe Polynom vom Gradnhat genaunkomplexe Nullstellen.
Satz (Langfassung) 2 SeiRder Körper der reellen Zahlen und seiC=R[i]miti=−1. Dann gilt: Für jedes Polynom n n−1 F=Z+c1Z+∙ ∙ ∙+cn−1Z+cn mitc1, . . . , cn−1, cn∈Cexistierenz1, z2, . . . , zn∈Cso dass F= (Z−z1)(Z−z2)∙ ∙ ∙(Z−zn).
Der Hauptsatz der Algebra
Satz (Kurzfassung) Jedes komplexe Polynom vom Gradnhat genaunkomplexe Nullstellen.
Satz (Langfassung) 2 SeiRder Körper der reellen Zahlen und seiC=R[i]miti=−1. Dann gilt: Für jedes Polynom n n−1 F=Z+c1Z+∙ ∙ ∙+cn−1Z+cn mitc1, . . . , cn−1, cn∈Cexistierenz1, z2, . . . , zn∈Cso dass F= (Z−z1)(Z−z2)∙ ∙ ∙(Z−zn).
Nahe liegende Fragen:
Der Hauptsatz der Algebra
Satz (Kurzfassung) Jedes komplexe Polynom vom Gradnhat genaunkomplexe Nullstellen.
Satz (Langfassung) 2 SeiRder Körper der reellen Zahlen und seiC=R[i]miti=−1. Dann gilt: Für jedes Polynom n n−1 F=Z+c1Z+∙ ∙ ∙+cn−1Z+cn mitc1, . . . , cn−1, cn∈Cexistierenz1, z2, . . . , zn∈Cso dass F= (Z−z1)(Z−z2)∙ ∙ ∙(Z−zn).
Nahe liegende Fragen: Gibt es einen elementaren, geometrisch ansprechenden Beweis?
Der Hauptsatz der Algebra
Satz (Kurzfassung) Jedes komplexe Polynom vom Gradnhat genaunkomplexe Nullstellen.
Satz (Langfassung) 2 SeiRder Körper der reellen Zahlen und seiC=R[i]miti=−1. Dann gilt: Für jedes Polynom n n−1 F=Z+c1Z+∙ ∙ ∙+cn−1Z+cn mitc1, . . . , cn−1, cn∈Cexistierenz1, z2, . . . , zn∈Cso dass F= (Z−z1)(Z−z2)∙ ∙ ∙(Z−zn).
Nahe liegende Fragen: Gibt es einen elementaren, geometrisch ansprechenden Beweis? Kann man die Voraussetzung abschwächen? Welche geordneten Körper?
